🏭 📳 ⏏️ 分形在沙子上，或三个以上不聚集 💿 🏂🏿 ✍🏾

我们将讨论沙堆模型。沙子（不是真实的模型）倒过来创建这些图片：

可以添加沙子堆（如果您习惯于折叠各种东西，这很容易）并减去（但是这已经不容易了）。

您也可以将其用作Hello World而不是Life游戏。

沙堆

采取一个方格的场。沙粒可能躺在该字段的每个单元中。例如，可能看起来像这样：

现在在该单元格中有三个的那一格中添加一粒沙子：

现在注意是最重要的规则：

如果单元中有四个沙粒，它们将分布在四个相邻的单元中。

就像他们说的那样，崩溃（倒塌）。像这样：

一个非常自然的规则。尽管看起来根本不像沙子，但更像是“不要聚集三个以上”的规则：如果一个笼子里有四个人聚在一起，他们会朝不同的方向分散。

这样，可能会发生一系列的滑坡-当堆积一堆沙堆时，它将塌陷，直到有四个或更多沙粒的不稳定细胞，也就是直到获得稳定的沙堆为止：

这已经类似于大流行中疾病爆发的机理”，尽管遥远。

如果同时在几个单元中有4粒或更多沙粒，那又如何呢？以什么顺序发生滑坡？答：没关系。

证据

, - , ( , ):

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{1}, \dots, y_{k}

$y_1,\ldots,y_k$ (

x_{1}

$x_1$ . . , ).

x_{1}

$x_1$ , , . . -

y_{j} = x_{1}

$y_j=x_1$ . , — , , , — .

y_{j}

$y_j$ , , :

y_{j}, y_{1}, \dots, y_{j - 1}, y_{j + 1}, \dots, y_{k}

$y_j,y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1},\ldots,y_k$ .

y_{j} = x_{1}

$y_j=x_1$ , , ,

x_{1}

$x_1$ ,

x_{2}, \dots, x_{n}

$x_2,\ldots,x_n$

y_{1}, \dots, y_{j - 1}, y_{j + 1}, \dots, y_{k}

$y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1},\ldots,y_k$ . , — , , , .

如果你扔沙子多，粒多到无穷无尽领域的一个细胞，让他们崩溃，你会得到这样的曼陀罗：

在这里，“很多很多”为30万，而细胞0，1，2，3个沙粒都标有白色，绿色，紫色像素和金色。YouTube上有一个视频，您可以看到它的动态效果。

加减

由于滑坡的顺序并不重要，我们可以确定添加稳定的沙堆的操作：我们将一个沙堆放在另一个沙堆上，从相应的单元中堆积沙粒，然后将其粉碎。在无限字段上，则需要注意在两个堆项上引入协调坐标。可以对其进行处理，并在最终的方格场中堆起沙子-当沙子颗粒在边缘崩溃时，它们将永远丢失（他们说位于场边缘的kletki 汇（汇）或一个大的kletischa没关系）。下面是在3×3的字段中添加两个沙堆的示例。如您所见，两个不同的折叠序列导致相同的结果。

在圆环上也是可能的，但是在其中仍然必须至少制造一个排水单元，以使沙子能够流走，否则滑坡的序列可能是无限的。

事实证明，在给定场（有限或无限）上的一组稳定的沙堆具有可交换的单面体的结构：它们可以堆叠在一起（此外，这种加法是可交换的和相联的），没有单个沙粒的空场起着零的作用。您不能这么简单地减去堆：您可以获得少量的沙粒。但是，我们还将构造一个减法模拟，但不是针对所有堆，而是仅针对精英。

一点代数。理想在可交换单半体中被称为“子集”，该子集相对于该单半体中任何元素的加和（包括不是理想的）都是不变的。就是说，如果您属于理想，那么无论您添加到自己身上是什么，都不会摆脱它。例如，仅就乘法而言，自然数集也是一个可交换的对半定号，而其中的理想值是，例如，偶数集：对于偶数不相乘的情况，您总是得到偶数。最小理想是所有（非空）理想的交集；它本身也是理想。在具有自然数的示例中，所有非空理想的交集都是一个空集。但是，对于有限的交换对半定式，情况并非如此。在有限的交换半边形中，关于最小理想有一个定理，据此定理是按组（关于在monoid上指定的相同操作）进行分组：存在一个中性元素（模拟零），并且每个元素都有一个逆，即，减法与加法一起指定。在一般情况下，这被证明很无聊，但是我们只对沙堆感兴趣。

在最后一个字段上获取堆，以便稳定堆的集合是有限的。请注意，每个单元格中的沙粒数量最多的沙子堆（即3；我们简称为“堆3”）属于稳定沙子堆的monoid中的任何理想对象，因为您可以向任何稳定堆中添加另一个特别选择的稳定堆一堆就可以得到3个（不需要做滑坡）。因此，产生了最小理想堆3：要获得堆，您需要堆3并依次添加各种稳定的沙堆。这将导致所有稳定堆的某个子集；例如，它不包含空字段。该子集的沙堆称为循环（recurrent）。

因此，一般代数告诉我们，许多返回的沙堆都是一组。因此，它具有反向和中性元素。中性元素（标识元素）是返回堆，当将其添加到任何其他返回堆时，不会对其进行更改。顺便说一下，中性元素的添加仅在堆的添加说明中显示。

要获得中性元素，您需要将每个单元格中的最大颗粒数量（即6）扔进两倍，使其粉碎，然后从6中减去每个单元格中的沙子颗粒数量，从而使结果粉碎。

为什么？

() 6 6, , , °, ( ) . : I = (6−6°)° , R (R+I)° = R. R , R = (3+S)° - S.

(R+I)° = ((3+S)°+(6−6°)°)° = (3+S+6−6°)° — - , . , , . : (3+S+6−6°)° = ((3−6°)+6+S)° = ((3−6°)+6°+S)° = (3+S)° = R, !

, 6 A (R+(A−A°)°)° = R. 6 , A−A° 3 , . . . — , , .

如何减去？

I = (6−6°)° — , , R R⁻¹ — , R I: (R⁻¹+R)° = I. (2×(6−6°)−R)°, 2× .

这就是（返回）沙堆组的中性元素在1024×1024字段中的外观。细胞用0，1，2，3个在细胞中的砂粒以黑色，绿色，紫色和金色的着色。

在KDPV上-字段1000×500相同，添加堆3×3的图示也显示了局部中性元素。

也就是说，您了解。组是不同的，但是其中的中性元素通常看起来是完全中性的。在一些加法数的组中，中性元素是数字0，在非零实数或复数在乘法中的数是1，在加法向量组中是零向量，在排列组中，排列是“在其位置的一切”，在该组中动作-“不要触摸任何东西”。在这里-如此美丽！哪个仍然尝试计算。

模式

在一个单元格中，中性元素和从许多沙粒中碎裂的堆中，都可以看到自相似性。此外，尽管在调整大小时细节会发生变化，但整体图像（好像是用谢尔宾斯基餐巾纸缝制的简单周期性图案填充的区域的分形图）保持不变，只有在扩大区域时才显示细节。

莫里茨·朗（Moritz Lang）， CC BY-SA 4.0

似乎没有证据表明这一事实专门针对方形网格上的中性元素。但是对于在一个单元格中被许多粒子弄碎的堆，其存在（预印本，文章）和分形性（预印本，文章）被证明图中的）是砂粒数量趋于无穷大且同时调整比例的结果。

此外，已经证明了有限方场中沙堆的存在和分形性（更确切地说是其对趋于∞的场中单元数的限制），这是一种中性元素，每个单元中添加了1粒沙粒（通常会随后脱落）。

证明的作者（预印本，文章）提供了一种描述相应图形的算法，并通过简化的实现给出了这样的图片-与上图进行比较：

Wolfram Mathematica代码

4- . , a_sk R , , -. 8 — L-, . , Clear[a].

qc = {{3, 0, 0}, {1 - I, 1 + I, 1}, {1 + I, 1, 1 - I}} / 3;
r = {{0, 1, 0}, {0, 0, 1}, {1, 0, 0}};
a[{}] = {0, -1, I};
a[{s___, k_}] := a[{s, k}] = qc.MatrixPower[r, k].a[{s}];
Graphics[Polygon /@ Table[ReIm @ a[s], {s, Tuples[Range[3], 8]}]]

在形成分形图像的弯曲三角形中，不仅可见或多或少的均匀周期性图案（尤其是在KDPV上），而且还可见到一维分支“缺陷”。这些似乎是热带曲线。无论如何，（预印本，文章）都知道，如果在最终的田地上投掷几个单独的沙粒，每个单元格中都有3粒沙粒，则由于脱落而形成了一张图片，这是一条热带曲线穿过沙粒的沙粒。

变体和概括

先进的蜂窝自动化专家已经考虑了这一问题：我们还可以考虑单元的邻居以及与它只有一个共同角度的邻居（“摩尔附近”）。在这种情况下，当笼子中的沙粒达到8粒时，倒塌就会发生。那么，在中央细胞转成这样的人物500万粒砂（颜色：0 -白色，1，2，3，4，5，6，7）：

当然，可以考虑不仅正方形单元，还包括其他规则的结构。相应的图片在上述文章作者之一的页面上的画廊中。

此外，沙子通常可以散布在任何图形上，包括定向的图形：在顶点处收集沙粒，并且当顶点中沙粒的数量达到顶点的出射度（从中散发出的边数）时，会发生塌陷。但是，如果要在此图上考虑一组沙堆，则该沙堆必须是有限的，必须有一个凹陷的顶部，并且应该可以从任何顶点到达它。但是，如果您完全阅读了本段，则可能已经知道了。

编码

学习新的编程语言时，“生活”游戏一直是我最喜欢的任务之一。但是她已经开始烦恼了，所以当我读到有关沙堆的信息时，我认为这是一项不错的任务，适合用一种不错的语言练习，而且鲜为人知（我认为）-也许我将是第一个aste会编程！是的，沙兹有沙子堆甚至在谷歌播放- 一个，2。因此，在Rust上，发现了Github上的一些实现；但是他们不是很好。我的实现在github.com/colt-browning/sandpile。您可以在命令行上直接使用它（尽管恐怕波兰语写的系统很复杂），您也可以将其用作库。通常以相当简单的方式执行裁切，但是针对重要的特殊情况提供了优化的过程。

问题答案

为什么这一切都是必要的？

常见答案。现在该提一下巴克-比-威森菲尔德模型。有时将其与沙堆模型混合使用，但是更准确地说这是沙堆框架上的一个附加组件：我们将一个沙堆放在一个正方形字段中，将一粒沙粒扔到它上面的随机细胞中，观察每次脱落如何发生以及雪崩将影响多少个细胞滑坡（视频）无论采用什么配置，我们迟早都会返回堆。数值实验表明，雪崩的大小分布是幂律。在自然系统中，对波动的响应通常平均地呈指数衰减，并且幂律分布发生在称为临界状态的状态，例如在相变附近。但是，为了进入相变，通常有必要“微调”系统参数（例如，温度和压力，或者如果我们谈论晶格或Erdos – Renyi模型上的渗流问题，则图中有边缘的可能性）。-那里也有相变）。在BTV模型中，幂定律本身就出现了，而没有进行微调。这称为自组织临界。 BTV不仅提出了一个沙堆模型，而且通过他们的工作，沙子在自组织临界性的旗帜下牢固地建立在科学中：他们说，如果我们了解自组织临界性是如何在沙子中产生的，它将有助于理解原理上的来源。自然（在自然界中也会发生幂律的来源不明确）。似乎尚未严格建立正方形电视上BTV模型的幂定律，但有许多接近的理论结果（这里是最新的结果），当然还有数值甚至是全尺寸的实验。

诚实的答案。 是的，您只看图片，多么美！

您从Wikipedia上注销了所有这些内容，并从那里下载了图片

我没有注销并从中下载，而是写并上传至。

还有其他地方可以读到沙子吗？

拉普拉斯山脉的生长，沙堆和结垢极限 -2017年回顾。
沙模型 -暑期学校“当代数学”课程的注释，来自热带曲线结果的合著者。

分形在沙子上，或三个以上不聚集

沙堆

加减

模式

变体和概括

编码

问题答案

为什么这一切都是必要的？

您从Wikipedia上注销了所有这些内容，并从那里下载了图片

还有其他地方可以读到沙子吗？

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