我继续从文章“教科书和学习的好奇心”一文中开始的错误和曲折的话题。我记得这些定义：

Blooper是一个公然或掩盖的错误，但这不是根本性错误，因此您可以在遭受痛苦之后将其修复。
Zagogulina是一个短语，以这样一种方式提出了一个主题：要理解它，就需要砸碎一个人的头（普通，不是天才，不是才华）。

1.公式的简单性是什么？

以《概率论》一书为例。基本概念。极限定理。随机过程”，Yu.V. Prokhorov，Yu.A. Rozanov，“科学”，1967年。我
引用第14页的文字：
“斯特林公式。在以上所有公式中，表达式

n! = n (n - 1) \dots 1

$n!=n(n-1)…1$ 。对于大的n直接计算此类乘积非常费力。有一个相对简单的公式可以给出n！的近似值，称为斯特林公式：对于较大的n

n! ∽ \sqrt{2 π n} n^{n} e^{- n}

$n! \backsim \sqrt{2πn}n^n e^{-n}$

在其他书籍和Internet中也可以找到类似的短语。

我不明白，斯特林公式比定义公式更简单

n! = n (n - 1) \dots 1

$n!=n(n-1)…1$ 。在哪个方面更容易？如何简单地安排公式？由于关键短语是“对于大n直接计算此类乘积非常费力”，因此自然而然地会在减少计算量的情况下假设更大的简化度。好吧，让我们从这一方面来。从一个和另一个公式中的基本运算次数的位置（从计算机的角度）比较这些公式。在公式

n! = n (n - 1) \dots 1

$n!=n(n-1)…1$ 有n个乘法。在斯特林公式中，我们有以下操作：

$\sqrt{2πn}$ -两次乘法和一次根提取。提取根不是基本操作，但是其实现需要一个计算周期，并且时间越长，所需的计算精度就越高。
$n^n$ -n个乘法。 $n^n=nnn…n$ 。毕竟，我们不会反驳这是一项操作。在这种情况下，我们可以说n！一项操作。至少在没有计算机的情况下，度数和指数函数都不是基本运算。
$e^{-n}$ -这也不是基本操作，但是其实现需要一个计算周期，并且时间越长，所需的计算精度就越高。

最有趣的是

n^{n} = n n \dots n

$n^n=nn…n$ 宣布容易

n! = n (n - 1) \dots 1

$n!=n(n-1)…1$ 。从简单性的任何角度来看，此后都无法再进行进一步的推理。
因此，很显然，从计算复杂度的角度来看，斯特林公式绝不比定义公式简单。
那么为什么我们需要斯特林公式呢？没有普遍的答案。而且，这还不算简单。一切都取决于情况。例如，不太可能简化表达式

N! / (N - 1)!

$N!/(N-1)!$ 您需要应用斯特林公式。定义公式立即给出

N! / (N - 1)! = N

$N!/(N-1)!=N$ 。
通常，如果我们具有诸如Formula1≡Formula2的标识，则有时用Formula2替换Formula1是有益的，有时反之亦然。
在某些情况下，斯特灵公式的应用会导致其所进入的公式的术语明显减少，这很难确定是否使用了定义公式。至少在统计物理学中是如此。在那里，所有基本数量均以统计权重表示，其公式与阶乘闪烁。但是，例如，熵是通过状态数的自然对数表示的。这是形式的角色开始发挥作用的地方，在这种情况下，通过阶数来表示阶乘：

l n (n!) ∽ n l n (n / e)

$ln⁡(n!) \backsim nln(n/e)$

以下是斯特林公式的应用示例，摘自菲希滕霍茨（v.2）：

2.记号的含义

以教科书“基本粒子物理学”为作者，N.F。Nelipa，莫斯科，“高等学校”，1977年。在第19页上，记录了动量和坐标表示之间的关系：

φ (x) = (1 / (2 π)^{2}) \int d p e^{- i p x} φ (p) (1)

$φ(x)=(1/(2π)^2) ∫dpe^{-ipx}φ(p) \ \ \ \ (1)$

我们看到该公式同时包含φ和φ。如果这是一个身份，那么看看这个公式，一个不太老练的人可以得出这些结论。
我们取φ（x）= 1
然后从（1）得到

1 = (1 / (2 π)^{2}) \int d p e^{- i p x} 1

$1=(1/(2π)^2) ∫dpe^{-ipx}1$

得到了“奇妙”的团结分解，或者类似地，

s i n (x) = (1 / (2 π)^{2}) \int d p e^{- i p x} s i n (p)

$sin(x) =(1/(2π)^2) ∫dpe^{-ipx}sin(p)$

所有这些显然都是胡说八道。那怎么办？
或者关系（1）应该解释为以下类型的方程

x^{2} = b x

$x^2=bx$ ？
我们看其他书。这是另一本“基本粒子物理学”，作者加齐奥罗维奇（Gaziorovich），莫斯科，“科学”，1969年。在第20页上，我们有公式

φ (x) = (1 / (2 π)^{2}) \int d p e^{- i p x} φ ̃ (p) (2)

$φ(x)=(1/(2π)^2) ∫dpe^{-ipx} φ ̃(p) \ \ \ \ (2)$

我松了一口气。这只是坐标和动量表示之间的联系，它是通过傅立叶展开从数学的观点给出的。此处φ和φ̃是不同的功能。但是公式（1）Nelips呢？从数学的角度来看，这是不正确的。如果φ是一个函数，则φ（x）和φ（p）都是一个函数。我遭受了很长时间的折磨（“作者不禁注意到这一点。这意味着情况比较棘手”），然后从物理学的角度找到了借口。在这里是：
φ（x）和φ（p）是不相同的函数，它们是一个场φ，并且表示形式不同。该字段是一个，但是其表示形式有所不同。视图类型由方括号中的字母指定。我们关注领域不变的事实。观点正在改变。所以我放心了。但是，先生们，作者们，您正在写教科书。向凡人解释什么是什么。然后，读者必须为作者找到借口。

此外，我将转向NN Bogolyubov和DV Shirkov所著的苏联量子经典“量子场论简介”（1973年，莫斯科），第28页。

φ (x) = (1 / (2 π)^{3 / 2}) \int d k e^{- i k x} φ ̃ (k) (3)

$φ(x)=(1/(2π)^{3/2}) ∫dke^{-ikx}φ ̃ (k) \ \ \ \ (3)$

精细。与前面提到的加齐奥罗维奇相似。但是，进一步看。我引用：
“ ...我们发现函数φ̃（k）满足方程

(k^{2} - m^{2}) φ ̃ (k) = 0

$(k^2-m^2 ) φ ̃ (k)=0$

因此，可以表示为

φ ̃ (k) = δ (k^{2} - m^{2}) φ (k)

$φ ̃ (k)=δ(k^2-m^2 )φ(k)$

而且，据说，考虑到这一点，分解（3）将采取以下形式：

φ (x) = (1 / (2 π)^{3 / 2}) \int d k e^{- i k x} δ (k^{2} - m^{2}) φ (k) (4)

$φ(x)=(1/(2π)^{3/2}) ∫dke^{-ikx} δ(k^2-m^2 )φ(k) \ \ \ \ (4)$

同样，我们返回到φ到φ的表示形式。从可理解的加齐奥罗维奇来到了难以理解的尼利佩。这是什么意思？这是方程式吗？我认为在这里也有必要给出与上述Nelipa情况类似的解释。
这确实是一个花招。由于某种原因，这种花招只能在苏联作家的书中遇到我。
我将返回Nelip的作者。我们以他的书“基本粒子的物理学。仪表场。推荐该书作为学习指南。这使教科书必须尽量减少各种默认值。无需强迫学生考虑解决默认值的问题。对他来说已经很难了。但是，我们采用公式（1.2.14）和前面的文本：
矩阵

λ_{k}

$λ_k$ 满足以下换向关系（李代数）：

[λ_{k}, λ_{j}]_{-} = 2 i f_{k j n} λ_{n}, S p λ_{i} λ j_{k} = 2 δ_{i j} (1.2.14)

$[λ_k,λ_j ]_-=2if_{kjn} λ_n, Spλ_i λj_k=2δ_{ij} \ \ \ \ (1.2.14)$

没有一个词说求和是n的意思。这既没有在序言中也没有在正文中。书中有很多这样的公式。
而且，引言中说：
“两个四维向量的标量积写为

loop子和花体。2

1.公式的简单性是什么？

2.记号的含义

3.较大的花形测量

$\ \ \$ 3.1。狄拉克

$\ \ \$ 3.2。兰道

$\ \ \$ 3.3。布洛欣采夫

$\ \ \$ 3.4。苏斯金德

$\ \ \$ 3.5.

$\ \ \$ 3.6。威曼

$\ \ \$ 3.7.

$\ \ \ \ \ \$ 3.7.1。否定投影假设

$\ \ \ \ \ \$ 3.7.2。拒绝非确定性减少

$\ \ \$ 3.8。摘要

$\ \ \ \ \ \$ 3.8.1。烹饪

$\ \ \ \ \ \$ 3.8.2。测量

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