法拉第定律或磁铁如何卡在铜管中

图片取自“ 大众力学”网站，

许多人已经看到了使用永磁体的经验，这种永磁体似乎卡在了厚壁的铜管中。在本文中，我们将了解过程的物理原理。
首先，我们写出永磁体的磁场公式，计算出穿过管道横截面的磁通量，然后使磁体运动，找出金属中产生的感应电流是多少，耗散的电能是多少，编写并求解永磁体的运动方程式。

如果您读过这个地方并且不害怕，欢迎来到Kat-这将变得更加有趣！

我本人已经思考了很长时间，以彻底理解这个问题。最近，开始了与同事的对话。他的孩子被要求在学校进行科学演示，为此父亲得到了一根铜管和一块钕铁硼磁铁。孩子理解了，在课堂上演示了经验，并给出了解释，但没有给班级和老师留下特别深刻的印象。在一次科学实验比赛中，一个来自苏打水和柠檬酸的火山（！）赢得了=）我和我的同事快速看了一眼，意识到这很清楚，它是黑暗的。并且在文献中关于该主题的文章很少。这次谈话激发了我尝试穿越丛林的动力。在本文中，我写了我所做的。

实验说明

让我们从观看演示体验的视频开始。在深入研究该理论之前，先介绍一下总体情况是很有用的。在Internet上，已经多次在视频上解释和演示了这种体验。但是我也需要在这里描述它，以便以后清楚我们要拒绝的内容。

实验者将永久磁铁以小球的形式放置在垂直放置的铜管中。与预期相反，球不会随着重力的作用从管道中掉落，而是在管道内部的移动要慢得多。

因此，根据经验，我们观察到永磁体如何以恒定速度在空心铜管内运动。我们在铜管的主体中固定一个任意点，然后在脑海中绘制一个横截面。永磁体产生的磁通量穿过铜管的这一部分。由于这一事实，即沿着管的磁铁移动时，可变磁通量的增加或减少取决于磁体是接近还是远离我们在心智上引导横截面的点。根据麦克斯韦方程，交流磁通量通常会在整个空间中产生涡旋电场。但是，只有在有导体的情况下，此电场才会设置在导体中的自由电荷中-会产生圆形电流，该电流已经产生了自己的磁场并与移动的永磁体的磁场相互作用。简而言之，圆形电流会产生与永磁体具有相同符号的磁场，并且一定的耗散力会作用在磁体上，尤其是摩擦力。读者可以正确地提出一个问题：“关于什么的摩擦？”偶极子的磁场与导体之间会发生摩擦。是的，这种摩擦不是机械的。相反，身体不会碰触。好吧，让我们！仍然有摩擦！

总的来说，一切看起来都多少有些复杂，但这可以用数学语言来描述吗？让我们开始吧 ...

数学描述

首先，我们需要一个永磁体的数学模型。我认为，将永磁体想象成磁偶极子将很方便。

$$

$$\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\frac{3(\vec{p}_m\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{p}_m}{r^3}\right)$$

此处接受该符号。 $$$\vec{r}=(r,z)$ 是从偶极子中心到观测点的半径矢量， $$$\vec{p}_m$是偶极矩的向量。

接下来，我们需要写$$$z$-磁感应矢量的分量，用于计算在铜管金属横截面中捕获的磁通量。我们写$$$z$此处的磁场分量

$$

$$B_z(r,z) = \frac{\mu_0\,p_m}{4\pi}\frac{2z^2 - r^2}{\left(r^2 + z^2\right)^\frac{5}{2}}$$

现在，我们写出通过半径为一个圆的区域的磁通量的表达式 $$$r$ 在距离上 $$$z$ 从偶极子。

$$

$$\Phi(r,z) = \int_0^{2\pi}\int_0^r B_z(r',z)\,r'\,dr'\,d\varphi = 2\pi\int_0^r \frac{\mu_0\,p_m}{4\pi}\frac{2z^2 - r'^2}{\left(r'^2 + z^2\right)^\frac{5}{2}}\,r'\,dr'$$

您不会相信它，但是会采用此积分。我不会无聊的。答案很漂亮

$$

$$\Phi(r,z) = \frac{\mu_0\,p_m}{2}\frac{r^2}{\left(r^2 + z^2\right)^\frac{3}{2}}$$

由于偶极子沿轴运动 $$$z$ 快速地 $$$v$，还必须进行标准查找 $$$\Phi(r, z)\rightarrow \Phi(r, z - v t)$
似乎是时候应该寻求帮助了，麦克斯韦最伟大的方程式之一，即描述法拉第定律的方程式：

通过开放表面的磁通量的变化 $$$S$用相反的符号取正比于闭环中的电场循环 $$$L$这是表面的边界 $$$S$

$$

$$\oint_L \vec{E}\,dl = -\frac{\partial}{\partial t}\int_S \vec{B}\,d\vec{s}$$

或者，同一件事

$$

$$2\pi r E_\varphi = -\frac{\partial}{\partial t}\Phi(r,z - v t)$$

在这里，我们使用问题相对于轴的轴向对称性 $$$z$，并且还考虑到感应电场仅具有方位角分量 $$$\vec{E} = E_\varphi \vec{e}_\varphi$。
从这里可以发现由磁体感应的电场的方位分量。

$$

$$E_\varphi(r,z) = -\frac{1}{2\pi r}\frac{\partial}{\partial t}\Phi(r, z - v t)=-\frac{3\mu_0\,p_m}{4\pi}\frac{rv(z-v t)}{\left(r^2 + (z-v t)^2\right)^\frac{5}{2}}$$

现在我们有了电场的表达式，我们可以调用管道了。如上图所示，管道的内径为$$$a$和外部- $$$b$。管道材料是铜。目前，我们只需要铜的导电性。我们用$$$\sigma$。
导体内部的电场会产生电流。因此，我们可以用微分形式写欧姆定律

$$

$$\vec{j} = \sigma \vec{E}$$

电流又导致导体内部的欧姆损耗。换句话说，能量在导体内部耗散并转化为热量，严格来说，在我们的情况下，是整个导体的体积。
根据定义，欧姆损耗的体积功率密度等于

$$

$$w = \vec{j}\cdot\vec{E} = \sigma E^2$$

另一方面，当磁体从上到下移动时，地球引力场中磁体的势能减小，但是，运动速度保持恒定，即不会增加，因为它会自由下落。这仅意味着一件事：磁体的势能在导体内部耗散。从作用在磁铁上的力的角度来看，摩擦力作用在磁铁上，这使磁铁减慢速度并将磁铁的势能耗散为热量。
现在，我们写出问题中的功率平衡：势能的降低速率等于导体中欧姆损耗的功率。

$$

$$\frac{dE_p}{dt} = P$$

$$

$$-mg\dot{z} = \int_V w\,dV$$

$$

$$mgv = \int_{-\infty}^{\infty}\int_0^{2\pi}\int_a^b \sigma E^2\,r\,dr\,d\varphi\,dz$$

在此应注意，上图中所示坐标中的势能将等于 $$$E_p = - mgz$，并找到欧姆损耗的总功率，有必要进行积分 $$$w$在导体的整个体积上。我们认为管道长度是无限的。考虑到在视频中进行的实验中，磁铁的直径比管道的长度小得多，这与事实相差不远。

最后的三重积分看起来非常复杂。就是这样！但是，首先，方位角整合$$$\varphi$ 可以简单地乘以 $$$2\pi$由于该问题的轴向对称性。其次，可以更改此特定积分中的积分顺序，然后先积分$$$z$然后 $$$r$。第三，整合时$$$z$ 超过无限的限制，我们可以放心地放弃 $$$-vt$。剩下的积分由机器获得。

$$

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{z^2\,dz}{\left(r^2 + z^2\right)^5} = \frac{5\pi}{128r^7}$$

结果是欧姆损耗的全部功率的答案

$$

$$P = \frac{15}{1024}\,\mu_0^2\,p_m^2\,\sigma\left(\frac{1}{a^3} - \frac{1}{b^3}\right)v^2 = k\,v^2$$

在这里，在第二个等号之后，我们指定了摩擦系数

$$

$$k = \frac{15}{1024}\,\mu_0^2\,p_m^2\,\sigma\left(\frac{1}{a^3} - \frac{1}{b^3}\right)$$

注意摩擦系数 $$$k$ 仅取决于磁铁的磁化强度 $$$p_m$，导体材料性能 $$$\sigma$ 的几何尺寸 $$$a$ 和 $$$b$-即，它仅取决于磁体和管道的参数，并且与例如速度或时间无关。这对我们来说是一个好兆头，对发现的公式也算是一点功劳！从这里可以清楚地知道，为什么选择铜管来演示经验，而不是选择钢管。摩擦线性取决于电导率$$$\sigma$，而在钢中，电导率要低一个数量级。



现在可以记录

$$

$$mgv=kv^2\\mg = kv$$

突然之间（！），在我们面前的是牛顿的第三定律！作用的强度等于反应的强度。我们可以找到磁铁的稳定速度

$$

$$v_s = \frac{mg}{k}$$

运动方程

轮到运动方程式了。使用牛顿第二定律，它的写法非常简单

$$

$$ma=mg - kv\\ m\ddot{z} + k\dot{z} = mg$$

求解方程 $$$z(t)$没意思，因为好吧，只是坐标以恒定的速度变化。了解下降稳定的速度要快得多，下降等于稳态下降率。通常，您需要解决此方程以提高速度

$$

$$\dot{v} + \frac{k}{m} v = g$$

解决方案将是

$$

$$v(t) = v_0\,e^{-\alpha t} + v_s\left(1 - e^{-\alpha t}\right)$$

这里 $$$\alpha = k/m$-衰减系数。达到稳定下降模式的典型时间为$$$\tau = \alpha^{-1}$。起动速度-$$$v_0$，稳定的速度- $$$v_s$。

通常，这是跳伞运动员的方程式。这可能就是为什么《大众力学》上的文章被称为“降落伞”的原因。

数值实验

而现在，所有这些都是为此而设想的。您知道了这里的理论。她有什么能力？突然间，就像篱笆上的阴影一样？或根本不起作用...

首先，您需要了解问题的几何形状。因此，麻省理工学院的视频是美国的。我将尝试猜测其演示安装的大小（以英寸为单位）（他们也喜欢以英寸为单位来度量所有内容）。磁铁的尺寸类似于$$$d = 1/2$直径英寸。这是其中之一。这样的磁铁的质量将约为$$$m = 8$ d。铜管的长度与 $$$l = 12$ 英寸（1英尺），最有可能是管道的内径和外径 $$$2a = 3/4$ 英寸 $$$2b = 3/2$英寸。

对于几何图形，进行了整理。现在的物理性质。铜电导率$$$59.5\times 10^6$S /米

在此之前，我无法将钕磁铁的剩余磁化与其等效磁矩联系起来。但是评论中有好人。用户迪尼什建议的来源（请参阅参考资料列表中的第5段），您可以在这里阅读，帮助进行必要的计算，甚至在FEMM模拟器上进行检查。


在FEMM模拟器上用NdFeB计算球的磁场。用户提供的图片迪尼什

因此，发现了什么。NdFeB磁体属于顺磁体类，因为在外部磁场的影响下，内部磁场被放大。此外，NdFeB合金能够在外部电场终止后保持内部电场。这一事实将NdFeB归类为铁磁体。如果我们用以下公式表示磁体内部磁场的感应$$$B$，以及外部磁场 $$$H$然后平等

$$

$$B = \mu \mu_0 H = (1 + \chi)\mu_0 H = \mu_0(H + I)$$

这里 $$$\chi$ -物质的磁化率，以及 $$$I$是物质的磁化矢量。

在工厂制造磁铁时，会被外部磁场磁化。$$$H$然后关闭外部磁场，磁铁保留一些剩余磁化强度 $$$B_r$。众所周知，对于钕磁铁，剩余磁化强度约为$$$B_r = 1\,..\,1.3$ T.现在，如果您排除外部字段 $$$H$ 从前面的等式中，我们得到

$$

$$B_r = \mu_0I$$

我们在哪里找到单位体积材料的磁矩 $$$I$ 如

$$

$$I = \frac{B_r}{\mu_0}$$

要找到整个磁体的磁矩，您需要乘以 $$$I$ 每球体积 $$$V$

$$

$$p_m=IV=I\cdot\frac{4}{3}\pi\left(\frac{d}{2}\right)^3$$

用于剩余磁化 $$$B_r = 1$ 获得T $$$p_m = 0.853$Am²。
以下是图表$$$z$-在我们的问题中，取决于径向坐标的磁场分量位于球直径的一半处。


$$$z$-永久磁铁表面附近的磁场分量

一旦可以使用设备进行测量。直接在这种磁体表面上的磁场通常小于剩余磁化强度，总计约为几千高斯。我测量的矩形磁体约为4,500 Gs。因此，我们在磁场图上有一个非常现实的结果。

现在，我们将使用运动方程的解来绘制磁体的速度。对于上面选择的所有参数，摩擦系数等于$$$k = 1.015$ N /（m / s），稳定速度- $$$v_s = 7.77$厘米/秒-大约每秒3英寸！在视频中，球在大约4秒钟内穿过了12英寸的管道。


求解铜管中磁体运动方程的图表


我们继续。功耗约为$$$P \approx 6$ mW，达到稳定状态的特征时间为 $$$\tau \approx 8$多发性硬化症 以下是图表。$$$v(t)$ 对于两种不同的初始速度：零和 $$$v_0 = 15$厘米/秒

另外，用户vashu1正确地指出，很高兴知道铜管中感应的电流。好吧，这是可能的。整合

$$

$$J = \int_{0}^{\infty}\int_a^b \sigma E(r,z)\,dr\, dz = \frac{\sigma\, v\,\mu_0\, p_m}{4\pi}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$$

整合依据 $$$z$根据半无限限制，这是必要的，因为在管道的另一半中，电流沿相反的方向流动。我得到了答案$$$J = 20$答：老实说，我没想到会有这么大的潮流。在用户vashu1原来是50 A，显然也离现实不远。我认为vashu1我计算了整个管道中的电流之和，出于功率原因，这也是合理的。

这是一项研究。希望那很有趣。留下您的评论。我会尽力回答大家。如果您喜欢这篇文章，请在业力方面支持作者喜欢或加上。谢谢阅读。

文献

1. 杰克逊，J。古典电动力学：Per。来自英语 世界，1965年。
2. L.D. Landau和E.M. Lifshitz（1941）。场论。莫斯科; 列宁格勒：国家技术和理论文献出版社。
3. Sivukhin，D. V.“物理普通课程。第三卷。电力。” 莫斯科，《科学》出版社，物理和数学文学的主要版本（1977年）。
4. Yavorsky，B.M。和A.A.Detlaf。《物理学手册》。（1990）。
5. 基里坚科N.A. 电和磁。教程。-M。：MIPT，2011。-420羽