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数学家证明了湍流的普遍定律

使用随机过程，三位数学家证明了湍流系统混沌运动背后的优雅定律




想象一条平静的河流。现在想象一下泡沫水的快速流动。它们之间有什么区别？对于数学家和物理学家来说，这是因为一条平静的河流向一个方向流动，而暴风雨的河流却同时向多个方向流动。

具有非系统运动的物理系统称为湍流。由于它们的运动同时具有许多特征，因此很难对其进行数学研究。在研究人员学会用精确的数学表达式描述湍流的河流之前，将有超过一代的数学家发生变化。

但是新的证据他说，尽管某些动荡的系统似乎是叛逆的，但实际上它们遵循一个普遍定律。本文提供了数学上最严格的湍流描述之一。看来，这要归功于一套新的方法，这些方法本身改变了研究人员研究这种迄今不听话的现象的过程。

明尼苏达大学的数学家弗拉基米尔·斯韦拉克（Vladimir Sverak） 说：“也许这是最有希望的湍流方法。”

这项新工作提供了一种描述运动流体中产生的模式的方法。在海洋相邻点温度急剧波动的示例中，或者通过混合黑白颜色获得的迷人图片中，可以清楚地看到它们。 1959年，澳大利亚数学家乔治·巴切洛（George Batchelor）预测这些模式具有准确且受管制的行为。新的证据证实了所谓的“巴切洛法则”的真实性。雅各布·贝德罗西安（Jacob Bedrossian）

说：“随处可见巴切洛定律是马里兰大学大学公园学院的数学家，与Alex Blumenthal和Samuel Panshon Smith共同撰写了该证明。“通过证明该法则，我们能够更好地实现其普遍性。”

从上到下的湍流


尽管新证据并没有完全描述在湍流中发生的相同过程，但它们与它们密切相关，并且对我们非常熟悉。因此，让我们先想像一下它们，然后再继续进行数学家分析过的特殊类型的湍流。

想象一下一个装满水的厨房水槽。水在水槽中几乎像一个整体一样开始旋转。如果我们增加液体并以较小的比例测量其速度，我们将看到同一件事-液体的每个微观部分都按照其他部分运动。

马里兰大学学院公园分校的博士后布鲁曼塔尔说：“运动主要与整个海螺的规模有关。”


Alex Blumenthal，马里兰大学学院公园的博士后

现在想象一下，您不仅可以通过拔出软木塞来排水，还可以在水槽中添加喷水器，像在按摩浴缸中那样旋转它。用肉眼可以看到水中出现的许多漩涡。选择其中之一并增加其规模。如果您是一位试图分析湍流壳流的数学家，那么您可以希望所选漩涡中的每个水粒子都向同一方向移动。这将极大地促进流体建模工作。

但是，a，您会发现漩涡本身包含许多小漩涡，每个漩涡都以特殊的方式移动。放大其图像，您将再次看到它依次由各种漩涡组成，依此类推，直到最小的比例，直到液体的内摩擦（或粘度）效应吸收并平滑流动为止。

这清楚地表明了系统的动荡-子系统以不同的比例相互嵌入的不同行为。为了全面描述湍流系统的运动，有必要描述在任何给定时间所有这些尺度上正在发生的事情。它们都不容忽视。

这是一个严重的要求-类似于对台球运动的轨迹进行建模，并完全考虑了从地球通过银河系的运动到气体分子与球的相互作用等所有方面。

威斯康星大学研究湍流的让·卢克·蒂夫（Jean-Luc Tiffo）说：“我必须立即考虑所有因素，这使建模这一任务变得异常困难。”

结果，数十年来，数学家一直在尝试创建对湍流的描述，以准确地描述在任何给定时间在湍流系统的每个点上正在发生的事情。并没有成功。

蒂夫说：“湍流太复杂了，无法在额头上进行攻击。” 对于湍流的河水和漏水的汇水来说，这是正确的。新证明中使用的特殊形式的湍流也是如此。

搅拌


贝壳和河流是水动力湍流的例子。从流体速度的矢量（粒子的方向和速度）随点变化很大的意义上来说，它们是湍流的。这项新工作描述了液体的其他特性，除了可以在每个点测量的速度矢量之外。要了解这意味着什么，请想象一下多种颜色。

让我们从一罐白色油漆开始。我们将每秒添加一滴黑色颜料，搅拌油漆。第一滴将掉入白色涂料中，并像小岛一样突出。但是很快它将开始溶解在白色涂料中，并延伸为越来越细的线条。随后的黑色涂料滴将处于同一转换的不同阶段：拉伸，拉长，倒入涂料中，然后逐渐变成灰色。

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由于速度矢量在混合水的水槽中从一个点到另一个点而变化，因此白色的黑色涂料的浓度在混合时会从一个点到另一个变化：在某些地方，它的集中度会更大（粗线），而在某些地方会更少。

此选项是“被动标量湍流”的一个示例。当注入一种流体（一种“被动标量”），然后在咖啡中将牛奶添加到另一种咖啡中时，就会发生这种情况。

被动标量湍流还描述了许多自然现象-海洋近点之间的温度突然变化。在这样的环境中，洋流以与黑白混合相同的方式“混合”温度。

Batchelor的定律预测混合液体时，大型现象（浓稠的油漆漩涡或相同温度的海水流）与较小规模的现象（稀薄的油漆）的比率。之所以称为法则，是因为物理学家多年来在实验中一直观察到这种现象。

布朗大学的数学家Panshon Smith说：“从物理学的角度来看，这足以称其为法则。”但是，在进行这项工作之前，还没有数学证明其不可或缺的性能。


Batchelor定律预测混合液体时，大型现象（相同温度的油漆或海洋流的浓漩涡）与较小规模（油漆细线）的现象的数目之比。缩小时该比例保持不变，因为小的嵌套娃娃会保持较大比例。

要实现小飞侠的想法，请回到画图上来。想象一下，您将继续进行一段时间的实验，添加黑色颜料滴并搅拌。现在停止时间。您会看到黑色油漆的粗条（最少被捏合），较细的条（它们被捏合更长的时间），甚至更细的条（它们被捏合更长的时间）。

Batchelor的定律预测，厚条，较薄和非常薄的条的数量应遵循确切的比例-像洋娃娃一样应遵循相同的比例。

Blumenthal说：“在给定的液体碎片中可以看到不同规模的条带，因为部分液滴刚刚开始混合，而有些已经混合了一段时间。” “巴切洛定律描述了黑色油漆条的尺寸分布。”简而言之，很难描述确切的比例，但是获得的薄条要多于厚条，而且要获得一定次数。

该法则预测，即使您观察流体碎片的增加，该比例也会保持不变。在一小部分液体区域和整个银行中，各种厚度的条带的数量比例将完全相同; 并缩小，我们将看到相同的比例。在所有尺度上，模式都是相同的，就像在流体动力湍流中一样，在每个漩涡中都有小的漩涡。

一个相当大胆的预测，而且很难用数学方法建模。现象在不同尺度上的复杂嵌套使得无法在单个流体流中准确描述巴切洛定律的出现。

但是这项工作的作者想出了如何解决这种复杂性并加以证明。

随机方法


Bedrossian，Blumenthal和Punchon Smith已采用一种方法来考虑所有湍流系统中流体的平均行为。数学家以前曾尝试过这种策略，但是没有人成功地实现它。

这种方法之所以有效，是因为随机性有时可以准确预测系统行为。想象一下钉有钉子的垂直板。从上方沿其放一枚硬币，硬币会从钉子上弹起，直到碰到下面的一个插槽。很难预测特定硬币的下落位置-太多的因素影响每次碰撞后它将弹回的位置。


塞缪尔·庞克·史密斯

相反，您可以将系统视为随机的-并且对于每个钉子，硬币都有可能左右左右弹跳。如果正确计算了概率，则可以对整个系统的行为做出准确的预测。例如，您可能会发现硬币更容易掉入特定的插槽中。

蒂夫说：“随机性的好处是可以进行平均。” “就很多小细节而言，平均是一个非常可靠的想法。”

这对于湍流和混色意味着什么？由于精确和确定性的陈述超出了数学的范围，因此想象某些随机的力作用在油漆上-有时会在这里，有时在这里无规律地干扰它会更有用。这种方法称为随机或随机的。它允许数学家使用高级统计计算并研究整个系统中正在发生的事情，而无需将自己埋在每个细节的细节中。

Punchon Smith说：“一些巧合使我们能够克服困难。”

最后，这使三位数学家证明了巴切洛定律。

了解混合


证明物理定律的一种方法是想象会导致其无效的条件。如果可以证明不出现这种情况，那么它将证明该法律始终有效。研究小组意识到，为了避免Batchelor法则所预测的法则，捏合必须具有非常具体的特征。

该法律证明分为2018年9月至2019年11月之间在线出版的四本书。前三本书着重于理解混合涂料的某些运动，这些运动将使Batchelor的法律无法制定并排除这些运动。他们证明，即使您采取了专门配制的液体来打败巴切洛的定律，这种模式仍然会出现在其中。

Bedrossian说：“您需要了解的主要是，液体不能对您产生任何伤害。”


雅各布·贝德罗斯（Jacob Bedrossian）

例如，如果混合过程导致涂料中出现持续的漩涡或漏斗，则巴彻洛尔定律将不起作用。这样的漏斗会将一滴黑色涂料滴在一个地方，就像小溪边缘的碎屑一样，涂料不会混合。

“在这样的漩涡中，粒子路径将不会混乱；他们不会很快分开，而是会一起旋转。 “如果您的系统没有以正确的速度混合涂料，那么巴切洛的定律将不会显现。”

在第一篇著作中，数学家们专注于混合过程中原本彼此相邻的两点黑色墨水所发生的情况。他们证明了点遵循随机路径并在不同方向上发散。换句话说，间隔很小的点不会卡在漩涡中，漩涡会一直保持它们在一起。

Blumenthal说：“最初，粒子会一起移动，但最终它们会分开并在完全不同的方向上发散。”

在第二和第三部作品中，他们对混合过程进行了更广泛的研究。他们证明，一般情况下，在混乱的液体中，黑白涂料会尽可能快地混合。然后，他们确定在湍流中不会形成局部缺陷（漩涡），这可能会干扰Batchelor定律描述的优美的全局图的出现。

在前三篇著作中，作者进行了必要的复杂数学计算，以证明涂料可以完全随机混合。在第四篇文章中，他们表明，在具有这种混合特性的流体中，巴切洛定律是必然结果。

这是关于湍流系统的最严格的数学上严格的陈述之一。更重要的是，它为我们提供了一系列新的数学思想的机会。湍流是一种混沌现象，其运动几乎是随机的。三位数学家想出了如何使用随机性处理随机性的方法。该领域的其他专家几乎肯定会跟随他们。

蒂夫说：“他们最大的贡献是为我们提供了建立证据的平台。” “我认为机会是建立我们可以用数学方法理解的湍流模型的几种方法之一。”

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