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超越费马大定理的“惊人”数学桥梁

数学家们想出了如何加长连接数学世界两个遥远大陆的神秘桥梁




当安德鲁·约翰·威尔斯（Andrew John Wiles）在1990年代初证明费马大定理时，这不仅对数学家而且对全人类都是不朽的一步。该定理的陈述非常简单-它声称等式x n + y n = z n对于n> 2，没有完整的正解。但是，由于法国数学家Pierre de Fermat于1637年在Diophantus的“算术”边缘偶然地草绘了该定理的陈述，因此这一简单的陈述吸引了350多年的大量希望证明这一陈述的人。费马特的提法也很出名：他“为此找到了真正奇妙的证据，但是这本书的空白对他来说太窄了。” 几个世纪以来，专业的数学家和业余爱好者一直在寻找费马的证明-或其他。

威尔斯（在理查德·泰勒（Richard Taylor）的帮助下） 最终获得的证明永远不会出现在费马身上。它并没有直接影响该定理，而是建立了一座巨大的桥梁，根据数学家的说法，桥梁应该存在-两个遥远的数学“大陆”之间的桥梁。威尔斯的证明归结为定义这座连接两大洲之间的两小片土地的桥梁。证明充满了新的深刻的想法，并在这座桥的两边产生了一系列新的结果。

从这个角度来看，Wiles的强大证据解决了一个更大谜团的一小部分。托比·盖伊（Toby Guy）说，他的证明是“ 20世纪最好的数学事件之一”来自伦敦帝国学院。然而它却属于桥梁的“微小延伸”，被称为朗兰兹的几何对应。

整个桥梁将使数学家能够了解广阔的数学领域，将概念从一个部分传递到另一个部分。在桥的一侧，许多任务（包括费马大定理）似乎很困难，但很快变成了更简单的任务，转移到另一侧。

威尔斯提出他的证明后，其他数学家开始热情地将这座桥扩展到两大洲的较大部分。然后他们遇到了障碍。扩展这座桥梁有两个自然的方向，但是在泰勒-威尔斯方法中，这两个方法似乎都遇到了无法克服的障碍。伦敦帝国理工学院的安娜·卡拉亚妮 说


，数学家安德鲁·威尔斯（Andrew Wiles）证明了费马大定理，并于2016年获得了亚伯奖。但是“一般而言，我们认为原则上不可能做到这一点。”



现在，代表十多位数学家作品的高潮的两部作品克服了这一障碍，从根本上解决了这两个问题。有一天，这些发现可以帮助数学家证明费马大定理所涉及的数值系统超出了正整数。芝加哥大学的马修·埃默顿（Matthew Emerton）

说，这是“最高成绩” 。“它们从数论中揭示了一些基本现象，我们才刚刚开始理解它们是什么。”

真空针


Langlands桥的一侧集中在几乎可以写下的最简单的方程式上：这些是Diophantine方程式，或具有指数和整数系数的变量的组合，例如y = x 2 + 6x + 8或x 3 + y 3＝ z 3。几千年来，数学家一直试图找出哪些整数组合满足特定的Diophantine方程。基本上，他们的动机是基于此问题的简单性和自然性，但是最近，在密码学等领域，他们的部分工作得到了意外的延续。

自古希腊时代以来，数学家就知道了一种找到仅具有两个变量且度数不大于2的Diophantine方程的整数解的方法。但是，对于更高度数的情况，查找整数解绝不是一件简单的事情-从椭圆曲线开始。这些方程式中y 2在等号的左侧，而右边是最大度数为3的项的组合，例如x 3 + 4x +7。Guy说与较低度数的方程式相比，它们是„根本上更复杂的问题。”

在桥的另一侧，称为自同形式的活动对象，类似于以非常高的对称度为瓷砖着色。在威尔斯研究的案例中，这些瓷砖可能类似于埃舍尔的马赛克，在这些马赛克中，盘上显示的带有恶魔的鱼或天使随着接近边界而减少。在更一般的Langlands宇宙中，瓷砖可以以更高的尺寸铺砌三维球或其他图形。

这两种类型的数学对象彼此完全不同。然而，在20世纪中叶，数学家开始揭示它们之间的深层关系，而到1970年代初，高等研究院的罗伯特·兰兰兹（Robert Langlands）提出了这样的假设，即丢番亭方程和自同构形式可以某种方式相互关联。


罗伯特·兰兰兹（Robert Langlands）于50年前提出了依从性假设，他于2016年在新泽西州普林斯顿的高级研究所作了演讲。

即：在Diophantine方程和自守形式中，都存在一种自然的方法来生成无限的数字序列。借助Diophantine方程，可以用模块化算术计算解数（可以将其表示为位于钟面上的数字；例如，对于12小时刻度盘，则为10 + 4 = 2）。对于按照Langlands出现的这种自守形式，您可以获得无穷无尽的数字列表，类似于量子能级。

根据兰兰兹（Langlands）的说法，如果我们仅使用基于质数的模运算，那么这两种序列将在各种条件下惊人地重合。换句话说，对于任何自守形式，其能级控制Diophantine方程的模数序列，反之亦然。

埃默顿说，这种联系“甚至比心灵感应更奇怪”。 “尽管我研究这种现象已有20多年了，但我与他们之间的交流方式却令人惊奇且令人难以置信。”

在1950年代和1960年代，数学家在一个方向上发现了这座桥存在的第一个迹象：如何从某些自同构形式转变为系数为有理数（分数由整数组成）的椭圆曲线。然后，在1990年代，威尔斯（Wiles）与泰勒（Taylor）为特定的椭圆曲线族找到了桥梁的另一个方向。他们的结果自动产生了费马大定理的证明，因为数学家已经表明，如果不正确，那么这些椭圆曲线中至少有一条不会具有相应的自同形式。

费马特的伟大定理距离这座桥的建造仅次于发现。例如，数学家用它来证明Sato-Tate假设是一个数十年的历史问题，与椭圆曲线的模数解的统计分布有关，并证明了关于自守形式能级的假设，这一假设由20世纪初的传奇数学家Srinivasa Ramanujan Iyengor表示。

在威尔斯和泰勒发表他们的发现之后，很明显他们的方法仍然充满了可能性。很快，数学家意识到了如何将其扩展到具有有理系数的椭圆曲线。后来，数学家们弄清楚了如何用简单的无理数来覆盖系数，例如3 +√2。

但是他们没有成功将泰勒-威尔斯方法扩展到具有复杂系数，例如i（√-1）或3 + i或√2i的椭圆曲线。而且，它们无法处理比椭圆曲线大得多的幂的双色子方程。使用Taylor-Wiles方法可以轻松地解决等号右侧为4而不是3的方程，但是一旦度数增加到5，该方法就停止工作。

数学家逐渐开始意识到Langlands桥的这两个自然扩展的问题不仅仅是要对Taylor-Wiles方法进行一点改进。显然，障碍是根本的。

盖伊说，这些“只是以下发生在我身上的例子”。 “但是他们告诉你：不，这些东西无可救药。”

问题在于，泰勒-威尔斯方法通过使用其他自守形式逐次逼近来找到与Diophantine方程相对应的自守形式。但是，当方程的系数中出现复数或大于4的幂时，自同构形式就很少-几乎没有任何自同构形式很可能没有可以用来近似它的最接近的自构形式。

在威尔斯看来，我们需要的自晶形状类似于“大海捞针中的一个针，但是这个叠确实存在”，埃默顿说。“这可以与一堆金属锉刀相提并论，您要带上一块磁铁-锉刀对齐并指向您需要的针头。”

然而，在他看来，在复杂系数或更高阶数的情况下，它更“像是在真空中的针头”。

飞向月球


当Wiles提出他的证明时，当今许多数论专家正在成长。 “那是我在报纸头版上看到的唯一的数学例子，”当时13岁的盖伊回忆道。 “这激发了许多人的灵感，他们想弄清楚这一点，因此，正是由于这个原因，他们开始在这一领域工作。”

因此，在2012年，两位数学家- 芝加哥大学的Frank Kalegari和David Gerati（现为Facebook研究人员）提出了一种克服无法扩展Taylor-Wiles方法的障碍的方法时，这一想法引起了新一代数论专家的好评。

盖伊说，他们的工作表明“阻碍我们前进的这一根本障碍根本就不是障碍。”他解释说，事实上，Taylor-Wiles方法的明显局限性表明“您只感受到了Calegari和Gerati向我们展示的真实，更通用的方法的影子。”


David Geraty，2015年在波士顿大学

在突然出现障碍物的情况下，自等形态存在于比Wiles研究的二维Esher瓷砖更高尺寸的瓷砖上。在这些高维世界中，自守形式非常罕见，这让人感到不舒服。但是，高尺寸的瓷砖通常会提供比二维瓷砖更丰富的结构。 Kalegari和Gerati提出了使用这种丰富的结构来弥补自构形式的不足的想法。

更准确地说，对于每种特定的自变形形式，您可以使用其图块的“着色”作为测量工具，该工具可以计算所选图块的任何部分的平均颜色。实际上，在二维情况下，自晶形是唯一可用的此类测量工具。但是更高尺寸的瓷砖具有新工具，即所谓的扭转类别及其帮助下，可以为每个图块部分分配的不是平均颜色，而是模块化算法中的数字。而这种类型的扭力只有一角钱。

Kalegari和Gerati建议，对于某些Diophantine方程，可能不是通过近似其他自构形式而是通过扭曲类来找到对应的自构形式。卡拉扬尼说：``他们的想法真是太棒了。''

Kalegari和Gerati提出了一种方案，与Wiles和Taylor所建造的相比，该方案构造了从Diophantine方程到自同构形式的更大桥梁。但是，他们的想法不能被视为成熟的桥梁。为了使它起作用，首先必须证明三个大定理。据卡莱加里说，这可以与他们与格拉蒂（Gerati）的工作描述了飞往月球的计划这一事实进行比较，如果只有想要的人将拥有一艘飞船，火箭燃料和太空服。 Kalegari说，这三个定理“是我们无法企及的。”

特别是，Calegari和Gerati的方法要求存在一个从自动形式到双色子方程的另一个方向的现成桥梁。而且，该桥不仅要结合自守形式，而且还要结合扭曲类。 “我认为，当Calegari和Gerati首次描述他们的计划时，许多人认为这是一项绝望的任务，”现位于斯坦福大学的泰勒说。

在Kalegari和Gerati的著作发表后不到一年的时间里，Peter Scholze是波恩大学的一个年轻天才，他获得了现场奖，数学的最高奖项，数论专家感到惊讶，他们弄清楚了如何在椭圆曲线（其系数为简单的复数，如3 + 2i或4-√5i）的情况下，从扭曲类切换到Diophantine方程的一侧。泰勒说：“他做了很多令人惊奇的事情，但这可能是他最令人惊奇的成就。”


数学家Peter Scholze

Scholze证明了Calegari和Gerati三个定理中的第一个。Scholze和Karayani 随后进行的几项 联合工作非常接近证明第二定理，证明了Scholze发现的桥处存在正确的特性。

有人认为该程序很容易掌握，因此，在2016年秋天，卡拉扬尼和泰勒组织了高级研究学院的“秘密研讨会”卡莱加里说，旨在取得进一步的进展。卡莱加里说：“我们在那里只有一个听众，没有任何人进入。”

经过几天的准备对话，研讨会的参加者开始了解如何同时处理第二个定理并绕过第三个定理。 “也许在制定所有任务之后的一天之内，我们都解决了这些问题，”项目参与者之一盖伊说。

在本周剩余时间，参加专门的证据的各个方面进行详细的研究，并在未来两年内正式他们的发现在工作十个人的作者身份-对于数量论的著作，这是闻所未闻的。实际上，他们的工作建立了椭圆曲线的Langlands桥的存在，该桥具有由有理数，简单无理数和复数组成的任何数字系统的系数。


盖伊说：

“ 安娜·卡亚妮妮和理查德·泰勒（Richard Taylor）举办了这次研讨会，主要是为了了解您离解决方案有多近。“我认为我们谁都不希望我们证明一切。”

桥梁的延续


同时，另一个故事正在展开，涉及到桥梁超越椭圆曲线的延续。 Calegari和Guy与George Boxer（现在在法国里昂的高等师范学校工作）合作处理了丢番亭方程最高阶数为5或6（而不是已知的3和4）的情况。但是，三位数学家被困在证明的关键点上。

然后，在举行“秘密工作坊”之后的第二个周末，高等师范学校的文森特·皮永尼（Vincent Pilloni）发表了一篇论文，展示了如何解决这一非常大的障碍。 “现在，我们需要放慢工作速度，并开始与Pilloni合作！” -因此，据Kalegari称，三名研究人员立即互相告知。

在短短的几周内，四位数学家解决了这个问题，尽管花了几年的时间和将近300页的详细想法描述。他们的作品以及10个人的著作于2018年12月在互联网上发布，相差四天。


弗兰克·卡莱加里（Frank Calegari），托比·盖（Toby Guy）和文森特·皮永尼（Vincent Pilloni）

“这是非常重要的成就，”埃默顿对这两部作品进行了评论。他称它们为“艺术品”。

尽管实际上这两项工作证明了丢番亭方程和自守形式之间神秘的心灵感应联系已转移到新的条件下，但有一个陷阱：它们没有在两个数学支撑之间建立理想的桥梁。这些作品仅陈述了“潜在的自同构性”。这意味着每个Diophantine方程都有对应的自同构形式，但是我们不确定该自构形式是否存在于应该据其定位的大陆那部分。但是，潜在的自同构足以用于许多应用程序，例如，对于有关Diophantine方程的模解统计量的Sato-Tate假设，其十个作者可以证明其在较宽泛的领域中的可操作性。

数学家已经开始了解如何通过潜在的同构来改善这些结果。 10月，伊利诺伊大学厄本那-Campaign分校的帕特里克·艾伦，加利福尼亚大学洛杉矶分校的Chandrasekar Hare和剑桥大学的杰克·索恩（Jack Thorne）等三位数学家证明，与10位作者合作的椭圆曲线的重要部分具有桥梁作用来到正确的地方。

将来，具有如此高精确度的电桥可能使数学家证明一堆新定理，包括一个世纪前费马大定理的推广。后者声称该定理的方程将仍然没有解，即使当我们不仅代替整数x，y和z代替整数值，而且代替整数和虚构单位的组合时，也没有解。哥伦比亚大学的迈克尔·哈里斯

说，在Calegari-Gerati计划下进行的两项工作提供了该概念正在运行的重要证据。他说，他们“证明该方法适用范围很广。”

尽管有新作品将桥梁连接到Langlands大陆上比以前更广阔的地区，但它们仍然使广阔的领土未知。从Diophantine方程的角度来看，这些方程包括所有度数大于6的方程，以及具有两个以上变量的方程。另一方面，未知领域属于自构形式，生活在比迄今为止研究的更为复杂的对称空间中。

“今天，这项工作代表了成功的顶峰，”埃默顿说。 “但是在某些时候，它们将被视为实现这一目标的步骤之一。”

Langlands本人从未想过要扭转，研究自同构形式，因此对于数学家来说，困难的任务之一就是要找到这两种不同方法的统一视图。“我们正在扩大我们的范围，”泰勒说。“我们和Langlands一起以某种方式走上了道路，我们不知道要去哪里。”

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