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研究生半个世纪前解决了一个拓扑问题

Lisa Picchirillo用了不到一周的时间，就找到了一个古老的问题的答案，这个问题是由传奇的数学家约翰·康威（John Conway）于五十多年前发现的。




在2018年夏天，在低维拓扑和几何学会议上，Lisa Picchirillo听说了一个小数学问题。丽莎（Lisa）在德克萨斯大学奥斯汀分校（University of Texas）研究生期间开发的某些技术，对于她来说似乎是一个很好的试验场。

她说：“我白天不允许自己从事这项工作，因为我不认为这项任务是真正的数学。我把她更多地看作是家庭作业。”

问题是：康威结是一种复杂的绳索编织，是五十多年前由传奇的数学家约翰·霍顿·康威（John Horton Conway）发现的，是高维结的一部分。 “切片”是专家研究的第一个自然问题之一结理论询问高分辨率空间中的结，数学家能够用不超过12个交点的数千个结来回答它-除一个以外，其他所有结都没有。拥有11个交叉点的Conway节点几十年来一直在嘲笑数学家。

在本周末之前，Picchirillo准备回答：Conway节点未提及。几天后，在与德克萨斯大学教授卡梅隆·戈登会面时，她随便提到了自己的决定。

“我说了？？是的，它应该立即转到Annals！” -戈登说，他指的是最大的数学期刊之一，《数学年鉴》。

“他开始大喊：你为什么对此不满意？”皮基奇里洛说，现在是布兰代斯大学的博士后。 “他就像疯了。”

戈登说：“我认为她没有意识到这项任务有多古老和成名。”

证据Piccirillo于2月发表在《数学年鉴》上。这项工作和她的其他成就为她提供了在麻省理工学院的一席之地，她将从7月1日开始工作，这是她为博士学位辩护后的14个月。

Conway节点是否属于截止点这一问题之所以引起人们的关注，不仅是因为它长期未得到回答。截断的结为数学家提供了探索四维空间奇异性质的机会，在这种情况下，有时可能会将二维球体打成一个弄皱的结，以致无法平滑。印第安纳大学名誉教授查尔斯·利文斯顿说：“清醒与“四维拓扑的一些最深层次的问题有关” 。

波士顿学院的 乔希亚·格林（Joshua Green），研究生导师Piccirillo 表示：“康威（Conway）结的剪切力问题一直是许多与结理论相关的现代发展的标准，” “很高兴看到我认识很久的一个人突然从石头上拔出这把剑。”

魔术领域


我们大多数人都把结想象成一条两端缠绕在一起的绳子。但是，数学家使用的是两端互相连接的绳索，因此无法解开结。在过去的一个世纪中，这些打结的循环帮助研究了来自各个科学领域的问题，从量子物理学到DNA结构以及三维空间拓扑。


在1990年的这段视频中，约翰·康威（John Conway）解释了在高中时他如何证明两个节点不会互相抵消，

但是，如果我们将时间作为度量标准，我们的世界将是四维的，因此很自然地会问到是否存在适当的节点理论4D。这并不意味着我们可以将所有三个三维结都推入四个三维空间：如果具有四个三维，则在第四三维中开始将绳索相互提起时，就可以解开任何环。

要在4D中打结，您需要一个二维球体，而不是一维环。就像这三个维度为捆绑循环提供了足够的空间，但又没有为它们解开捆绑一样，这四个维度为捆绑球体提供了空间，这是数学家在1920年代首次采用的。

很难想象四维空间中的约束球体，但是为此，首先想象3D中的普通球体很有用。如果将其剪切，将看到一个未绑定的循环。但是，如果您以4D形式切割连接的球体，则会看到一个连接的环（或者可能是一个未连接的环，或者几个相互连接的环-这取决于切割的位置）。可以通过切割连接的球体获得的任何节点都被视为已切割。某些节点未被切断-例如，具有三个相交的节点，三叶。



格林说，切结“弥合了结理论的三维和三维故事”。

但是，有一个问题揭示了四维历史的丰富性和特殊性：在四维拓扑中，剪切性有两种不同的选择。 1980年代初的几项革命性作品（迈克尔·弗里德曼和西蒙·唐纳森为此获得了菲尔兹奖）表明，四维空间不仅包含我们直觉上想像的光滑球体。它还具有无法平滑的皱缩球体。结切断的问题取决于是否考虑这些皱折的球体。雪莱·哈维（Shelley Harvey）

说：“这些都是非常非常奇怪的物体，几乎是神奇的东西。”从莱斯大学获得（这是Piccirillo在2018年从Harvey的报告中首次了解到Conway的节点）。

这些奇怪的球体不是四维拓扑的错误，而是其独特性。拓扑截断，但不是“平滑截断”的结，即结成皱折球的切片，允许数学家创建所谓的通常的四维空间的“异国情调”变体。从拓扑学的角度来看，这些四维空间副本看起来与平时相同，但同时它们被不可挽回地弄皱了。这种奇特的空间的存在将第四维度与所有其他维度区分开。

格林说，对于这些奇异的四维空间，临界点是“最小的探查”。

经过多年的研究，数学家发现了拓扑上切开但不平滑的一整套节点。但是，似乎没有观察到相交数量最多为12个的节点，但Conway节点可能除外。数学家可以找出所有其他节点的交点，这些交点的数目不超过12，但是，他们没有以任何方式获得Conway节点。

康威（Conway）上个月因冠状病毒去世，以其在广泛的数学领域中的重要贡献而闻名。他在1950年代首次对节点产生了兴趣，并提出了一种简单的方法来列出几乎所有交点最多为11的节点（以前的完整列表仅包括交点最多为10的节点）。

但是，此列表中的一个节点分开了。格林说：“我认为康韦意识到这个节点有某种特殊之处。”

后来被称为Conway的节点是一个拓扑部分-数学家早在1980年代就将其理解为一系列革命性发现的一部分。但是，他们无法弄清楚这是否顺利。他们怀疑事实并非如此，因为他没有通常在光滑结节中观察到的“色带”这样的功能。但是，它的另一个功能并没有使所有尝试表明这种切割不平滑的机会。

也就是说，Conway节点具有兄弟节点，或者，正如他们在节点理论中所说的那样，是一个突变。如果您在纸上绘制一个Conway结，将其切下一部分，将其翻转成碎片然后重新连接，您将得到另一个结，称为Kinoshita – Terasaki结。


为了证明Conway节点不是平滑切割，科学家与Kinoshita – Terasaki节点的相似之处阻止了科学家的研究。丽莎·皮奇里约洛（Lisa Picchirillo）想出了如何将新的，更复杂的同伴与“康威”节点绑定。

问题在于这个新节点是平滑的。而且，由于Conway节点非常像平滑切片，因此避免了数学家用来确定非切片节点的所有工具（不变式）的影响。

格林说：“当一个新的不变式出现时，我们试图在Conway节点上对其进行测试。” “这是一个如此独特的固执示例，无论不变如何，都没有告诉我们它是否是切片。”

Picchirillo说，康威的烦恼“落在了这些乐器的盲点之间”。

一位数学家，杨百翰大学的马克·休斯（Mark Hughes）创建了一个神经网络，该网络使用节点不变性和其他信息来预测诸如剪切性的属性。对于大多数节点，网络会做出明确的预测。您知道她所说的如何顺利切断Conway结吗？50至50。

“随着时间的流逝，这种结节开始在其他方面脱颖而出，不受我们的约束，”利文斯顿说。

棘手的转弯


Picchirillo喜欢与打结理论相关的视觉直觉，但她不认为自己主要是该领域的理论家。她在一封电子邮件中写道：“我对3维和4维图形更感兴趣，但他们的研究与节点理论紧密相关，因此我正在做一些工作。” 波士顿学院Picchirillo的老师之一埃里森达·格里斯比（Elisenda Grisby）

说，当她开始在大学学习数学时，她并没有成为“数学中的标准儿童天才” 。格里斯比（Grisby）首先注意到了Picchirillo的创造性。 “她一直相信自己观点的正确性。”

与Conway的节点有关的问题是Pichchirillo想到的，节点是否可以通过除突变以外的其他任何方式进行连接。每个节点都有其所谓的。如果将结点放在四维球的边界上，然后沿结点在顶部缝制一个类似引擎盖的图形，则可以获得四维轨迹。戈登说，节点的占用空间“对其节点进行了相当困难的编码”。



不同的节点可能具有相同的四维轨迹，并且数学家已经知道，可以这么说，轨迹中的亲戚始终具有相同的剪切状态-不论是否剪切。然而，Piccirillo和阿利森·米勒，从莱斯大学的博士后，显示这样的痕迹亲戚对于用于研究剪切性的所有不变量看起来不一定相同。

这表明Picchirillo可以使用该策略来证明Conway节点没有被切断：如果她可以为此节点创建一个跟踪亲戚，也许他会比Conway节点本身更愿意与其中一个不变式合作。

建立这样的亲戚是一项艰巨的任务，但是Picchirillo是这方面的专家。她说：“我基本上是在这样做。” “所以我刚回家做。”

使用巧妙的组合，Pichchirillo能够构建具有与Conway节点相同迹线的复杂节点。对于这个节点，一个名为
拉斯穆森（Rasmussen）的“ c不变量”表明它没有被平滑地切除-因此，它就是康威（Conway）节点。

“非常漂亮的证据，”戈登说。据他说，没有理由期望Picchirillo创建的节点将屈服于Rasmussen c不变式。 “但是，这种方法行之有效，这甚至令人惊讶。”

Pichchirillo的证据“连同难以捉摸的结果的简短而出乎意料的证据一起，使该领域的研究人员能够迅速消化，欣赏并尝试归纳-更不用说为什么没人能这么长时间这么想了”格林在电子邮件中写道。

格林说，足迹是已经存在了几十年的经典工具，但是Picchirillo认为足迹要比其他足迹更好。据他介绍，她的工作向拓扑学家表明节点的痕迹被低估了。他说：“她拿了一些略带灰尘的工具。” “现在其他人已经在效法她的榜样了。”

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