Estudante de pós-graduação resolveu o problema do “Conway Node”, sobre o qual eles lutaram por décadas

Lisa Piccirillo levou menos de uma semana para responder à pergunta de longa data sobre um site estranho descoberto há mais de meio século pelo lendário John Conway.

No verão de 2018, em uma conferência sobre topologia e geometria de baixa dimensão, Lisa Picchirillo ouviu falar de um pequeno problema matemático. Parecia um bom campo de testes para alguns dos métodos que ela desenvolveu como estudante de graduação na Universidade do Texas em Austin.

“Não me permiti trabalhar neste dia”, disse ela, “porque não considerava isso uma matemática real. Eu pensei que era meu dever de casa.

A questão é se o nó de Conway - uma alavanca aberta há mais de meio século pelo lendário matemático John Horton Conway - é parte de um nó de maior dimensão. "Sliceness" é uma das primeiras perguntas naturais que os teóricos do nó fazem perguntas sobre nós em espaços com dimensões mais altas, e os matemáticos foram capazes de responder a todos os milhares de nós com 12 ou menos cruzamentos, com exceção de um. O nó de Conway, que possui 11 interseções, vem provocando matemáticos há décadas.



A solução para o problema do nó de Conway, proposta por Lisa Pichchirillo, ajudou-a a obter uma posição permanente no Instituto de Tecnologia de Massachusetts.


Em menos de uma semana, Picchirillo já tinha a resposta: o nó Conway não é uma “fatia”. Alguns dias depois, ela se encontrou com Cameron Gordon, professor da Universidade de Austin, e de passagem mencionou sua decisão.

"O que?! Está entrando nos anais agora! " - disse Gordon, referindo-se aos "Annals of Mathematics", um dos melhores periódicos desta disciplina.

Ele começou a gritar: "Por que você não está pulando de alegria?" Diz Picchirillo, agora estudante de graduação na Universidade Brandeis. "Ele até assustou um pouco."

"Acho que ela não entendeu o problema antigo e famoso", disse Gordon.

Prova de Piccirilloapareceu nos Anais da Matemática em fevereiro. Este artigo, combinado com seu outro trabalho, forneceu a ela uma oferta permanente de emprego no Instituto de Tecnologia de Massachusetts, que começa em 1º de julho, apenas 14 meses depois de concluir o doutorado.

A questão do corte do nó de Conway era conhecida não apenas por quanto tempo ele permaneceu sem solução. Fatias de nós dão aos matemáticos a oportunidade de explorar a estranha natureza do espaço quadridimensional no qual as esferas bidimensionais podem ser atadas com um nó, às vezes de maneira tão amassada que não podem ser suavizadas. De acordo com Charles Livingston, professor emérito da Universidade de Indiana, a sheerness "está atualmente ligada a alguns dos problemas mais profundos da topologia quadridimensional".

"Essa questão de saber se o nó de Conway é uma fatia foi um tipo de colapso para muitos desenvolvimentos modernos no campo geral da teoria dos nós", disse Joshua Greene, do Boston College, que supervisionou a tese de graduação de Picchirillo durante seus anos de estudante. "Fiquei muito satisfeito ao ver como alguém que eu conhecia há tanto tempo de repente puxou uma espada de uma pedra."

bola mágica

Enquanto a maioria de nós pensa que existe um nó em um pedaço de corda com duas pontas, os matemáticos pensam que essas duas pontas estão conectadas, de modo que o nó não pode ser desembaraçado. Ao longo do século passado, esses ciclos nodais ajudaram a iluminar vários tópicos - da física quântica à estrutura do DNA, bem como à topologia do espaço tridimensional.


John Conway explicou em 1990 como ele mostrou no ensino médio por que dois nós não conseguem se equilibrar.

Mas nosso mundo é quadridimensional se incluirmos o tempo como uma medida, por isso é natural perguntar se existe uma teoria correspondente dos nós no espaço 4D. Não se trata apenas de pegar todos os nós que temos no espaço tridimensional e imergi-los no espaço 4D: com quatro dimensões para mover em um círculo, qualquer laço com nó pode ser desvendado se os fios se moverem um acima do outro na quarta dimensão .

Para criar um objeto complicado no espaço quadridimensional, você precisa de uma esfera bidimensional, não de um loop unidimensional. Assim como as três dimensões fornecem espaço suficiente para a construção de laços atados, mas não há espaço suficiente para eles se desenrolarem, as quatro dimensões fornecem um ambiente desse tipo para as esferas atadas que os matemáticos construíram pela primeira vez na década de 1920.

É difícil visualizar uma esfera atada no espaço 4D, mas ajuda a pensar primeiro em uma esfera regular no espaço 3D. Se você cortá-lo, verá um laço solto. Mas quando você corta uma esfera com nós no espaço 4D, pode ver um laço com nó (ou, possivelmente, um laço irreconhecível ou um link de vários loops, dependendo de onde você corta). Qualquer nó que você pode criar cortando uma esfera com nós é chamado de "fatia". Alguns nós não são cortados, por exemplo, um nó de três junções, conhecido como trevo.

Os nós cortados "fornecem uma ponte entre as histórias tridimensionais e quadridimensionais da teoria dos nós", disse Green.

Mas há uma ruga que dá a riqueza e a originalidade de uma história quadridimensional: na topologia 4D, existem duas versões diferentes do que significa ser cortado. Em uma série de desenvolvimentos revolucionários no início dos anos 80 (que trouxeram medalhas para Michael Freedman e Simon Donaldson Fields), os matemáticos descobriram que o espaço 4D contém não apenas esferas lisas que visualizamos intuitivamente, mas também esferas tão amassadas que eles nunca poderiam ser passados ​​sem problemas. A questão de quais nós são uma fatia depende se você decide incluir essas esferas amassadas.

"Estes são objetos muito, muito estranhos que parecem existir através da magia", disse Shelly Harvey, da Rice University. (Foi no discurso de Harvey em 2018 que Picchirillo soube pela primeira vez sobre o problema do nó de Conway.)

Essas esferas estranhas não são um erro da topologia quadridimensional, mas um recurso. Nós que são "cortados topologicamente", mas não "cortados suavemente" - isto é, são um corte de alguma esfera amassada, mas não suave - permitem que os matemáticos construam as chamadas versões "exóticas" do espaço quadridimensional comum. Essas cópias do espaço quadridimensional parecem iguais ao espaço normal do ponto de vista topológico, mas estão irremediavelmente amassadas. A existência desses espaços exóticos distingue a quarta dimensão de todas as outras dimensões.

A questão da suavidade é o “sensor dimensional mais baixo” desses espaços quadridimensionais exóticos, disse Green.

Ao longo dos anos, os matemáticos descobriram vários nós que eram topologicamente, mas não cortados sem problemas. No entanto, entre os nós com 12 ou menos cruzamentos, parecia não haver nenhum - com a possível exceção do nó Conway. Os matemáticos podiam calcular o estado de corte de todos os outros nós com 12 ou menos interseções, mas o nó de Conway os iludiu.

Conway, que morreu de COVID-19 no mês passado, era conhecido por fazer contribuições influentes para uma área da matemática após a outra. Ele se interessou por nós pela primeira vez na adolescência na década de 1950 e encontrou uma maneira simples de listar quase todos os nós com até 11 cruzamentos (as listas completas anteriores atingiram apenas 10 cruzamentos).

Houve um nó na lista que se destacou. "Acho que Conway entendeu que havia algo completamente especial nisso", disse Green.

O nó de Conway, como começaram a chamá-lo, é cortado topologicamente - os matemáticos entenderam isso no contexto das descobertas revolucionárias da década de 1980, mas não conseguiram entender se o corte foi feito sem problemas. Eles suspeitavam que não fosse assim, porque ele parecia não ter uma função chamada "nervuras", que normalmente são cortadas por nós. Mas ele também tinha um recurso que o tornava imune a qualquer tentativa de mostrar que ele não foi cortado sem problemas.

Ou seja, o nó Conway tem um tipo de parente - o chamado mutante. Se você desenhar um nó Conway no papel, cortar um pedaço de papel específico, virar um fragmento e conectar as extremidades livres, obterá outro nó, conhecido como nó Kinoshita-Terasaka .

O problema é que essa nova unidade acabou sendo cortada sem problemas. E como o nó Conway está tão intimamente conectado ao nó de corte suave, ele consegue enganar todas as ferramentas (chamadas invariantes) que os matemáticos usam para encontrar nós sem um corte.

"Sempre que uma nova invariante aparece, tentamos verificá-la no nó Conway", disse Green. "Este é apenas um exemplo teimoso que, independentemente de qual invariante você inventa, não informa se é uma fatia ou não. "

O nó de Conway "está localizado na interseção dos pontos cegos" desses vários instrumentos, disse Piccirillo.

Um matemático, Mark Hughes, da Universidade Brigham Young, criou uma rede neural que usa invariantes de nós e outras informações para prever características como cisalhamento. Para a maioria dos nós, a rede faz previsões claras. Mas qual é seu palpite sobre se o nó de Conway é cortado suavemente? Meio a meio.

"Com o tempo, isso se transformou em um nó com o qual não conseguimos lidar", disse Livingston.

Altos e baixos inteligentes

Piccirillo gosta da intuição visual que a teoria dos nós implica, mas ela não se considera primariamente como uma teórica dos nós. “Essas são realmente [formas tridimensionais e quadridimensionais] que me entusiasmam, mas o estudo dessas coisas está profundamente conectado à teoria dos nós, então eu também faço um pouco disso”, ela escreveu em um email.

"Quando ela começou a estudar matemática na faculdade, ela não se destacou como um" prodígio da matemática infantil de ouro ", disse Elisenda Grigsby, uma das professoras de Pichchirillo no Boston College. Provavelmente, foi a criatividade que Pichchirillo atraiu a atenção de Grigsby. "Ela realmente acreditava no seu ponto de vista, e sempre foi assim."

Piccirillo foi confrontada com a questão do nó de Conway em um momento em que pensava em uma maneira diferente de conectar dois nós, além de uma mutação. Cada nó tem uma forma quadridimensional correspondente, chamada de traço, que é criada colocando o nó na borda da bola 4D e costurando nele uma espécie de tampa ao longo do nó. O rastreamento do nó "codifica esse nó muito fortemente", disse Gordon.



Piccirillo, um dos ex-professores, chamou a criatividade - uma de suas principais forças como matemática.

Nós diferentes podem ter o mesmo traço quadridimensional, e os matemáticos já sabiam que esses irmãos gêmeos do traço, por assim dizer, sempre têm o mesmo status de fatia - ou ambos são fatia ou ambos não são fatia. Mas Piccirillo e Allison Miller, agora estudante de graduação de Rice, mostraram que esses traços de irmãos não são necessariamente iguais para todos os invariantes de nós usados ​​para estudar a suavidade.

Isso apontou para a estratégia de Picchirillo de provar que o nó Conway não é uma fatia: se pudesse criar afinidade de traço para o nó Conway, provavelmente funcionaria melhor com um dos invariantes cortados do que o nó Conway.

Criar traços de irmãos e irmãs é uma questão complexa, mas Picchirillo era um verdadeiro especialista. "Esta é apenas a minha profissão", disse ela. "Então eu apenas fui para casa e fiz isso."

Graças a uma combinação de curvas engenhosas, Piccirillo conseguiu criar um nó complexo com a mesma pegada do nó de Conway. Para esse nó, uma ferramenta chamada invariante de Rasmussen s mostra que não é um corte suave - portanto, o nó Conway não pode ser um ou outro.

"Esta é realmente uma grande evidência", disse Gordon. Segundo ele, não havia razão para esperar que o nó construído por Picchirillo cedesse ao invariante de Rasmussen. "Mas funcionou ... de alguma forma surpreendentemente."

As evidências de Piccirillo "se encaixam na forma de evidências curtas e surpreendentes de resultados indescritíveis que os pesquisadores neste campo são capazes de aprender rapidamente, admirar e se esforçar para generalizar - para não mencionar se perguntando como isso levou tanto tempo", escreveu Green em um email. .

“As pegadas são uma ferramenta clássica que existe há décadas, mas Picchirillo entendeu mais profundamente do que qualquer outra pessoa", admira Green. “Seu trabalho mostrou aos topologistas que as pegadas estão subestimadas. Ela pegou algumas ferramentas nas quais, talvez, um pouco empoeirada. Outros estão agora seguindo o exemplo dele.

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