👞 👨🏾‍⚖️ 🔖 零和游戏和Karush-Kun-Takker条件 ⤴️ 📵 🗳️

在本文中，我将以对抗游戏为例，探讨寻找平衡的混合策略的问题。

假设有两个玩家A和B重复玩某个游戏。每次抽奖中的每个玩家都遵循几种策略之一-为简单起见，我们假设两个玩家的策略数量是相同且相等的 $n$ 。选择时 $i$ 策略第一玩家 $j$ 第二位玩家的策略，第一位玩家将获得胜利 $a_{ij}$ 而第二名玩家将获得相同的损失-这就是对抗游戏的安排方式。这些胜利可以写成方阵 $A$ ：

A = ‖ a_{i j} ‖, 1 \leq i, j \leq n

$A = \|a_{ij}\|, 1 \leq i, j \leq n$

玩家反复玩游戏，可以在不同的抽奖中使用不同的策略。混合策略是与每个玩家的纯策略相关的概率向量。每个玩家根据其混合策略为其定义的概率，在下一个平局中选择一种策略。如果用 $p$ 和 $q$ 玩家的混合策略，那么赢得第一个玩家的数学期望将是

f (p, q) = (A p, q) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} p_{i} q_{j} a_{i j}

$f(p,q) = (Ap, q) = \sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{p_i q_j a_{ij}}}$

如果没有玩家可以通过改变策略来增加赢利，则一对混合策略称为平衡。换句话说，对于其他任何策略 $p'$ ， $q'$ 执行：

(A p^{'}, q) \leq (A p, q) \leq (A p, q^{'})

$(Ap', q) \leq (Ap, q) \leq (Ap, q')$

在这里，我们现在正在寻找这种平衡。

1.平衡

因此，如果更改第一个玩家的混合策略不能增加他的获胜，而改变第二个玩家的混合策略不能减少他的损失，则一对混合策略形成平衡。

例如，考虑这样的回报矩阵：

A = (\begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{matrix})

$A = \begin{pmatrix} 2& 3 \\ 4& 1 \end{pmatrix}$

. , , . : (2 3). , , : (4 1). , , : (1 4). , . , , .

. , $(1/2, 1/2)$ , $(1/2, 1/2)$ . 2.5.

, , , . , .

$p$ $q$ , :

p = \arg max_{p^{'}} (A p^{'}, q), q = \arg min_{q^{'}} (A p, q^{'})

$p = \arg \max_{p'}{(Ap', q)}, q = \arg \min_{q'}{(Ap, q')}$

p_{i} \geq 0, q_{j} \geq 0, 1 \leq i, j \leq n

$p_i \geq 0, q_j \geq 0, 1 \leq i,j \leq n$

\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = \sum_{j = 1}^{n} q_{j} = 1

$\sum_{i=1}^{n}{p_i} = \sum_{j=1}^{n}{q_j} = 1$

, . - : , .

, , :

A = (\begin{matrix} 3 & 1 & 2 \\ - 2 & 3 & 1 \\ - 2 & - 2 & 3 \end{matrix})

$A = \begin{pmatrix} 3& 1& 2 \\ -2& 3& 1 \\ -2& -2& 3 \end{pmatrix}$

, ,

\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = \sum_{j = 1}^{n} q_{j} = 1

$\sum_{i=1}^{n}{p_i}=\sum_{j=1}^{n}{q_j}=1$

p = (0.74, 0, 29, - 0.03)

$p=(0.74, 0,29, -0.03)$

- , . - --.

2. --

-, , 1951- , , 1939- .

m i n_{x \in R} f (x)

$min_{x \in \mathbb{R}}f(x)$

, :

h_{i} (x) \leq 0, 1 \leq i \leq m

$h_i(x) \leq 0, 1 \leq i \leq m$

l_{j} (x) = 0, 1 \leq j \leq r

$l_j(x) = 0, 1 \leq j \leq r$

, , , --:

\frac{\partial}{\partial x} (f (x) - \sum_{i = 1}^{m} λ_{i} h_{i} (x) - \sum_{j = 1}^{r} μ_{j} l_{j} (x)) = 0

$\frac{\partial}{\partial{x}}\Big({f(x)} - \sum_{i=1}^{m}{\lambda_i h_i(x)} - \sum_{j=1}^{r}{\mu_j l_j(x)}\Big) = 0$

λ_{i} \cdot h_{i} (x) = 0, 1 \leq i \leq m

$\lambda_i \cdot h_i(x) = 0, 1 \leq i \leq m$

λ_{i} \geq 0, 1 \leq i \leq m

$\lambda_i \ge 0, 1 \leq i \leq m$

h_{i} (x) \leq 0, 1 \leq i \leq m

$h_i(x) \leq 0, 1 \leq i \leq m$

l_{j} (x) = 0, 1 \leq j \leq r

$l_j(x) = 0, 1 \leq j \leq r$

; .

— . :

$h_i(x) = 0$ ,
- $h_i(x) < 0$ , $\lambda_i=0$ .

, , , . , :

2 $\lambda_i$ ;
2, 1 5 ;
, 3 4;
2 ;
, .

, . .

3.

. , , « ».

$p$ :

$-(Ap, q) \rightarrow \min$
$-p_i \le 0, 1 \leq i \leq n$
$\sum_{j=1}^{n}{p_i} - 1 = 0$

$q$ :

$(Ap, q) \rightarrow \min$
$-q_j \le 0, 1 \leq j \leq n$
$\sum_{j=1}^{n}{q_j} - 1 = 0$

L_{1} (p) = - (A p, q) + \sum_{i = 1}^{n} α_{i} p_{i} - β (\sum_{i = 1}^{n} p_{i} - 1)

$L_1(p) = -(Ap, q) + \sum_{i=1}^{n}{\alpha_i p_i} - \beta \Big(\sum_{i=1}^{n}p_i - 1\Big)$

L_{2} (q) = (A p, q) + \sum_{j = 1}^{n} λ_{j} q_{j} - μ (\sum_{j = 1}^{n} q_{j} - 1)

$L_2(q) = (Ap, q) + \sum_{j=1}^{n}{\lambda_j q_j} - \mu \Big(\sum_{j=1}^{n}q_j - 1\Big)$

\frac{\partial L_{1} (p)}{p_{i}} = - \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} q_{j} + α_{i} - β

$\frac{\partial L_1(p)}{p_i} = -\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}q_j} + \alpha_i - \beta$

\frac{\partial L_{2} (q)}{q_{j}} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} p_{i} + λ_{j} - μ

$\frac{\partial L_2(q)}{q_j} = \sum_{i=1}^{n}{a_{ij}p_i} + \lambda_j - \mu$

--, . $p$ :

$\alpha_i \cdot p_i = 0, 1 \leq i \leq n$
$\alpha_i \ge 0, 1 \leq i \leq n$
$\sum_{i=1}^{n}{p_i} = 1$
$p_i \ge 0, 1 \leq i \leq n$

$q$ :

$\lambda_j \cdot q_j = 0, 1 \leq j \leq n$
$\lambda_j \ge 0, 1 \leq j \leq n$
$\sum_{j=1}^{n}{q_j} = 1$
$q_j \ge 0, 1 \leq j \leq n$

, :

\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} q_{j} - α_{i} + β = 0, 1 \leq i \leq n

$\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}q_j} - \alpha_i + \beta = 0, 1 \le i \le n$

\sum_{i = 1}^{n} a_{i j} p_{i} + λ_{j} - μ = 0, 1 \leq j \leq n

$\sum_{i=1}^{n}{a_{ij}p_i} + \lambda_j - \mu = 0, 1 \le j \le n$

\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1, \sum_{j = 1}^{n} q_{j} = 1

$\sum_{i=1}^{n}{p_i} = 1, \sum_{j=1}^{n}{q_j} = 1$

$4n +2$ $2n+2$ . :

$\alpha_i \cdot p_i = 0, 1 \leq i \leq n$
$\lambda_j \cdot q_j = 0, 1 \leq j \leq n$

$p_i$ , $\alpha_i$ , $q_j$ , $\lambda_j$ . , $2^{2n}$ $2n$ . $2^{2n}$ , $2n+2$ $2n+2$ ( ).

, --:

α_{i}, p_{i}, λ_{j}, q_{j} \geq 0, 1 \leq i, j \leq n

$\alpha_i, p_i, \lambda_j, q_j \ge 0, 1 \leq i, j \leq n$

, . $i$ :

\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} q_{j} - α_{i} + β = 0

$\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}q_j} - \alpha_i + \beta = 0$

, $\alpha_i$ ,

\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} q_{j} + β = 0

$\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}q_j} + \beta = 0$

$\alpha_i$ , $q$ $\beta$ :

α_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} q_{j} + β

$\alpha_i = \sum_{j=1}^{n}{a_{ij}q_j} + \beta$

, : $A$ . , $\alpha_i$ , $\lambda_j$ : , ; . :

\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} q_{j} + β = 0, 1 \leq i \leq n

$\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}q_j} + \beta = 0, 1 \le i \le n$

\sum_{i = 1}^{n} a_{i j} p_{i} - μ = 0, 1 \leq j \leq n

$\sum_{i=1}^{n}{a_{ij}p_i} - \mu = 0, 1 \le j \le n$

\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1, \sum_{j = 1}^{n} q_{j} = 1

$\sum_{i=1}^{n}{p_i} = 1, \sum_{j=1}^{n}{q_j} = 1$

p_{i}, q_{j} \geq 0, 1 \leq i, j \leq n

$p_i, q_j \ge 0, 1 \leq i,j \leq n$

, $n+1$ $n+1$ . .

5.

: , . . , $p$ , $q$ , $p'$ , $q'$ :

(A p^{'}, q) \leq (A p, q) \leq (A p, q^{'})

$(Ap', q) \leq (Ap, q) \leq (Ap, q')$

, , . , . , . : $p_1, q_1; p_2, q_2; ... ; p_k, q_k$ — . $p, q$ ,

\forall i \in 1, . . ., k : (A p_{i}, q) \leq (A p, q) \leq (A p, q_{i})

$\forall i \in {1,...,k}: (Ap_i, q) \leq (Ap, q) \leq (Ap, q_i)$

6.

GitHub: https://github.com/ashagraev/zero_sum_game

matrix.h : , , . . , .

kkt.cpp. . , callback'.

一个游戏中可以有多个平衡；此外，其中可以无限多个。无论如何，您都需要为以下事实做好准备：算法将输出多个解决方案（整个解决方案集将是派生的解决方案上的一些线性壳）。因此，函数的签名假定结果是策略的向量，而不是一个策略。相应地，主要显示所有这些向量。

该程序的输入矩阵示例在input.txt中，而在这些示例上运行该程序的结果在output.txt文件中。

零和游戏和Karush-Kun-Takker条件

1.平衡

2. --

3.

5.

6.

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