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航空数学：旋转爆震发动机



如今，将某人或某物送出我们的星球是极其困难且代价高昂的乐趣。来自各种科幻大众文化作品的太空旅行者使用中继器（“质量效应”），扭曲引擎（“星际迷航”）或什至是星际之门（“星际之门”），但实际上，一切都比较平淡无奇。目前，我们还没有意识到这种不切实际的技术，因为我们使用的是火箭燃料。自然地，发射一个航天飞机或一枚助推火箭，是非常需要的。一种新型的发动机-旋转爆震-可以解决这个问题。尽管其开发过程还远远没有完成，但华盛顿大学的科学家决定为该设备创建一个数学模型，以便更好地了解其操作原理。这将使工程师能够进行准确的原型测试，并更好地了解需要实施哪些改进。那么，从数学家的角度来看，火箭发动机是什么样的，您通过建模学到了什么？这些问题的答案在研究组的报告中等待着我们。走。


很明显，将飞船带离地球大气层需要大量的能量。该能量的量取决于所使用的燃料和设备的发动机。第一种选择有很多，但它们的有效性远不及科幻同等水平。因为人们非常关注新型发动机的开发。

经典的火箭发动机通过燃料和氧化剂的放热化学反应运行。当燃料的这两种成分发生反应时，会产生大量的热能和气态工作流体，这些流体会膨胀。这导致其内部能量被转换成射流的动能的事实。其化学过程的核心是爆燃，即亚音速燃烧过程。

当冲击波在物质中传播并引发化学燃烧反应时，可以用爆震代替爆燃。实现这种模型的发动机类型称为脉冲爆震发动机，但它仍在开发中。

在这项研究中，我们谈论的是旋转爆震发动机（RDE，即旋转爆震发动机）-一种产生推力的装置，由燃烧（爆震）引起的自持冲击波在环形燃烧室中沿方位角传播。

燃料和氧化剂通常通过小的开口或狭缝（环形间隙）注入通道中。由于狭窄的环形间隙，由放热引起的密度和压力梯度会自我放大，最终形成足以使燃料自燃的冲击波。

RDE的稳定运行是研究的目标，它结合了多个方面的平衡：燃烧，喷射和混合，能量的释放和释放。如果这些变量不平衡，则发动机将出现不稳定状态，这表现为过渡到不同数量的波或以波速调制的形式出现。


图像＃1：RDE模式。

RDE的计算流体力学建模可以详细研究波浪结构和流场* 发动机。
流场*是液体的密度和速度在空间和时间上的分布。

向量场* -空间的变换，其中每个点都显示为向量，并在此点开始。
但是，正如科学家们自己说的那样，以前这样的程序非常昂贵且复杂。此外，先前创建的模型无法隔离影响分叉*形成的因素。
分叉* -动态系统行为的质变，其参数无穷小变化。
尽管遇到了预期的困难，但还是决定进行建模，但是使用有关旋转爆轰波非线性动力学的新实验数据。这使我们能够创建一个模型，该模型考虑了最微不足道的变化，从而修复了实验期间在实践中观察到的分歧。

实验部分


为了进行全面的研究和适当的建模，进行了某些实验。为此，专门准备了一个RDE和一个测试室来研究旋转爆轰波的动力学。本研究使用的引擎的独特之处在于其内部组件是模块化的。可以更换发动机零件以获得各种环形间隙和燃烧室的长度。您也可以更换喷油器，这使您可以探索用于连接和混合燃料的不同选项。


2号

图像可以通过光学方式访问测试相机，从而可以以高时空分辨率（2a）记录所有爆震波的完整运动历史。

每个实验代表在给定比例和进料速率下甲烷气体和氧气燃烧0.5秒。在一个成功的实验中，火花点燃混合物并产生加速火焰，该火焰转化为一系列行进的爆轰波。

这项研究的基础是假设实验中观察到的光度与燃烧过程相关。因此，较亮的区域比较暗的区域显示更高的热量产生。如果这个假设是正确的，那么您可以考虑从高速摄像机的数据中提取波形的几个示例。

可以使用积分像素强度的算法从相机数据中获得波的运动学，并以图表（2b）的形式进行记录。


3号影像

摄像机记录也可以转换为波浪报告系统，在这种情况下，波浪之间的相位差将清晰可见。

曲线图3a以波浪报告系统的形式显示了来自2b的数据，而3c显示了被跟踪的波浪的相应速度。

对于此数据，时间定义为τ= t（D 波 / L），其中L是周期区域的长度，D 波是锁模状态下的波速。

在3a上在发射过程中可以看到从一波到两波的过渡。通过这种模式转换，在临界点之后会形成第二个爆炸波，并开始在环周围传播。然而，环形空间中的两个波之间的距离是不对称的，这导致每个波消耗的燃料量不平衡。具有A波坐标θ 1，以前的波θ以下2，具有相位差Ψ=θ存在2 - θ 1<π（）。在这一点上，如果我们假设燃料更新的频率大约是恒定的，则腔室中用于其消耗的可用燃料中只有不到一半保留在尾波中。由于火箭燃料的热量直接影响爆炸速度，因此延迟波开始变慢。但是，前一波可以处理剩余的可用燃料并由于这种过量而加速。因此，当这两个波趋于具有最大且对称的相位差的稳定状态时，它们的行为是分散的。

对于单波长3a准静态波的速度比查普曼·乔格特火箭燃料的速度低20-30％。该度量是维持爆震波所必需的直接可观察到的能量，该爆震波会耗散并恢复燃烧室中的增益。当过渡到两个波并且动力学建立在稳定状态时，波速降低到单波速度的大约90％。


图4

如果在实验结束时放慢了燃油供应，则会观察到相反的情况。在图4a上显示了从波2到波1的逐渐过渡大约10毫秒。与图3a中所示的过量燃料不同，两波争夺越来越稀少的燃料。

由于相位差的初始扰动，波开始有规律地交换力（速度和振幅），从而导致不稳定性呈指数增长。随着相位差的振荡增加，当在一个大振幅的振荡之一期间滞后波超过前一个时，波之间会发生灾难性的相互作用。分叉后，剩余波的速度比不稳定之前的波的速度大约高10％。


图片编号5

还经常观察到波浪不稳定性并没有导致波浪数的变化。 5号图显示了在三个旋转波的实验中观察到的周期波速度和振幅。这是明显的调制不稳定性，因为频谱边带伴随着对应于燃烧室中行波平均速度的载波频率。如果基本上不干扰流动状态，则这种操作模式是稳定的，因为它不会导致波数的分叉。

如果喷射器面积相对于环形腔室的面积增加，则观察到脉冲操作模式，其特征在于喷射器的操作为``开/关''。


图片编号6

上图显示了脉冲模式下的振动平面波。

数学模型


为了准确了解在波形成过程中哪些物理方面起主导作用，在模式同步和模式分叉中创建了一个数学模型，该数学模型反映了燃烧，燃料喷射和能量耗散的细微差别，其结构由以下公式确定：
∂η/∂t+η（∂η/∂x）=（1-λ）ω（η）q 0 + ϵξ（η）
∂λ/∂t=（1-λ）ω（η）-β（η，ηp，s）λ
η（x，t）-工作流体的特性；
λ-燃烧变量（λ= 0-没有燃烧，λ= 1-完全燃烧）；
ω（η）是放热函数；
q 0-放热和比例常数；
ϵξ（η）是能量损失函数；
ϵ是损耗常数；
β（η，ηp，s）-注入模型；
η p和s是注射参数。

实验结果


准备好数学模型后，科学家们用以下参数进行了一系列数值模拟（即模拟）：



在建模的第一阶段，决定考虑存在模型系统的平面解，包括极限环*的行为。
极限循环*是系统固定状态的可能变体之一。向量场的极限周期是在附近没有其他周期性轨迹的向量场的闭合（周期性）轨迹。
使用初始条件η（x，0）= 1和λ（x，0）= 0.75解决了柯西问题*。
柯西问题*是寻找一个满足初始条件（初始数据）的微分方程的解。
平面波在相空间中的某个点附近振荡，其中燃烧增益损耗和喷射增益恢复一致[βλ=（1--λ）ω（η）]，条件是输入能量平衡，能量偏离且能量消散[ξ=（1--λ） ））ω（η）q 0 ]。

低能量振动会衰减到平坦的爆燃前端，而不会产生振荡。

脉动前沿与早期实验中观察到的相似，其特征在于喷射器的周期性“激活”和“失活”，它们首先与热量释放产生共振，然后因损耗机制而饱和。在6d给出了一个脉动平面波前的例子。

完整模型的脉动平面波解在平面初始条件下是稳定的，但由于会发展成行爆轰波，因此对扰动不稳定，行

波柯西问题的初始条件为：η（x，0）=（3/2）sech 2（x-x 0）和λ（x，0）= 0且λ（x，0）=0

。对于该系统，确定了查普曼-乔格特速度（CJ）（无粘性稳定波，其中所有能量通过无限薄的反应转移到波中区）。恒定波速定义为满足给定热量释放的Rankin-Hugoniot *条件的最小速度。在没有损失，这个最小速度等于DCJ =（η 1 + Q 0）+√q 0（Q 0 +2η 1）。在这种情况下η 1 = 0时，波速度变得等于2Q 0。
Rankin-Hugoniot绝热材料*是一种数学关系式，它关联了冲击波前后的热力学量。
该速度是在所考虑的模型中测量行波的度量。


第8号

图片上图显示了标准实验建模的演变。由于初始sech脉冲比ηc高得多，因此介质会在局部快速散发热量。波浪变成“尖锐的”并形成爆炸。该初始脉冲以速度CJ传播，直到到达尾部为止，这时，波浪开始快速消散并放慢速度：在DCJ = 2q 0时，有限的燃烧不能继续支持波浪。此外，快速热释放（与能量散射时间尺度相比）的初始波CJ导致在该区域增加η的平均值显著超过η的值的0环境和η Ç点火值。

因此，活性介质的有效活化能降低，并且在整个区域中与行波无关的寄生爆燃或缓慢生热增加。由于初始行波的传播时间由于散射而增加，因此寄生爆燃具有足够的时间来完成爆燃-爆轰（DDT，即爆燃-爆轰）过程以及许多振幅较小的爆轰波的形成。

为了在存在稳定模式状态时引发模式转换过程，使用了s的阶跃变化，这引起了分叉。这种过渡的示例在图4b中显示。，其中带有锁模的两个最初旋转的爆炸波变得不稳定并破坏性地分裂。

低振幅相位差呈指数增长，在实验中也观察到（4a）。在振荡期间，两个波交换力（振幅）和速度。对于给定的注入函数β和损失，通过改变参数s和ηp的应用步骤的程度来参数化不稳定增长率和振荡周期。

当产生新的波或破坏现有的波时，测试室内的波组会分散地起作用，最终形成具有模式同步的状态。


图片编号9

上面的分叉图显示了波数，波速和波幅对s和损耗值的依赖性。随着s从零开始增加，形成较小值的稳定平坦爆燃前沿。 s的值一旦有助于行进波的形成，这些波便开始显示阶梯，阶梯的速度逐渐增加，直到发生另一个分叉。这些波是由DDT过程中的寄生爆燃引起的。随着每个分叉，随着波数的增加，波速降低。当s的值变得足够大时，波的数量增加，直到波前的振幅变小并合并成平面爆燃前。

要更详尽地了解这项研究的细微差别，建议您查看科学家的报告。

结语


航天器是令人难以置信的复杂机制，结合了许多科学领域，物理学，化学，数学，力学等方面的知识。目前，所使用的火箭发动机使用了一整套控制机构和燃烧反应控制，因此它可以成功地提供试图起飞的多吨巨人的运动。对于旋转式发动机，在此问题上的大部分责任由冲击波承担。这大大减少了燃料消耗量（考虑到爆燃效率的估计值比传统爆燃的估计值高约25％），但是，存在许多问题。主要的是这种波的不稳定性。就像科学家们自己说的那样，任何爆炸都是一个不受控制的过程，随他所愿。

为了了解这一混乱的过程，乍一看，科学家们创建了一个数学模型。该模型基于发动机的实际实验，持续时间仅为半秒，但这足以获取形成模型所需的数据。

研究人员说，他们的模型尚属首次。它使得有可能了解这种类型的发动机是否会稳定工作，以及评估在实验的实际部分中使用的特定发动机的运行情况。

换句话说，该模型揭示了系统运行期间发生了哪些物理过程的图。将来，科学家打算改进其创造力，以便可以将其用于确定某些方面，这些方面需要特别注意以实现运转稳定的旋转发动机。

谢谢大家的关注，保持好奇心，祝您工作愉快。:)

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