经验概率

（摘自Monty Hall电视节目的画面：客人无法正确计算概率，因此他赢得了惊讶的美洲驼而不是汽车）。

让我们讨论说“ 概率 ” 一词的含义。我要求您尝试不是从学生或“纯”数学家的角度回答这个问题，而是以工程师，应用研究人员或必须根据经验数据做出决定的其他任何人的方式来理解它。

天真的方法

至于我个人，例如，他说：“一个对称的硬币有50％的概率落在了老鹰，”我理解如下：

“如果你掷硬币很多次，然后在大约一半的情况下，它会下降，这样老鹰之上”。

更精确地，我通常使用简化六西格玛规则，根据该一系列中，例如，100米的抛的，丢弃鹰的数量将通过下式确定：

$$

$$100\ast\frac{1}{2}\pm\sqrt{100\ast\frac{1}{2}\ast\left(1-\frac{1}{2}\right)}$$

也就是说，介于35到65之间。

毫无疑问，我的陈述包含一个逻辑错误，并且根据实验结果，理论上讲，鹰的数量可以小于35，或大于65。但是，如果在实践中头一百只扔掉老鹰真的超越了规定的范围，在这种情况下我会感到非常惊讶。

学术科学观点

即使矛盾和错误很少出现，它们也不是很好。也许有某种更好的方法可以使概率的概念有意义，这种方法没有逻辑错误，并且不会与经验相矛盾？让我们转向精确的科学寻求建议-尝试回读大学课程！

如果我们将自己限制在实验只有有限数量的可能结果的情况下，那么根据传统的大学课程，概率的概念将减少为为每个这样的结果分配一定的非负权重，并且额外要求所有权重的总和等于1。

以这种形式提出的概率论确实没有矛盾（它有一个模型），并允许人们正式证明许多有趣的结果，例如大数定律或中心极限定理。但是，对于实验者而言，所有这些结果都只是形式上的，在他回答以下问题之前没有任何意义：

1. 如何为特定实验的结果选择合适的权重？
2. 如果权重分配不正确，可以通过观察来理解吗？
3. 如果权重分配正确，关于未来的实验可以做出哪些预测？

抽象理论

在这一点上，我想停下来谈一谈现代意义上的抽象理论。根据“纯”数学家的说法，要创建一个抽象理论（一阶），您只需要做三件事：

• 保留字（字符串）将表示形式变量

• 保留表示形式变量之间的形式关系（一，二，三……局部）的单词
• 使用形式变量之间的形式关系作为原子语句，写出任意数量的逻辑公式，这些逻辑公式将作为抽象理论的形式公理

让我举一个简单的例子。

我们保留所有拉丁字母的小写字母作为形式变量的名称。

对于单个形式关系，我们保留两个词：“ is_direct”和“ is_point”；对于我们理论的双重关系，保留另外两个词：“ belongs”和“ coincides_s”。

作为公理，我们采取以下逻辑语句：

ⅰ）对于所有的一个，b：如果[ 一个 is_direct]和[ b is_direct]和不可─[ 一个与coincides_ b ]，则存在d，使得：[ d is_point]和[ d属于a ]和[d属于b ]并且（对于任何c：如果[ c属于点]并且[ c属于a ]且[ c属于b ]，则[ c matchs_ to d ]）

ii）对于所有a，b：如果[ a是点]和[ b是点，而不是[ a与b一致]，则存在d，使得[ d is_direct]和[ a属于d ]和[ b属于d ]和（对于所有Ç：如果[ Ç yavlyaetsya_pryamoy]和[ 一个构件ç ]和[ b属于Ç ]，然后[ Ç sovpadaet_s d ]）

（平行线相交。插图取自robinurton.com）

为了便于阅读，我将原子语句括在方括号中。如果您研究射影几何，则在本示例中可能已经了解了抽象射影平面的公理学。公理i）翻译成俄语，它说任意两条不同的直线恰好在一个点处相交，而公理ii）–恰好任何一条直线都通过任何两个不同的点。

这里值得回顾的是，形式变量和形式关系只是印刷或手写字符的序列。当您创建一个抽象理论时，甚至没有必要假设现实中的形式变量可以表示某些事物，形式关系是这些事物之间的真实关系。因此，正式声明中最初没有任何含义。

除了公理之外，还可以使用形式陈述之间的形式关系作为原子公式，来构造其他形式逻辑陈述。如果可以根据符号逻辑的规则从该理论的公理推导这些陈述中的任何一个，那么它将是该理论的（形式）定理。就像形式公理一样，形式定理最初不具有任何意义，也不表达我们周围世界的任何性质。

为什么要创建抽象理论？

模型与解释

从我们的日常演讲中获取一些建议，例如：“一只黑猫坐在窗户上”。同一句话可以写成不同的形式：“有x和y使得：[ x yavlyaetsya_koshkoy]和[ x imeet_chernyy_okras]和[ y yavlyaetsya_oknom]和[ x sidit_na y ]»。

如您所见，第二行中的喜剧句子与正式逻辑陈述有些相似之处。但是，应该指出的是，它们之间存在重要区别。构成形式陈述的形式变量和形式关系毫无意义，而变量x和y在最后一个示例中，指定了经验对象：特定的猫和窗户，以及以下每个关系：“是猫”，“是窗口”，“ have_black_color”，“ sit_on”-指这些对象的明确定义的个体或相互经验性质。

“经验的”是指可以仅根据经验数据定义的任何概念，此外，对于该概念，有一种算法可以理解它是否存在于实验数据中。宏观物理学中使用的所有概念都太长了，质量，电流强度或能量是经验性的，目前“神”和“真相”概念还不被认为是这样。

表示经验对象的变量，以及称为经验属性的关系，称为材料是合理的。因此，如果某个逻辑公式的所有原子陈述都是物质变量之间的物质关系，那么所有这些原子陈述和逻辑公式整体上就变得有意义，即它们具有意义和意义。它们的含义在对周围世界某种属性的陈述中，其含义为真或假。

最简单的方法是确保某些有意义的逻辑陈述是正确的，可以反复设置实验或对世界的长期观察。例如，为了使陈述正确：“您不能将大象从火柴底下放进盒子里”，您只需要尝试多次将它推到那里。

作为天生的聪明生物，人们很快意识到，凭经验验证每个陈述是漫长的，并不总是安全的。因此，他们很快发现了另一种方法。实际上，事实证明，对一组真实的语句执行某些操作后，可以得到许多新的逻辑语句，而所有这些魔术都神奇地变成了真实。

令人惊讶的是，上述操作的类型和使用规则决不要求了解语句的含义，而仅依赖于编写逻辑公式的方式。例如，无论有意义的陈述A和B可能是什么，或者如果陈述“ A ”和“如果A则B ”都为真，那么陈述“ B ” 也将为真。

因此，不再需要了解语句的含义就可以理解该语句是否正确。结果，现在任何人都可以选择逻辑公式的任意列表，并借助一组特定的操作（形式推理规则）将条件式为“真实”（换言之，形式公理）视为其他条件式“真实”逻辑式。

只有当另一个从事实验的人出于某种原因决定使用形式变量和形式关系作为真实对象的名称及其相互经验特性时，这种看似毫无意义的练习的好处才会显现。这样的解决方案本身意味着形式理论具有有意义的解释她的语言中的每一个陈述都变得有意义并获得意义。

如果以某种理论解释其所有公理都成立的方式，那么其所有定理都将成立，则该解释本身被认为与该理论是一致的，并充当其（实质）模型。

示例
让我们回到射影平面的抽象理论，并以三种方式将“呼吸”的含义带入其中。

1. . :
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1）的解释不是模型。实际上，在平坦的Whatman图纸上，即使图纸无限大，某些线也将是平行且不相交的。其余两个用作投影平面的模型。

错误检查

如果实验者试图解释他的观察结果而选择了“错误”的理论，将会发生什么？通常，在这种情况下，实验人员会迅速发现理论预测与实际发生之间的差异。

（当您的世界模型出了问题时）

以一位测量师为例。只要他处理小的平面图，他所使用的测量工具的准确性就无法检测到对欧几里得几何学的任何公理或定理的违反。但是，值得土地测量师进行行星尺度的工作，当发现两次相交的直线时，在大三角形中，角度的总和会发生变化，并且周长不再等于πr。预测和实验数据之间的差异应迫使验船师采用其他几何形状作为模型。

另一个例子是物理学家。只要他的观察结果与缓慢移动的物体有关，他就可以安全地应用伽利略规则来增加速度和牛顿动力学：在所需的精度范围内，理论预测将与实验结果一致。但是，如果物理学家试图运用相同的（本质上是抽象的）理论来预测电子在基本粒子加速器中的轨迹，它将遭受惨败：洛伦兹世界定律在这里适用。

矛盾对不当使用的反应是几乎所有自然科学理论的“绅士主义”特征。如果他们不拥有它，那么，正如您稍后将看到的，在相同的经验数据的基础上，实验者可能得出有效但矛盾的结论。

因此，回到我们的主要主题。试着让您的想象力吸引三位数学家，他们问一个随机的路人，把他连续一百次扔掉的硬币之一扔掉。

第一位数学家建议用伯努尔测试的理论来描述硬币，鹰和尾巴的重量都为1/2。第二本曾经读过，造币技术违反了硬币的对称性，因此他选择了伯努列夫斯基测试理论，其中尾巴的重量为1/3，鹰的重量为2/3。第三位数学家喜欢哲学，为了进行存在性实验，将1的权重分配给鹰，将0的权重分配给尾巴，结果，根据抽象理论选择了所有三位数学家，他们将用它们来研究结果。

在一百次投掷的四十七次中，硬币掉了鹰。

第一位数学家大惊小怪，结果与他计算出的平均值相差不到“三个西格玛”，并且他的解释和经验之间没有矛盾。

第二位数学家大声疾呼说，结果与他计算出的平均值相差“三个西格玛”以上，这种结果的总权重小于5/1000，并且他的解释和经验之间没有矛盾。

哲学家大声疾呼，根据他的计算，在实验中获得的序列的权重为零，包括至少一个晶格在内的所有序列的总权重也为零，在他的解释和经验之间没有矛盾。

显然，必须承认每个数学家都是正确的。那么，分配的标度是什么意思？

证据

如前所述，通过选择合适的理论并构造其解释，研究人员将有机会仅使用形式推导程序来证明假设的真相。对源自公理的陈述的真实性的信任仅取决于对公理本身在其解释意义上的真实性的信任。

演绎方法的使用并不禁止直接在数据中寻找模式并尝试通过实验证明其合理性。而且，这两种方法并不等效：假设具有实验上的依据这一事实并不意味着有可能像其他方法一样正式证明该假设。例如，通过个人经验，我几乎可以确定所有乌鸦都是黑色的，并且由于几何定理，半径为一公里的圆的面积为π平方公里。同时，我没有理论来正式证明第一个陈述，也没有经验来实验证明第二个陈述。

如果经验规律性的假设既有实验依据，又可以在公认的理论框架内得到正式证明，则可以说这种规律性得到了理论解释。例如，开普勒以天体轨道形式发现的模式在牛顿引力理论的框架内具有理论解释。

如果您考虑一下，任何模式都会限制观察结果的可能性：一只乌鸦只能是黑色的，一个圆的面积不能大于或小于πr ²，除非椭圆形，否则行星不能移动。

从直觉上也应该清楚，与公理的有意义的值相比，正式的推理方法无权引入任何其他限制。的确，如果相反，公理是“真实的”并且其中一个定理与观察结果矛盾，就会出现这种情况。

实际上，定理的实质性陈述只是对适用于某些特定情况的总“公理”限制的方便重新表述。例如，当两个天体中的一个天体一个很重且“静止”，而第二个天体是一个轻而又不会太快地移动时，轨道的椭圆度是重力定律和牛顿的三个动力定律的结果。

本段的结论如下：“从理论上讲，公理所施加的限制不应弱于实验者将使用该理论进行解释的经验定律所施加的限制。

裸王

“在这位国王的首都，生活非常愉快；几乎每天都有外国客人来，现在有两个骗子出现。他们假装是织布工，并说他们可以制造出如此奇妙的织物，以至于无法想象任何更好的东西：除了异常美丽的图案和色彩之外，它还具有令人惊奇的特性-对任何过时或笨拙的人都看不见。”
................................................... .................................... 汉斯·克里斯蒂安·安德森（Hans Christian Anderson）“国王的新装”


（法国学生要求一种新的科学哲学。资料来源：salamancartvaldia.es）

让我们回到概率论上和三个数学与一枚硬币。

您如何看待数学家尝试多次重复实验，他们会发现任何经验定律吗？换句话说，他们能否做出合理的结论，即不可能在实验中观察到某种类型的序列？

第二个问题：如果存在经验定律，那么可以在普遍接受的概率论的框架内解释其中的哪一条？

恐怕会使您失望，但是第二个问题的答案非常简单：“无”。

确实，概率公理的所有有意义的含义都要求分配给鹰头和尾巴的权重是非负的，并且总的说来是统一的。满足此要求后，观察中可以使用鹰嘴和尾巴的任何序列，因为它不会更改分配的权重，因此不会与公理产生矛盾。得出结论：概率论公理在其有意义的价值上并未对观测的可能结果施加任何严格的限制，因此从严格的逻辑意义上讲，它们不能解释数据中的任何模式。

关于经验法则存在的问题，这里可能有双重看法。

一方面，如果硬币不是用特殊技巧制造的，则在每个实验中硬币都可能掉落，既有鹰又有尾巴，所以实验可以以它们的任何顺序结束，这意味着经验定律。 -不

另一方面，即使一生都致力于对称硬币的实验，也不太可能看到至少一个系列的100次抛掷，其中鹰的数量不会超过10个（在单个系列中，赔率小于10 ^15中的 1）后者意味着实验者凭着明确的良知就有权接受这样的陈述：“在一系列的100次抛掷中，对称的硬币将随着老鹰而掉落至少11次”，这是有根据的经验规律。

在这里，我们清楚地看到科学哲学与常识之间的矛盾，接下来是哪个？

对于特定的决定，我们必须采取行动：攻击-或进行辩护，操作-或继续进行医疗治疗，达成交易或拒绝要约。在这种情况下，如果您没有在解释时先犯错误，就无法以任何方式使用概率论。在某些情况下，不太可能发生的事件将被认为是不可能的；在其他情况下，则有必要用频率代替概率或将数学期望值视为有限系列实验的平均值。

这种奇怪情况的原因几乎不值得在抽象概率论的缺陷中寻找：有充分的理由相信这种数学原理是一致的。另一回事是，任何基于明确“是”和“否”，绝对“真相”和“客观现实”的哲学的理论都不可能与我们对“概率”是什么以及如何测量它的直觉理解相对应。甚至没有完全确定的概念是真实的，也不是尚未发现的某些概念的简化（因为曾经是“天球”或“虚风”）。

如果一个理论没有得到充分发展，并且其解释常常是矛盾的，那么值得将该理论付诸实践吗？在那些结果与常识相差不大的情况下，可能值得！例如，莱布尼兹（Leibniz），欧拉（Euler），拉格朗日（Lagrange），傅里叶（Fourier）及其许多同代人在成功建立至少一些实数论之前就成功地使用了“无穷小分析”。
不要对科学太严格！

作为迟来的愚人节的玩笑。
谢尔盖·科瓦连科（Sergey Kovalenko）。

2020年
magnolia@bk.ru


（作者：Alexas_Fotos）