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一个自然数列及其元素的模型。多行单元格




在有关自然数列（NRF）的一系列文章的另一篇文章中，使用了概念和符号G 2± -离散平面（来自坐标为（x1，xo）的单元）形式的NRF模型（请参见此处），其中合成为偶数或模型的每个像元中的奇数自然数（VLF）由关系N = x1 2 ± xo 2来描述。我们考虑RSA密码模块的自然数序列的另一个重要属性，即模型单元的多样性，这对于解决大数分解（ZFBCH）问题非常重要。

关于代数环和RSA密码


密码RSA等基本上是基于严格的数学构造-模数为N = dmdb的模的有限数值残差环（KCHKV），其中dm是较小的主除数，db是较大的除数。

对密码的密钥（尤其是N模块的密钥）的要求是，两个除数都应是非常高容量的质数（最多300个十进制数字）。请参见此处

对密码密钥的另一个重要要求是除数
| db-dm | 的差异要求。＝Δ。它应该具有与分隔器相同的高容量。 KPKV的一个简单示例是自然数列的初始片段，外加零元素。连续的所有数字构成一个从0到N-1的环。有关环的更多详细信息，请参见高等代数的教科书。

估计RSA密码对密钥公开的抵抗力非常高，并且自从1978年公开以来，世界上所有的密码学家破解密码的努力都没有成功。这种情况有多种原因。

用于实现对密码的攻击的已发布算法基于新时代之前Eratosthenes提出的数字筛的概念。在每个新出版物中，我们都看到了该算法的稍有改进和改进的版本，但是显然，这些改进不足以成功。 Eratosthenes筛子的想法[1]在他那个时代是进步的，但现在不起作用了。

在Internet上，有一个邀请公司进行分解的RSA编号列表。该清单于1991年发布，距离完成还很遥远。由于数字本身对所有人开放，因此可以对列表中的数字进行乘法分解的结果进行分析。

从分析中可以得出，数字说明中的位数越多，分解所需的时间就越多。结论是，模块N的分解使用对数字的容量非常敏感的算法，即，算法使用的数字性质非常依赖于其容量。我的意思是像数字的“除数符号”之类的属性。它们实际上不依赖于可分解数的位数（请参见此处）。

通常，出版作品仅限于数字本身的处理，而忽略其环境，特定数字系统中近邻和远邻的属性。作者对新的计算设备寄予了很高的希望和期望：量子，光子，分子等。

出版物的作者和公司的所有者，即加密算法不会否定其他新方法，也不会排除基于新思想创建新算法的可能性，为此，将无法进行大量分解的任务并且其解决方案将会成功。我，作为该出版物的作者，对解决HFBCH领域的最新发展感到着迷。

我的大部分出版物都只讨论新方法，从合成自然数列的模型开始，研究它们的性质，并在开发用于求解ZFBCH的新原始算法时使用这些性质。朝着这个方向它成立（开）分布规律分频器（RDA）数N NRCH RDA。

垂直（列）G 2± -NRF型号


这种新方法的一个示例是使用平方数对的和。这些数字取自NRF，并且必须满足要求：两个数字是相邻的，并且它们的和等于我们要分解的合成数字N，另外两个数字是满足方程N + x1 2 = xo 2的平方。

另一个要求：加法分解的相邻数的平方和与找到的两个平方的和必须具有相等（匹配）的值（请参阅此处）。如果可以满足上述要求，则可以保证N的分解。下面的示例1说明了这种可能性。

所考虑的方案是原始的，与L. Euler和其他数学家提出的方案不同，其理解更为简单和透明。

例子1。 （平方和）。给出了复合数N = dmdb = 209723.需要找到它的乘法分解，即因子dm和db的值。
解决方法。我们使用2 +中的平方和的性质-双曲圆模型。

我们取N的平方根√209723= 457.955 = 458并四舍五入为更大的整数。
接下来，我们发现以下正方形的差异，并与检查这个差的充分平方相等的数目N：458 2 - 209723 = 41≠▢，459 2- 209723 = 958≠▢，460 2 - N的≠▢，
461 2 - N的≠▢，

462 2 - 209723 = 3721 = 61 2 =▢。在第5步，所需的差等于整个平方。我们发现N = 209723 = sm + sb = 104861 + 104862的加法分解为相邻项。检查模型
N（x11，xo）= N（x11，sm），N（x12，xo2）= N（x12，sb）中单元格的平方和是否相等，
其中sm，sb是列号，x11和x12是行号， 楷模。这些数字由平方和的等式确定。

sm 2 + 462 2 = 104861 2 + 213444 = 10995829321 + 213444 = 10996042765;
sb 2 + 61 2 = 104862 2 + 3721 = 10996039044 + 3721 =10996042765。单元格中的数量与预期的一样，彼此相等。

对于这样的和，我们写的平等SM 2 + 462 2 = SB 2 + 61 2并将其转变成平方差的平等462 2 - 61 2 = SB 2 - SM 2。在右侧，所述平方差总是等于N，以及左差被转化为产物
462 2 -61 2 =（462-61）（462 + 61）= 401·523 = 209723 = N.

这两个因子均为素数，即 N的因式分解成功完成。这种方法的缺点是需要在模型的相邻列中找到具有匹配值的平方和。如果数量众多，这是一个相当耗时的操作。从本质上讲，此任务减少到选择这样一个正方形，当与数字N相加时，将得出一个更大的正方形。

水平（行）G 2--低频模型


通过处理数字来解决诸如HFBCH或离散对数之类的紧急问题，建议研究人员以某种方式对数字进行排序和分类（在此），并且不会盲目地（不是随机地）工作，而是基于关于结果的假设来预测预期的结果。G 2 --NRF模型

的行（水平）的属性之一是模型的下一行的每个单元格的值与上一个单元格中的值的线性相关，这可以通过简单地求和来自两个相邻行的上端的单元格的值与来自下一行的最后一个单元格的常数的简单求和来表示，然后是 N（X1，X0）= N（H1-1 HO）+ N（X1，X1 - 1），HO运行而整个底部线（见表1）可点击




图1的值是前100个复合奇数的倍数（以填充突出显示）
该图显示了用填充填充的单元格，其数字等于对角线数字的乘积。

这些数字的特殊之处在于，当CCCH模N中的对角线数被显示（平方）并以环为模带来结果时，它们被视为环的元素（固定元素）。

作为模块的第一个数字是N = 15。对于它，所述多个单元格中包含的对角线的数的乘积10·6 = 60 = 15·4的倍数与所述系数k = 4。对于对角线的数目的模块的：6 2 ≡6（mod15）; 10 2 ≡10（mod15）。

将第二个数字作为模块N = 35。对于它，所述多个单元格中包含的对角线的数的乘积21·15 = 315 = 35·9的多个具有系数k = 9为对角线的数目的模块的：15 2 ≡15（mod35）;
21 2 ≡21（mod35）。因此，属于长对角线D1的所有数字N都将在该行中，用填充表示多个N单元。

示例2。（计算多个像元）。设置复合KChKV模块N = 77。根据属性1,2，单元格N中的值（x1 = 39，xo = 17）计算为给定以上单元格中的值与行x1 = 39中最后一个单元格中的值之和等于CCFV模量。
N（x1，xo）= N（x1 = 39，xo = 17）= N（38，17）+ N（39，39-1）=> 1232 = 1155 +77。
N（X1，X0）= N（X1 = 39，XO = 17）= N（38，17）+ N（39，39 -1）= 38 2 - 17 2 + 39 2 - 38 2 => 1232 = 1155 +77。

在另一方面，在一个任意行中的每个单元的值被计算为细胞坐标的平方差或作为细胞坐标的由它们的和的差的乘积
N（X1，X0）= N（X1 = 39，XO = 17）= 39 2 - 17 2 =（ 39-17）（39 + 17）= 22.56 = 1232 = 16.77。

还有其他不太明显的方法来计算单元格中的值。

所考虑的示例非常出色，因为它通过复合模块建立了所考虑模型的形式化连接，并带有有限的残差数字环。

已知长的第一对角线2 ±是NRF模型。在其单元格中包含以下所有数字，这些数字连续为奇数，可以将其视为用于简化代数结构的模块。结构本身由自然数组成。在这里，我们不会深入研究高阶代数的概念，但是，我们只会指出从NRF 的G 2-模型中表示出来的有趣事实。

在QPCW结构以N为模的所有元素中，有一个集合I = {x}，它被称为等幂，并且其平方在归约（模归约）后保留其值。x 2 x（mod N）。这样的元素在映射理论中称为不动。此外，我们将用符号I1，II表示幂等，...

另一类元素，该组H = {X}的QCF，称为对合的，具有以下特性X 2 ≡1（mod N）的。此外，我们将用符号1，2，...表示对合

。此类环元素在解决应用问题中的作用非常重要，在这里我们将考虑一些有趣且有用的事实，以解决HFBC。事实是，环的理论并不能回答环的哪些元素是幂等，是对合的问题。对于环的给定模块N，如何建立这些元素，如何确定其值。

事实证明，幂等性是模块N的不同因数的倍数。它们的乘积模为零，因为它是N的倍数，但是两个幂等数的总和等于N +1。有了幂等性值，我们可以解决找到最大公因数的问题（共同点）无论是对于模块还是对于幂等）。

从这里开始，解决环形模块的分解问题就不远了，这将确保找到非对称密码的私钥，并且成功破解这种密码。

所考虑的示例的单元格的值是该行最右边单元格的值的倍数（该单元格的倍数），其特殊之处在于，对角线在该单元格倍数中的乘积是环的幂等乘积。

使用有限环的幂等式对N进行因式分解


VLF N.分解方案。KPKV幂等的使用。
所有（1，）G 2-单元格都是唯一的，并以行组合：水平与数字1（它们包含数字1单元格），垂直与数字1，对角线：短（K）与x1 + xo和数字（x1-xo）的long（D）。

在模型的每个像元（x1，xo）中，指定类型的线相交，其数量由像元的坐标确定。模型的单元格可以不包含任何数字，而只能包含其他数字（坐标）的平方的可表示差异。

可以通过数字x1设置模型的水平，通过数字xo设置模型的垂直。每个像元包含数字N（x1，xo）= x1 2 - xo 2。最后一个水平像元形成一个长对角线D1，并 取决于水平数，其值

N（x1，x1-1 ）= x1 2 - x1 2 + 2x1–1 = 2x1-1

。该对角线的像元连续包含所有以下奇数。对于数字范围[d1min，d1max]，d1min，d1max ∊ D1，它们的值之和定义了N的加法形式。

示例3（将多个单元格的kN值计算为对角线D1的一个片段的元素之和）

= 77 + 75 + 73+ ... + 37+ 35 = 1232 = 16·77 = 22·56，
其中i = 1（1）22。 后者意味着总项数（22）等于较小的除数


N（x1，xo），并且平均项（56）是N（x1，xo）的较大除数。

如果将等式x1 = xo 的主To对角线G 2± -模型的单元格包含在G 2--模型中，则它们中的值将为零。然后，在其最后信元生成在用数字X1的行的单元中的值时，我们得到的值2x1-1，因为它与从具有位于它上面的数字X1-1该行的单元格的值总结了，该值是0重要性质ģ 2 - -模型及其单元如下。

物业1。 1通过它们的值与2×1的恒定值求和- - 1.在当前水平X1的细胞的所有数字可以从号码的前一个（上部）水平与数X1相应的细胞中获得

表1 -片段ģ 2 - - 2行模型第38和39，N = 77



事实上，N（X1，X0）= N（X1 -1，XO）+ 2×1 - 1 = X1 2 - 2×1 + 2×1 + - 1- XO 2 = X1 2 - 何2。

物业2。第二个属性从第一个开始。可以将水平单元格中具有数字x1的任何数字N（x1，xo）作为长对角线D1的片段的单元格中的值的总和，其中d1max较大是最后一个水平单元格x1中的数字，而较小的d1min是与对角线D1相交的单元格中的数字与垂直豪。

物业3。对于放置在水平x1的最右边单元中的平方VLF N，在此水平中存在一个单元，其中将放置N的倍数，即数kN，k> 1.搜索这样的单元是一个难以解决的重要问题。

表2中的数据对此属性进行了说明。对于前100个无平方和复合N的数字，将其放置在值d2 2 D1中，值为2x1-1-1，另一个包含值N（x1，xo）= kd1的单元格（x1，xo）为整数d1。

表2.


K·D是与单元格相交的对角线与kN的乘积。

物业4。可以将当前水平x1的像元中的所有数字N（x1，xo）作为对角线a = x1 + xo short和b = x1-xo long的数量的乘积，这些对角线在这些像元中相交。实例4

方便地说明这些属性。我们会考虑 2 -
-模型。对于ELF的分解，我们设置N = pq = 7·11 = 77.这是一个奇数，长对角线D1中有一个单元格水平放置，数字x1 =½（N + 1）= 39.

77本身位于最后像所有其他单元格一样，此水平单元格包含坐标x1 2 - xo 2的平方差。

垂直xo = 0中该水平的第一个像元被数字
x1 2 = 39 2 = 1521 占据。一方面，水平x1的任何中间像元中的数字值是数字b = x1-xo长和短a = x1 + xo对角线的乘积，其中相交的ab =（x1 + xo）（x1-xo）。

另一方面，它等于水平数的平方（对于所有水平像元，此平方x1 2相同）和垂直xo 2之差，垂直数xo 2也在此中间像元中相交。
N（x1，xo）= x1 2 - xo 2。

此外，水平单元格x1中的所有值（通过属性1）等于编号为x1-1-1的相应水平单元格的值N（x1，xo）= N（x1-1，xo）+ 77的总和。从上面的上一个常量开始，它等于N =77。

假设对于对角线的数目，为短边选择x1 + xo = I1 = 56，而对于长边，x1为xo = I2 = 22，即，余环模N的非平凡幂等值。

当我们将非平凡幂等数乘以G 2--模型的对角线时，我们得到一个水平单元格（数字x1 = 39）作为乘积，其为残留环模量（77）的倍数，其位于此水平单元的最后一个单元格中，即I1·I2 = 56·22 = kN = 16·77 =1232。

从环的理论还知道，非平凡的幂等数之和等于1+2= N + 1。因此，关于未知幂等幂，我们获得了一个方程的代数系统，该方程组除了两个未知幂等幂之外，还包含第三个未知数-多重系数k> 1。



幸运的是，系数k可以在代数方程组之外确定。假设系数k已经由我们k = 16确定。然后我们求解方程组。



二次方程式的最后一项必须设为39的平方。为此，请将289 = 17 2加到方程式的左侧和右侧。然后，我们得到
（I2-39）2 = 17 2或I2-39 =±17，最后，I2 = 17 + 39 = 56或I2 =
39-17 =22。答案：幂等式等于I2 = 22； I1 = 56，反之亦然：I2 = 56和I1 =22。

现在我们回到确定多重系数k的值的问题。
考虑以下确定模块N的多重系数的

算法

。算法1.给出一个复合数N = 77-残环模块；

2.在第一个单元格中，用N确定水平数x1 =½（77 + 1）= 39的值
我们将一个平方39 2 = 1521放到最后一个单元格中将N = 77;

3.幂等乘积出现在中间水平单元格x1 = 39中；对于该单元，满足条件是其中的数量等于kN，并且可以用自然数平方的差表示。

4.因此，每当我们确定k的值时，从第一个水平像元39 2 = 1521 的平方中重复减去x0 = 1,2,3，...的值是连续的，它是整数吗？一旦差变为N的倍数，就解决了问题：找到了kN。

还考虑另一种用于确定模块N的多重系数的算法

。1.给出一个复合数N = 77-残环模块；

2.用N确定水平数x1 =½（77 + 1）= 39的值，在第一个单元格中
放平方39 2 = 1521，在最后一个单元格中放N = 77；

3.幂等乘积出现在水平x1的中间单元中；对于该单元，满足条件是其中的数量等于kN，并且可以用自然数平方的差表示。

使用属性2可以通过在此处指示的路径找到kN，即从对角线D1的一个片段中以d1max = 77开始并以d1min结尾的单调递减的奇数求和，其值是先验未知数d1min，d1max ∊ D1。

4.要在每个求和步骤之后确定最后一项，则用N = 77来检验所得和的可除性。解决方案是将被77整除的和。

表3-N的数字是中心线上3的倍数（预测用填充突出显示）



在此表中是复合数字（倍数） 3）依次间隔6和12。实际上，在N行中，我们有21-15 = 6，33-21 = 12，并且顺序相同。推测N的表格值之间的差距是由于以下事实：在六个相邻的数字中有两个素数，例如16、17、18、19、20。

3的下一个倍数21仅是15之后的第六个。在12个连续数字中，成对的双素数是可能的，例如10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20，或将40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50的正方形与简单双胞胎混合在一起，通常在选择时要保证不会在对应于三的倍数的位置出现非整数。

即，这种条件确保了远期预报的可靠性。丢失的数字不仅是三的倍数，而且是大质数，这使得它们可以从其他位置考虑。

出版物

清单1.Stechkin B.S.，Matiyasevich Yu.V. Eratosthenes的筛子// S.B.国际学校的议事录 Stechkina的功能理论。－叶卡捷琳堡，1999年。148。

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