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研究生解决了数十年的“ Conway Node”问题

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丽莎·皮克西里罗（Lisa Piccirillo）花费了不到一周的时间，就回答了关于一个奇怪的遗址的长期问题，这个遗址是半个多世纪前由传奇人物约翰·康威（John Conway）发现的。

在2018年夏季，在低维拓扑和几何学会议上，Lisa Picchirillo听说了一个可爱的小数学问题。她在德克萨斯大学奥斯汀分校攻读研究生时开发的某些方法，看起来像是一个很好的试验场。

她说：“我不允许自己在这一天工作，因为我不认为这是真正的数学。我以为那是我的作业。”

问题是，Conway节点（一个传奇的数学家约翰·霍顿·康威（John Horton Conway）半个多世纪前打开的杠杆）是否是一个更高维的节点。 “切片性”是结理论家提出的关于维数较大的空间中的结的第一个自然问题之一，数学家能够回答所有12个或更少交点的数千个结，一个结点除外。拥有11个交叉点的Conway节点数十年来一直在戏弄数学家。

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由Lisa Pichchirillo提出的解决Conway节点问题的方法，帮助她在麻省理工学院获得了永久职位。


在不到一周的时间里，Picchirillo已经有了答案：Conway节点不是“切片”。几天后，她会见了奥斯丁大学教授卡梅隆·戈登（Cameron Gordon），并顺便提及了她的决定。

“什么？！现在正在进入纪事！” -戈登说，指的是该学科最好的期刊之一《数学年鉴》。

他开始大喊：“你为什么不高兴呢？” Picchirillo说，现在是布兰代斯大学的研究生。 “他甚至有点害怕。”

戈登说：“我认为她不明白这是一个古老而著名的问题。”

Piccirillo证明出现在2月的《数学年鉴》中。这篇文章加上她的其他工作，为她提供了在麻省理工学院的长期工作机会，该职位于7月1日开始，距她完成博士学位仅14个月。

切断康威结的问题不仅是因为尚未解决多久而已被人们知道。切片结为数学家提供了探索二维空间奇异性质的机会，在二维空间中，二维球体可以打成一个结，有时会被弄皱，以致无法平滑。印第安纳大学名誉教授查尔斯·利文斯顿说，纯粹性“目前与二维拓扑结构中一些最深层的问题有关”。

波士顿学院的约书亚·格林（Joshua Greene）表示：“关于康韦的结是否是一个碎片的问题，是对结理论一般领域中许多现代发展的一种分解，”她在Picchirillo的毕业论文中负责监督她的毕业论文。“我很高兴看到我认识这么久的人突然从石头上拔出剑。”

魔术球


虽然我们大多数人都认为在两端带有两个线的结中存在一个结，但数学家认为这两个端是相连的，所以无法解开结。在过去的一个世纪中，这些节点循环帮助阐明了从量子物理学到DNA结构以及三维空间拓扑的各个主题。


约翰·康威（John Conway）在1990年解释了他如何在高中时说明两个节点为何无法彼此平衡的原因。

但是，如果我们将时间作为度量标准，那么我们的世界就是四维的，因此很自然地要问4D空间中是否存在相应的结理论。这不仅是要获取我们在三维空间中拥有的所有节点并将其浸入4D空间中：在四个维度中移动一个圆，如果线程在第四维度中一个在另一个之上移动，则可以解开任何棘手的循环。

要在四维空间中制作一个打结的对象，您需要一个二维球体，而不是一维环。正如这三个维度为打结环提供了足够的空间，但没有足够的空间让它们解开一样，这四个维度为数学家在1920年代首次建立的打结球体提供了这样的环境。

很难在4D空间中可视化打结的球体，但有助于首先考虑3D空间中的规则球体。如果将其切开，则会看到松动的循环。但是，当您在4D空间中切割一个打结的球体时，您会看到一个打结的环（或者可能是无法识别的环，或者是多个环的链接，具体取决于您切割的位置）。您可以通过切割打结的球体制成的任何节点都称为“切片”。一些节点没有被切割，例如，称为三叶的三结节点。

格林说，切节点“为节点理论的三维历史和三维历史提供了桥梁。”

但是存在皱纹，它赋予了四维立体的故事丰富性和独创性：在4D拓扑中，有两种不同的裁切含义。在1980年代初期的一系列革命性发展中（将奖章带给了迈克尔·弗里德曼和西蒙·唐纳森·菲尔兹），数学家们发现4D空间不仅包含我们直观可视化的光滑球体，而且还包含被普遍弄皱的球体，他们永远无法顺利熨烫。哪个节点是一个切片的问题取决于您是否决定包括这些皱折的球体。

赖斯大学的谢莉·哈维说：“这些都是非常非常奇怪的物体，似乎是通过魔术而存在的。” （是在2018年Harvey的演讲中，Picchirillo首次了解了Conway节点的问题。）

这些奇怪的球体不是4维拓扑结构的错误，而是一种功能。被“拓扑切割”但未被“平滑切割”的节点（即，它们是一些皱折的球体的切割，但不是平滑的），允许数学家构造普通三维空间的所谓“异国情调”版本。从拓扑学的角度来看，这些四维空间副本看起来与普通空间相同，但是却被弄皱了。这些奇异空间的存在将第四维度与所有其他维度区分开。

格林说，光滑的问题是这些奇异的四维空间中的“最低维传感器”。

多年以来，数学家发现了许多拓扑上不平滑的节点。但是，在交叉点不超过12个的节点中，似乎没有一个-可能是Conway节点除外。数学家可以计算具有12个以下交点的所有其他节点的截止状态，但Conway节点无法进行计算。

康韦于上个月死于COVID-19，以对一个数学领域做出了有影响的贡献而闻名。 1950年代，他第一次对节点感兴趣，并提出了一种简单的方法来列出最多11个交叉点的几乎所有节点（以前的完整列表仅达到10个交叉点）。

列表上有一个突出的节点。格林说：“我认为，康威了解到这一点完全与众不同。”

他们开始称其为Conway节点的拓扑是切断的-数学家在1980年代革命性发现的背景下理解了这一点，但他们不知道它是否被顺利切断。他们怀疑事实并非如此，因为他似乎缺乏一种称为“罗纹”的功能，该功能通常可以平滑地打结。但是他还有一个特征，使他不受任何试图证明自己没有被顺利砍掉的尝试的影响。

即，Conway节点具有一种相对关系-所谓的变异体。如果在纸上绘制一个Conway结，切出一张特定的纸，将碎片翻转过来，然后连接其自由端，则将得到另一个结，称为Kinoshita-Terasaka结。

麻烦的是，这个新设备竟然被顺利切掉了。而且，由于Conway节点与平滑切割节点是如此紧密地相连，因此它设法欺骗了数学家用来查找没有切割的节点的所有工具（称为不变式）。

格林说：“每当出现一个新的不变式时，我们都会尝试在Conway节点上对其进行检查。这只是一个顽固的示例，无论您提出哪种不变式，它都不会告诉您这是否是一个切片。 ”。

Piccirillo说，Conway的节点“位于这些各种仪器的盲点交叉处”。

一个数学家，杨百翰大学的马克·休斯（Mark Hughes）创建了一个神经网络，该神经网络使用节点不变式和其他信息来预测诸如剪切度的特征。对于大多数节点，网络会做出明确的预测。但是，他对康威的结是否能顺利削减有何感想？五十五十。

利文斯顿说：“随着时间的流逝，这变成了我们无法应付的难题。”

聪明曲折


Piccirillo喜欢打结理论所需要的视觉直觉，但她并不认为自己主要是打结理论家。她在一封电子邮件中写道：“这些确实是[三维和三维形式]令我激动，但是对这些东西的研究与打结理论息息相关，因此我也做了一些这样的事情。”

波士顿大学Pichchirillo教授之一Elisenda Grigsby说：“当她刚开始在大学学习数学时，她并没有成为“标准的黄金儿童数学神童”。 Pichchirillo最有可能是创造力，引起了Grigsby的注意。 “她真的相信自己的观点，而且一直如此。”

Piccirillo当时正考虑使用Conway节点的问题，当时她正在考虑除突变之外以其他方式连接两个节点的方法。每个节点都有一个对应的四维形状，称为其轨迹，该形状是通过将节点放置在4D球的边界上并沿该节点缝上一种帽盖而创建的。戈登说，节点跟踪“对该节点进行了非常强的编码”。

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Piccirillo是前教授之一，他称创造力-数学的主要优势之一。

不同的节点可以具有相同的四维轨迹，并且数学家已经知道，轨迹的这些孪生兄弟总是可以具有相同的切片状态-要么都是切片，要么都不是切片。但是Piccirillo和现在是Rice的研究生的Allison Miller已经表明，对于用来研究平滑度的所有结不变式，这些痕量同级不一定看起来都相同。

这表明了Picchirillo证明Conway节点不是切片的策略：如果它可以为Conway节点建立跟踪亲和力，则使用其中一个剪切不变式可能会比Conway节点更好。

创建痕迹的兄弟姐妹是一件复杂的事情，但是Picchirillo是一位真正的专家。她说：“这只是我的职业。” “所以我就回家了。”

多亏了巧妙的转弯，Piccrillillo设法建立了一个复杂的结，其足迹与Conway结相同。对于此节点，一种称为Rasmussen s-invariant的工具表明它不是平滑切割-因此Conway节点不能是一个或另一个。

戈登说：“这确实是一个很好的证据。”据他说，没有理由期望由Picchirillo构建的节点会屈服于Rasmussen的s不变式。 “但是它奏效了……令人惊讶。”

格林在一封电子邮件中写道：Piccirillo的证据“以令人难以置信的简短，令人惊讶的证据形式出现，该领域的研究人员能够迅速吸收，钦佩并努力推广-更不用说想知道花费了这么多时间了” 。

格林赞叹道：“脚印是已经存在了数十年的经典工具，但是Picchirillo的了解比其他任何人都深刻。他的工作向拓扑学家表明脚印被低估了。她拿起一些工具，也许上面有些灰尘。现在其他人都在效法他的榜样。”


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