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Estudante de graduação resolveu um problema topológico há meio século

Lisa Picchirillo levou menos de uma semana para encontrar uma resposta para a velha pergunta sobre um nó estranho descoberto há mais de cinquenta anos pelo lendário matemático John Conway.




No verão de 2018, em uma conferência sobre topologia e geometria de baixa dimensão, Lisa Picchirillo ouviu falar de um pequeno problema matemático. Ela parecia um bom campo de testes para algumas das técnicas que Lisa desenvolveu como estudante de graduação na Universidade do Texas em Austin.

“Não me permiti trabalhar durante o dia”, disse ela, “porque não considerava essa tarefa uma matemática real. Eu a percebi mais como lição de casa.

A questão era: o nó de Conway - um tecido complexo de corda, descoberto há mais de cinquenta anos atrás pelo lendário matemático John Horton Conway - é uma fatia de um nó de maior dimensão. "Sliceness" é uma das primeiras questões naturais que especialistas emas teorias dos nós perguntam sobre nós em espaços de alta resolução, e os matemáticos foram capazes de respondê-lo por muitos milhares de nós com não mais de 12 cruzamentos - todos, exceto um. O nó de Conway, que possui 11 interseções, brinca com matemáticos há muitas décadas.

Antes do final da semana, Picchirillo estava pronto para responder: o nó Conway não é a seção mencionada. Alguns dias depois, ao se encontrar com Cameron Gordon, professor da Universidade do Texas, ela mencionou casualmente sua decisão.

"Eu disse isso?? Sim, deve ir imediatamente aos Anais! - disse Gordon, referindo-se a uma das maiores revistas de matemática, Annals of Mathematics.

"Ele começou a gritar: por que você não está feliz com isso?" Disse Pichchirillo, agora pós-doutorado na Universidade de Brandeis. "Ele é como um louco."

"Não acho que ela tenha percebido a idade e a importância dessa tarefa", disse Gordon.

EvidênciaPiccirillo apareceu na revista Annals of Mathematics em fevereiro. Este trabalho e suas outras conquistas lhe deram um lugar no Instituto de Tecnologia de Massachusetts, onde ela começará a trabalhar em 1º de julho, apenas 14 meses depois de defender seu doutorado.

A questão de saber se o nó de Conway pertencia ao ponto de corte era famosa não apenas porque permaneceu sem resposta por tanto tempo. Os nós cortados dão aos matemáticos a oportunidade de sondar a natureza estranha do espaço quadridimensional, no qual às vezes é possível unir esferas bidimensionais em um nó de maneira tão amassada que não podem ser suavizadas. A sobriedade está "relacionada a algumas das questões mais profundas da topologia quadridimensional", disse Charles Livingston , professor emérito da Universidade de Indiana.

"A questão do cisalhamento dos nós conway tem sido um critério para muitos desenvolvimentos modernos relacionados a aspectos gerais da teoria dos nós", disse Joshua Green, do Boston College, supervisor graduado Piccirillo. "Foi muito bom ver como um homem que eu conhecia há algum tempo repentinamente puxou essa espada de uma pedra."

Esferas mágicas


Muitos de nós imaginam o nó como um pedaço de corda entrelaçada com duas pontas. No entanto, os matemáticos trabalham com cordas cujas extremidades estão interconectadas, como resultado do qual o nó não pode ser desembaraçado. Ao longo do século passado, esses laços atados ajudaram a estudar questões de vários campos da ciência, da física quântica à estrutura do DNA, bem como da topologia de espaços tridimensionais.


Neste vídeo de 1990, John Conway explica como, no ensino médio, ele mostrou que dois nós não se anulam.No

entanto, se levarmos em conta o tempo como medida, nosso mundo será quadridimensional, por isso é natural perguntar sobre a existência de uma teoria apropriada de nós em 4D. E isso não significa que podemos simplesmente pegar todos os nós tridimensionais e empurrá-los para o espaço quadridimensional: se você tiver quatro dimensões, poderá desfazer qualquer laço se começar a levantar os pedaços de corda um sobre o outro na quarta dimensão.

Para dar um nó em 4D, você precisa de uma esfera bidimensional, não de um loop unidimensional. Assim como as três dimensões fornecem espaço suficiente para amarrar loops, mas não para desatá-las, as quatro dimensões fornecem um lugar para amarrar esferas, o que os matemáticos fizeram pela primeira vez na década de 1920.

É difícil imaginar uma esfera ligada no espaço quadridimensional, mas para isso é útil imaginar uma esfera normal em 3D. Se você cortá-lo, verá um loop não ligado. Mas se você cortar a esfera conectada em 4D, verá um loop conectado (ou, possivelmente, um loop não conectado ou vários loops conectados um ao outro - isso depende de onde cortar). Qualquer nó que possa ser obtido cortando uma esfera conectada é considerado cortado. Alguns nós não são cortados - por exemplo, um nó com três interseções, trifólio.



Nós cortados "colmatar as histórias tridimensionais e quadridimensionais da teoria dos nós", disse Green.

No entanto, há um problema que revela a riqueza e a especificidade da história quadridimensional: na topologia quadridimensional, existem duas opções diferentes para cisalhamento. Várias obras revolucionárias no início dos anos 80 (pelas quais Michael Friedman e Simon Donaldson receberam o Prêmio Fields) mostraram que o espaço quadridimensional contém não apenas esferas suaves que imaginamos intuitivamente. Também possui esferas amassadas que não podem ser suavizadas. E a questão do corte do nó depende de se considerar essas esferas amassadas.

"São objetos muito, muito estranhos, quase mágicos", disse Shelley Harveyda Rice University (foi no relatório de Harvey em 2018 que Piccirillo soube pela primeira vez sobre o nó de Conway).

Essas esferas estranhas não são um erro da topologia quadridimensional, mas sua peculiaridade. Nós de corte topológico, mas não de "corte suave" - ​​ou seja, nós que são fatias de esferas amassadas - permitem que os matemáticos criem os chamados Variantes "exóticas" do espaço quadridimensional usual. Do ponto de vista topológico, essas cópias do espaço quadridimensional têm a mesma aparência de sempre, mas ao mesmo tempo estão irrevogavelmente amassadas. A existência de tais espaços exóticos distingue a quarta dimensão de todas as outras.

A questão do corte é a "menor sonda" para esses espaços quadridimensionais exóticos, disse Green.

Ao longo dos anos de pesquisa, os matemáticos descobriram um conjunto inteiro de nós cortados topologicamente, mas não sem problemas. Entretanto, entre nós com o número de interseções de até 12, ao que parece, não foi observado - com a possível exceção do nó Conway. Os matemáticos puderam descobrir o ponto de corte de todos os outros nós com o número de interseções não superior a 12; no entanto, eles não receberam o nó de Conway de forma alguma.

Conway, que morreu no mês passado devido a um coronavírus, era conhecido por suas importantes contribuições a uma ampla gama de áreas da matemática. Ele se interessou por nós pela primeira vez na década de 1950 e criou uma maneira simples de listar quase todos os nós com o número de interseções de até 11 (as listas completas anteriores incluíam apenas nós com o número de interseções de até 10).

Mas um nó nesta lista se destacou. "Acho que Conway percebeu que esse nó era de alguma forma especial", disse Green.

O nó de Conway, como mais tarde foi chamado, é uma seção topológica - os matemáticos entenderam isso na década de 1980 como parte de uma série de descobertas revolucionárias. No entanto, eles não conseguiram descobrir se era um corte suave. Eles suspeitavam que não fosse assim, pois ele não tinha uma característica como a "fita" que geralmente é observada em nós suaves. No entanto, outro recurso não deu chance a todas as tentativas de mostrar que esse corte não é suave.

Nomeadamente, o nó de Conway tem um nó fraterno, ou, como dizem na teoria dos nós, uma mutação. Se você desenhar um nó de Conway no papel, cortar uma parte dele, virar um fragmento e reconectá-lo, obterá outro nó, conhecido como nó Kinoshita - Terasaki .


Para provar que o nó de Conway não é um corte suave, os cientistas foram impedidos por sua semelhança com o nó de Kinoshita - Terasaki. Lisa Picchirillo descobriu como amarrar uma companheira nova e mais complexa ao nó Conway.

O problema é que esse novo nó é um corte suave. E como o nó Conway é muito parecido com uma fatia suave, evita os efeitos de todas as ferramentas (invariantes) usadas pelos matemáticos para determinar nós que não são fatias.

"Quando um novo invariante apareceu, tentamos testá-lo no nó Conway", disse Green. "E este é um exemplo tão único e teimoso, que, independentemente do invariante, não nos diz se é uma fatia ou não."

O nó de Conway "cai na interseção de pontos cegos" desses instrumentos, disse Picchirillo.

Um matemático, Mark Hughes, da Universidade Brigham Young, criou uma rede neural usando invariantes de nós e outras informações para prever propriedades como cisalhamento. Para a maioria dos nós, a rede faz previsões claras. Você sabe o que ela disse sobre o corte suave do nó de Conway? 50 a 50.

"Com o tempo, esse nó começou a se destacar entre outros como não sujeito a nós", disse Livingston.

Voltas complicadas


Picchirillo gosta da intuição visual associada à teoria dos nós, mas ela não acha que seja primariamente uma teórica nesse campo. "Estou mais interessado em figuras tridimensionais e quadridimensionais, mas o estudo deles está intimamente ligado à teoria dos nós, por isso estou fazendo isso um pouco", escreveu ela em um email.

Quando começou a estudar matemática na faculdade, ela não se destacava como "um prodígio infantil padrão em matemática", disse Elisenda Grisby , uma das professoras de Picchirillo no Boston College. Grisby notou pela primeira vez a natureza criativa de Picchirillo. "Ela sempre acreditou na correção de seu ponto de vista."

A pergunta relacionada ao nó de Conway chegou a Pichchirillo quando ela pensou se os nós poderiam ser conectados por algo que não fosse mutação. Cada nó tem seu chamado. um traço quadridimensional que pode ser obtido se você colocar o nó na borda da bola quadridimensional e costurar algo como um capuz por cima do nó. A pegada do nó "codifica seu nó bastante difícil", disse Gordon.



Nós diferentes podem ter o mesmo traço quadridimensional, e os matemáticos já sabiam que esses parentes, por assim dizer, nas faixas sempre têm o mesmo status de corte - sejam eles cortados ou não. No entanto, Piccirillo e Allison Miller , um pós-doutorado da Rice University, mostraramque esses parentes de rastreamento não necessariamente têm a mesma aparência para todos os invariantes usados ​​no estudo de cisalhamento.

Isso indicou a Picchirillo o caminho para a estratégia usada para provar que o nó de Conway não é cortado: se ela pudesse criar um traço relativo para esse nó, talvez ele estivesse mais disposto a cooperar com um dos invariantes de corte do que o próprio nó de Conway.

A construção de tais parentes é uma tarefa difícil, mas Picchirillo era um especialista nisso. "Estou basicamente fazendo isso", disse ela. "Então eu apenas fui para casa e fiz isso."

Usando uma combinação engenhosa, Pichchirillo conseguiu construir um nó complexo que possui o mesmo traço que o nó Conway. E para este nó, uma ferramenta chamada
O “c-invariante” de Rasmussen mostra que não é cortado sem problemas - como, portanto, é o nó de Conway.

"Prova muito bonita", disse Gordon. Segundo ele, não havia razão para esperar que o nó criado por Picchirillo sucumbisse ao c-invariante de Rasmussen. "No entanto, a abordagem funcionou, o que é até surpreendente."

As evidências de Pichchirillo "acompanham evidências curtas e inesperadas de resultados ilusórios que os pesquisadores neste campo podem digerir, admirar e tentar generalizar rapidamente - sem mencionar a possibilidade de pensar por que ninguém poderia pensar nisso por tanto tempo". escrito por Green no e-mail.

As pegadas são uma ferramenta clássica que existe há várias décadas, mas Picchirillo descobriu melhor do que outras, disse Green. Segundo ele, seu trabalho mostrou aos topologistas que os traços de nós estão subestimados. "Ela pegou algumas ferramentas levemente empoeiradas", disse ele. "E agora outros já estão seguindo o exemplo dela."

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