测量七次-切一次，或在实践中使用俗语

我坐在Coursera课程上。该课程面向Java初学者，在其中一个视频教程中，提出了主题7解决问题的步骤。

我很清楚地听了视频教程，对自己说，这项业务已经发展了很长时间。

课程的其余部分很轻松，轻松。但是，在大学的其中一门学科上，即所谓的“科学编程”中，出现了以下任务：

解决线性方程组 $$$Ax=b$使用以下矩阵扩展 $$$A$：

$$

$$A = LU,$$

哪里 $$$L$是下三角矩阵，并且 $$$U$是上三角矩阵。

线性代数的主题，我们在第一门课上讲过。坦率地说，我记得矩阵，向量和圣物的一般运算原理-高斯方法。如果您认真思考，那么我们还没有研究过LU分解，但是“ google”方法总是有帮助的。救援，到此为止。

我找到了找到矩阵的通用算法 $$$L$和 $$$U$，但是凌晨三点半，没有咖啡给了我适当实施的机会（假设我们在Octave上进行了编码）。最后，我吓了一跳，决定还是听一听这个巧妙命名的谚语。

1.手工描述问题

您一生所缺乏的只是了解真正的问题所在。让我们以上述问题为例，将其写在纸上。以良好的方式，必须满足以下条件才能存在矩阵$$$L$ 和 $$$U$：

-逆矩阵必须存在$$$A$， 我的意思是 $$$\exists{A^{-1}}$;
-所有主要未成年人都不应堕落，也就是说$$$\Delta_{(1,...,n)}\neq{0}$

嗯，这就是为什么我们至少需要一个“傻瓜测试”，因为肯定有聪明的人想要使用不适合我们的矩阵。但是现在，我们忽略它。

对我们来说，问题很明显：找到矩阵$$$L$ 和 $$$U$在上述条件下 尝试搜索解决方案的方法后，不太可能第一次就能正确实现算法（如果您不擅长线性代数）。经过无数次尝试之后，我们很可能会制定出一系列解决问题的措施，然后继续执行步骤2。

2.描述你做了什么

以矩阵为例

$$

$$A = \begin{pmatrix} 1&2&3 \newline 0&-2&4 \newline 1&-1&0 \end{pmatrix}.$$

现在，我们对其应用高斯方法，并从第三行中减去第一行，然后乘以3行的第一个元素与1行的第一个元素的比率，从而摆脱第三行中不必要的元素：

$$

$$a_3=a_3-a_1 \cdot\frac { {a_3}_1 }{ {a_1}_1 }.$$

现在，通过类似的操作摆脱3行的第二个元素：

$$

$$a_3=a_3-a_2 \cdot\frac { {a_3}_2 }{ {a_2}_2 }.$$

结果，我们得到矩阵

$$

$$A = \begin{pmatrix} 1&2&3 \newline 0&-2&4 \newline 0&0&0 \end{pmatrix}=U.$$

现在，我们找到的系数（元素比例的结果 $$$\frac{{a_i}_j}{{a_j}_j}$）取矩阵的值 $$$L$，并得到

$$

$$L = \begin{pmatrix} 1&0&0 \newline 0&1&0 \newline 1&\frac{1}{2}&1 \end{pmatrix}.$$

浏览模板，不是吗？

3.寻找模式

在这一阶段，很可能您将返回步骤1和2，因为并非总是找到的模板在所有情况下都是正确的。但是什么也没有，因为它没有解决，所以接下来会发生。

因此，基于一个示例，我们可以制定以下算法/解决方案模板：

1.定义一个方矩阵$$$A, n$顺序
2.设置矩阵$$$L = I$哪里 $$$I$-身份矩阵 $$$n$顺序
3.设置矩阵$$$U = A$;
4.我们对矩阵应用以下连续变换，条件是$$$\begin{cases} i=2,\ldots, n \newline j=1,\ldots,i \end{cases}$

$$

$$\begin{array}{c} {l_i}_j=\frac{{u_i}_j}{{u_j}_j} \newline u_i = u_i-u_j\cdot{{{l_i}_j}} \end{array},$$

在 $$$n = 3$我们得到：

$$

$$L = \begin{pmatrix} 1&0&0 \newline {l_2}_1&1&0 \newline {l_3}_1&{l_3}_2&1 \end{pmatrix},\quad U = \begin{pmatrix} {u_1}_1&{u_1}_2&{u_1}_3 \newline 0&{u_2}_2&{u_2}_3 \newline 0&0&{u_3}_3 \end{pmatrix}$$

4.检查模板/算法

有一个算法-有数百万个矩阵可以对其进行测试！您不必担心此模板，它显然是正确的（在可能的矩阵的最简类上进行了个人测试）。但是请记住：快点-你会让别人发笑。因此，请始终检查您创建的模板，以免您一开始就不该继续跳下去。

5.将算法转换为代码

显而易见的一步是，您所需的一切通常已经在该语言的语法中，如果没有，那么没有人会费心创建类和函数来解决此问题，那么您就有了一种算法。由于我将这种算法作为大学教育计划的一部分实施，因此我只能使用Octave进行实施，因此我呈现给您的所有代码都是其语法（它与Python非常相似，因此我将使用其突出显示格式）：

A = input("Enter the matrix A: ")
numOfRows = size(A, 1)
numOfCols = size(A, 2)

if numOfRows ~= numOfCols
    disp("Wrong matrix.")
else
    n = numOfCols
    disp("----------------")
    L = eye(3)
    disp("Making U = A")
    U = A
    disp("----------------")

    for i=2:n
        disp("Step "), disp(i-1)
        for j=1:i-1
            L(i,j) = U(i,j)/U(j,j)
            U(i,:) = U(i,:) - U(j,:)*L(i,j)
        end
        disp("----------------")
    end

    disp("Check the answer of L*U: "), disp(L*U)
end

6.搜索失败的测试

您应该始终尝试“破坏”您的代码。这里（显然）没有完全的“免于傻瓜的保护”，但我以引入初始正确矩阵的假设为基础。

在此步骤中，您应该在代码中找到所有可能的错误和不准确之处，由此也可能揭示所构造算法的偏差。因此，在这里您应该尝试尽可能多的遗漏。

7.调试失败的测试

这些步骤中最合乎逻辑且可能是预期的。该代码必须是有偏见的，并且算法必须更正。这里没有其他要添加的内容。

结论

我可以说，即使不是为了我的困倦状态，我也不太可能认真地采用这种方法来解决问题。但是值得一提的是这种方法-它很短，并且所有的工作量仅在于必须使用它的事实。

注意

感谢线性代数教科书作为解决问题的材料。