Lógica matemática que pode ajudar a verificar mais pessoas quanto ao coronavírus

O teste rápido de pacientes durante uma pandemia é de extrema importância. Mas quando não há testes COVID-19 suficientes [na Grã-Bretanha] , ou os testes são lentos, é possível encontrar uma maneira de melhorar esse processo? Como matemático e engenheiro, perguntei-me se um teórico pode fazer alguma coisa para ajudar os médicos a atender aos requisitos da OMS para verificar o número máximo possível de pacientes.

Talvez haja uma maneira de testar muitos pacientes com um pequeno número de tubos. Em vez de usar um tubo de ensaio para cada teste, poderíamos usar vários tubos para testar mais amostras - se basearmos na lógica .

A ideia é simples. Uma amostra colhida em cada um de nossos pacientes teóricos é distribuída na metade de todos os tubos que temos em diferentes combinações. Se tivermos dez tubos, distribuiremos amostras de cada paciente em cinco tubos diferentes, combinando-os de maneira diferente.

Qualquer tubo de ensaio com resultado negativo indica que todos os pacientes cujas amostras caíram nele terão um resultado negativo. Os testes com um resultado positivo podem conter amostras de vários pacientes positivos - e cada paciente será considerado positivo se todos os tubos associados derem um resultado positivo.

Essa abordagem é especialmente eficaz nos estágios iniciais da epidemia, quando um pequeno número de pessoas pode dar um resultado positivo.

Mudamos a abordagem

Quanto mais pacientes são infectados, mais difícil é determinar qual deles tem o vírus, porque os tubos de ensaio com um resultado positivo conterão material de um número maior de pacientes. Para resolver esse problema, você precisa corrigir a abordagem conforme mostrado no exemplo a seguir.

Digamos que temos seis tubos de ensaio e 20 pacientes. Os tubos estão dispostos em ordem e numerados: Nº 1, Nº 2, Nº 3, Nº 4, Nº 5 e Nº 6. Cada paciente recebe um número de seis dígitos de zeros e um (no sistema binário). Cada dígito corresponde a um tubo específico - 0 significa que a amostra do paciente não entrou nesse tubo e 1 significa que o paciente entrou.



Por exemplo, o paciente nº 1 terá o número [0 0 0 1 1 1], o que significa que apenas os tubos nº 4, 5 e 6. conterão o material. O paciente nº 2 recebeu o número [0 0 1 0 1 1], o que significa que suas amostras contêm os tubos nº 3, 5 e 6. E assim por diante, para cada um dos 20 pacientes.

Depois de distribuir amostras de todos os 20 pacientes em tubos de ensaio, as enviamos para verificação. Se depois disso recebermos testes positivos para os tubos nº 4, 5 e 6, podemos dizer que apenas o paciente nº 1 com o número [0 0 0 1 1 1] obterá um resultado positivo, uma vez que apenas as amostras desse paciente foram adicionadas a três destes tubos, n.os 4, 5 e 6, e a nenhum outro.

Agora a parte mais difícil. Suponha que obtivemos resultados positivos para os tubos nº 3, 4, 5 e 6. Podemos descartar imediatamente pacientes cujas amostras estavam nos tubos nº 1 e nº 2, mas não temos certeza quanto ao resto, porque temos esses tubos Existem várias possibilidades. São pacientes com os números [0 0 1 0 1 1] e [0 0 1 1 1 0] doentes ou com [0 0 0 1 1 1], [0 0 1 1 1 1] e [0 0 1 1 0 1], ou eles estão todos juntos? Todas essas combinações darão um resultado positivo para os tubos nº 3, 4, 5 e 6. É possível obter uma resposta definitiva sobre qual dos pacientes está doente?

Sim, mas apenas se o teste puder fornecer não apenas um resultado positivo ou negativo, mas um certo grau de positividade - por exemplo, determine o número de anticorpos na amostra. Então, podemos comparar a quantidade de positividade em diferentes tubos, o que nos dará uma idéia da combinação correta de pacientes positivos.

Grau de positividade

Voltando ao nosso exemplo, se a positividade para os tubos nº 4 e nº 5 for a mesma (por exemplo, eles têm o mesmo número de anticorpos), mas diferir nos tubos nº 3 e nº 6, podemos concluir que os pacientes [0 0 0 1 1 1] e [0 0 1 0 1 1] não pode ser positivo, uma vez que a amostra do primeiro paciente [0 0 0 1 1 1] está nos tubos nº 4 e nº 5, e a amostra do segundo [0 0 1 0 1 1] nos tubos No. 5 (mas não No. 4). Isso significa que a positividade nesses tubos não pode ser a mesma se os dois pacientes estiverem doentes (nos tubos nº 5, haverá positividade para ambos os pacientes e no nº 4 haverá apenas um).

A mesma positividade nos tubos nº 4 e nº 6 será apenas nos pacientes [0 0 0 1 1 1] e [0 0 1 1 1 0], uma vez que as amostras de ambos foram adicionadas aos tubos nº 4 e nº 5, que apresentaram a mesma positividade nos dois tubos de ensaio.

No exemplo acima, fomos capazes de testar 20 pacientes com apenas seis tubos. No entanto, esse método pode ser dimensionado para milhares de pacientes e são necessários muito menos tubos para testá-los. E mesmo quando máquinas capazes de realizar testes em cinco minutos já estão em desenvolvimento, essa abordagem ainda pode ser mais rápida - e mais barata quando os recursos são escassos.

Acontece que, com a ajuda da matemática, podemos melhorar a verificação das amostras coletadas, especialmente nos locais e no momento em que a verificação encontra dificuldades. Nesses casos, essa abordagem pode ajudar a mitigar os efeitos do novo coronavírus e salvar muitas vidas.