你好!我的名字叫Azat,我在SHAD中创建准备考试的课程。最近,我们开设了离散数学课程,因此我们的团队正在积极解决相关主题的问题。在SHAD 2019中检查了考试之后,我们看到了Habr用户对从考试中娱乐任务的兴趣。因此,我们在此发布离散数学的4个收藏夹。好好享受!
随机值 X等于同时包含元素1和2的循环的长度,集合的随机排列 {1,2,…,n}。如果没有这样的周期,那么X=0。查找随机变量的分布X 和她的数学期望。
, , . , X— P(X=k)k. — , k, , n!
. . (1 2), k−2n−2, Cn−2k−2. , , , (n−k)!. , . , , . a— a1=b, ab, 1 b( ). , , (k−1)!. :
, k=0k=1. k=1, , (P(X=1)=0, .. , ). , k>n, P(X=k)=0( ). , P(X=0):
X, :
随机变量 X和 Y取两个值 cov(X,Y)=0。证明他们是独立的。
, , , .
: 0 1, P(X=1)=p, P(Y=1)=q, P(X=1,Y=1)=r. , r=pq. , E(X)=P(X=0)⋅0+P(X=1)⋅1=P(X=1)=p, E(Y)=P(Y=0)⋅0+P(Y=1)⋅1=P(Y=1)=q, E(XY)=P(X=1,Y=1)=r. cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=0, E(XY)=E(X)E(Y)r=pq.
, XY: , ( , : P(X=1,Y=0)=P(X=1)−P(X=1,Y=1)=p−r, P(X=0,Y=1)=P(Y=1)−P(X=1,Y=1)=q−r, P(X=0,Y=0)=1−P(X=1,Y=1)−P(X=0,Y=1)−P(X=1,Y=0)). , , .
P(X=a)=p, P(X=b)=1−p, P(Y=c)=q, P(Y=d)=1−q, a<bc<d。我们引入了新的随机变量X′=X−ab−a 和 Y′=Y−cd−c。注意,X 取值 a和 b当且仅当 X′分别等于0和1,对于 Y。如果我们证明cov(X′,Y′)=0, .
cov(X,Y)=0, cov(X′,Y′)=0, ...
莱兰迪亚的神奇之地拥有100个城市,其中一些城市通过航空公司连接。众所周知,每个城市都有90多家航空公司出发。证明有11个城市成对地通过航空公司相互连接。
, — , — . , 91 , 8 . , , , .
( , ). , , , , .., . . 1 9 , , ⌊1009⌋=11, .
在Tyndex,每位员工至少有50位熟人。事实证明,只有两次握手后,就有两名员工彼此熟悉(也就是说,成对熟悉的人的最短连接链包含8个中间人)。证明该公司至少有200名员工。
, 10 . Aii- , ∀i |Ai|≥50.
, A1, A4, A7, A10. , . , |A1∪A4∪A7∪A10|=|A1|+|A4|+|A7|+|A10|≥200, ...
如果您有其他解决问题的想法或任何意见,请随时通过电报@ Azatik1000给我写信。总是很乐意回答!
ShAD Helper的策展人Azat Kalmykov