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Uma ponte matemática "impressionante" que se estende além do Grande Teorema de Fermat

Os matemáticos descobriram como prolongar a ponte misteriosa que liga os dois continentes distantes do mundo matemático




Quando Andrew John Wiles provou o Grande Teorema de Fermat, no início dos anos 90 , foi um passo monumental não apenas para os matemáticos, mas para toda a humanidade. A afirmação do teorema é muito simples - afirma que a equação x n + y n = z nnão há soluções totalmente positivas para n> 2. No entanto, essa afirmação simples atraiu um grande número de pessoas que desejam provar isso por mais de 350 anos, uma vez que o matemático francês Pierre de Fermat esboçou casualmente a declaração do teorema em 1637 nas margens da aritmética de Diofante. A formulação de Fermat também é famosa: ele "encontrou evidências realmente maravilhosas para isso, mas as margens do livro são muito estreitas para ele". Durante séculos, matemáticos profissionais e entusiastas amadores têm procurado a prova de Fermat - ou qualquer outra coisa.

A prova obtida por Wiles (com a ajuda de Richard Taylor ) nunca teria ocorrido a Fermat. Não afetou diretamente o teorema, mas construiu uma ponte enorme, que, segundo os matemáticos, deveria existir - uma ponte entre dois "continentes" matemáticos distantes. A prova de Wiles se resumiu a definir essa ponte que liga dois pequenos trechos de terra entre dois continentes. A prova estava cheia de idéias novas e profundas e gerou cascatas de novos resultados em ambos os lados desta ponte.

Deste ponto de vista, a impressionante evidência de Wiles resolveu uma pequena parte de um mistério muito maior. Sua prova foi "um dos melhores eventos de matemática do século 20", disse Toby Guydo Imperial College London. E, no entanto, pertencia ao "pequeno trecho" da ponte, conhecido como correspondência geométrica de Langlands .

A ponte inteira permitiria aos matemáticos lançar luz sobre as vastas extensões da matemática, transmitindo conceitos de uma parte para outra. Muitas tarefas, incluindo o Grande Teorema de Fermat, parecem difíceis de um lado da ponte, mas rapidamente se tornam tarefas mais fáceis, movendo-se para o outro lado.

Depois que Wiles apresentou sua prova, outros matemáticos começaram a expandir entusiasticamente essa ponte para seções maiores dos dois continentes. E então eles se depararam com um obstáculo. Existem duas direções naturais para expandir essa ponte, mas em ambas elas o método de Taylor-Wiles parecia encontrar uma barreira intransponível.


O matemático Andrew Wiles, que provou o Grande Teorema de Fermat e recebeu o Prêmio Abel em 2016

"As pessoas sempre quiseram fazer isso", disse Anna Karayani, do Imperial College de Londres. Mas "de um modo geral, não pensamos que isso seja possível em princípio".

Agora, dois trabalhos - representando o culminar dos trabalhos de mais de dez matemáticos - superaram essa barreira, resolvendo essencialmente os dois problemas. Algum dia, essas descobertas podem ajudar os matemáticos a provar o grande teorema de Fermat para um sistema numérico que vai além de números inteiros positivos.

Estes são os "melhores resultados", disse Matthew Emerton, da Universidade de Chicago. "Eles revelam alguns fenômenos fundamentais da teoria dos números e estamos apenas começando a entender o que eles são".

Agulha no vácuo


Um dos lados da ponte de Langlands está concentrado nas equações quase mais simples que podem ser escritas: são equações diofantinas ou combinações de variáveis ​​com exponenciais e coeficientes inteiros, por exemplo, y = x 2 + 6x + 8 ou x 3 + y 3 = z 3 . Por milênios, os matemáticos tentaram descobrir quais combinações de números inteiros satisfazem uma determinada equação diofantina. Basicamente, sua motivação é baseada na simplicidade e naturalidade desse problema, mas recentemente, parte de seu trabalho recebeu uma continuação inesperada em áreas como a criptografia.

Desde a Grécia antiga, os matemáticos conheciam uma maneira de encontrar soluções inteiras de equações diofantinas com apenas duas variáveis ​​e sem graus maiores que 2. No entanto, no caso de graus mais altos, encontrar soluções inteiras não é de modo algum uma questão simples - começando pelas curvas elípticas. Estas são equações com y 2 à esquerda do sinal de igual e uma combinação de termos com um grau máximo de 3 à direita, por exemplo x 3 + 4x + 7. Guy disse que, em comparação com equações com graus mais baixos, estas são „ um problema radicalmente mais complexo ".

Do outro lado da ponte, objetos vivos denominados formas automórficas, que são semelhantes a colorir azulejos com um alto grau de simetria. Nos casos estudados por Wiles, os ladrilhos podem se parecer com algo semelhante ao mosaico de Escher , onde os peixes ou anjos com demônios mostrados nos discos diminuem à medida que se aproximam da borda. No universo mais geral de Langlands, os ladrilhos podem pavimentar uma bola tridimensional ou outra figura em dimensões mais altas.

Esses dois tipos de objetos matemáticos são completamente diferentes um do outro. No entanto, em meados do século 20, os matemáticos começaram a revelar profundas relações entre eles e, no início dos anos 70, Robert Langlands, do Instituto de Estudos Avançados, expressou a hipótese de que equações diofantinas e formas automórficas podem ser correlacionadas de uma certa maneira.


Robert Langlands, que apresentou a hipótese de conformidade há 50 anos, faz uma palestra no Institute for Advanced Studies em Princeton, Nova Jersey, em 2016.

Nomeadamente: tanto nas equações diofantinas quanto nas formas automórficas existe uma maneira natural de gerar sequências infinitas de números. Com as equações diofantinas, o número de soluções em aritmética modular pode ser calculado (pode ser representado como números localizados no mostrador do relógio; por exemplo, no caso do mostrador de 12 horas, 10 + 4 = 2). E para essas formas automórficas que aparecem de acordo com os Langlands, você pode obter uma lista interminável de números semelhantes aos níveis de energia quântica.

Se usarmos aritmética modular baseada apenas em números primos, então, de acordo com Langlands, esses dois tipos de sequências coincidirão em uma ampla variedade de condições diferentes. Em outras palavras, para qualquer forma automórfica, seus níveis de energia controlam a sequência modular de uma equação diofantina e vice-versa.

Essa conexão é "mais estranha que a telepatia", disse Emerton. "A maneira como esses dois lados se comunicam parece incrível e inacreditável para mim, embora eu esteja estudando esse fenômeno há mais de 20 anos."

Nas décadas de 1950 e 1960, os matemáticos encontraram os primeiros sinais da existência dessa ponte em uma das direções: como passar de certas formas automórficas para curvas elípticas com coeficientes que são números racionais (frações consistindo de números inteiros). Então, nos anos 90, Wiles, com Taylor, encontrou outra direção para a ponte para uma família particular de curvas elípticas. O resultado deles produziu automaticamente uma prova do grande teorema de Fermat, já que os matemáticos já haviam demonstrado que, se estivesse incorreto, pelo menos uma dessas curvas elípticas não teria uma forma automórfica correspondente.

O grande teorema de Fermat estava longe de ser a única descoberta que se seguiu à construção dessa ponte. Por exemplo, matemáticos o usaram para provarHipótese de Sato-Tate , um problema de dezenas de anos relacionado à distribuição estatística do número de soluções modulares de uma curva elíptica, bem como para provar a hipótese sobre os níveis de energia das formas automórficas, expressa pelo lendário matemático do início do século XX Srinivasa Ramanujan Iyengor .

Depois que Wiles e Taylor publicaram suas descobertas, ficou claro que seu método ainda estava cheio de possibilidades. Logo, os matemáticos perceberam como estendê-lo às curvas elípticas com coeficientes racionais. Mais tarde, matemáticos descobriram como cobrir coeficientes com números irracionais simples, como 3 + √2.

Mas o que eles não conseguiram foi estender o método de Taylor-Wiles às curvas elípticas com coeficientes complexos, como i (√-1) ou 3 + i, ou √2i. Além disso, eles não conseguiam lidar com equações diofantinas com potências muito mais que curvas elípticas. Equações com graus 4 no lado direito do sinal de igual, em vez de 3, foram facilmente resolvidas usando o método Taylor-Wiles, mas assim que o grau aumentou para 5, o método já parou de funcionar.

Os matemáticos começaram gradualmente a perceber que o problema com essas duas extensões naturais da ponte de Langlands não era apenas apresentar uma ligeira melhoria no método de Taylor-Wiles. Aparentemente, o obstáculo foi fundamental.

Estes foram "apenas os seguintes exemplos que me ocorreram", disse Guy. "Mas eles disseram a você: Não, essas coisas estão irremediavelmente fora de alcance."

O problema era que o método de Taylor-Wiles encontra uma forma automórfica correspondente à equação diofantina, aproximando-a sucessivamente usando outras formas automórficas. No entanto, quando números complexos ou uma potência maior que a quarta ocorrem nos coeficientes das equações, existem muito poucas formas automórficas - tão poucas que quase todas as formas automórficas provavelmente não terão as formas automórficas mais próximas que poderiam ser usadas para se aproximar dela.

Sob Wiles, a forma automórfica de que precisamos é semelhante a uma "agulha no palheiro, mas essa pilha existe", disse Emerton. "E isso pode ser comparado com uma pilha de limalhas de metal, às quais você traz um ímã - as limalhas estão alinhadas e apontam para a agulha que você precisa".

No entanto, no caso de coeficientes complexos ou graus de ordem superior, segundo ele, mais "se assemelha a uma agulha no vácuo".

Voo para a lua


Muitos dos especialistas em teoria dos números de hoje estavam crescendo no momento em que Wiles apresentou sua prova. “Este foi o único exemplo de matemática que vi nas primeiras páginas dos jornais”, lembra Guy, que tinha 13 anos na época. "Isso inspirou muitas pessoas, elas queriam descobrir e, como resultado, foi por esse motivo que começaram a trabalhar nessa área."

Portanto, quando em 2012 dois matemáticos - Frank Kalegari, da Universidade de Chicago e David Gerati (agora pesquisador do Facebook) - propuseram uma maneira de superar o obstáculo que não permitia expandir o método de Taylor-Wiles, essa idéia provocou elogios de uma nova geração de especialistas em teoria dos números.

O trabalho deles demonstrou que "esse obstáculo fundamental que impedia nosso progresso não era um obstáculo", disse Guy. Ele explicou que, de fato, as limitações aparentes do método Taylor-Wiles sugerem que "você apenas sentiu a sombra do método real e mais geral apresentado a nós por Calegari e Gerati".


David Geraty na Universidade de Boston em 2015

Nos casos em que um obstáculo surge repentinamente, as formas automórficas vivem em ladrilhos de dimensões mais altas do que os ladrilhos Esher bidimensionais que Wiles estudou. Nestes mundos de dimensões superiores, é desconfortável que as formas automórficas sejam muito raras. Porém, ladrilhos de dimensões mais altas geralmente oferecem uma estrutura mais rica do que os bidimensionais podem oferecer. Kalegari e Gerati tiveram a idéia de usar essa estrutura rica para compensar a falta de formas automórficas.

Mais precisamente, para cada forma automórfica específica, você pode usar a “coloração” de seus ladrilhos como uma ferramenta de medição que pode calcular a cor média de qualquer parte do ladrilho escolhido. Em uma situação bidimensional, as formas automórficas são, de fato, a única ferramenta de medição disponível. Mas os ladrilhos de dimensões mais altas têm novas ferramentas, os chamados classes de torção e, com sua ajuda, cada seção do bloco pode ser atribuída não à cor média, mas ao número da aritmética modular. E essas classes de torção são um centavo uma dúzia.

Kalegari e Gerati sugeriram que, para algumas equações diofantinas, pode-se encontrar a forma automórfica correspondente por aproximação, não por outras formas automórficas, mas por classes de torção. "Essa idéia deles acabou sendo fantástica", disse Karajani.

Kalegari e Gerati apresentaram um esquema para a construção de uma ponte muito mais ampla, das equações diofantinas às formas automórficas, em comparação com o que Wiles e Taylor construíram. No entanto, a ideia deles não poderia ser considerada uma ponte de pleno direito. Para fazê-lo funcionar, primeiro foi necessário provar três grandes teoremas. Segundo Kalegari, isso pode ser comparado ao fato de que o trabalho deles com Gerati descreve o esquema de vôo para a lua, se apenas a pessoa que o desejar terá uma espaçonave, combustível de foguete e roupas espaciais. E esses três teoremas estavam "perfeitos fora do nosso alcance", disse Kalegari.

Em particular, o método de Calegari e Gerati exigia a presença de uma ponte pronta na outra direção, das formas automórficas às equações diofantinas. E essa ponte deveria combinar não apenas formas automórficas, mas também classes distorcidas. "Acho que muitas pessoas consideraram isso uma tarefa sem esperança quando Calegari e Gerati descreveram seu programa pela primeira vez", disse Taylor, agora na Universidade de Stanford.

Menos de um ano após a publicação do trabalho de Kalegari e Gerati, Peter Scholze é um jovem gênio da Universidade de Bonn que recebeu o Prêmio de Campo, o prêmio mais alto em matemática, espantou os especialistas em teoria dos números, descobrindo como mudar de torção para o lado das equações diofantinas no caso de curvas elípticas, cujos coeficientes são simples números complexos como 3 + 2i ou 4 - √5i. "Ele fez muitas coisas incríveis, mas esta é provavelmente a sua conquista mais incrível", disse Taylor.


O matemático Peter Scholze

Scholze provou o primeiro dos três teoremas de Calegari e Gerati. E o par de trabalho conjunto subsequente de Scholze e Karayani chegou muito perto de provar o segundo teorema, demonstrando a presença das propriedades corretas na ponte encontrada por Scholze.

Havia um sentimento de que esse programa poderia ser facilmente dominado; portanto, no outono de 2016, Karajani e Taylor organizaram, de acordo com Kalegari, o "workshop secreto" do Instituto de Estudos Avançados, com o objetivo de alcançar mais progressos. "Ocupamos uma audiência lá e não deixamos ninguém entrar", disse Kalegari.

Após alguns dias de conversas preparatórias, os participantes do workshop começaram a entender como lidar simultaneamente com o segundo teorema e contornar o terceiro. "E talvez dentro de um dia após a formulação de todas as tarefas, todos nós as resolvamos", disse Guy, um dos participantes do projeto.

No restante da semana, os participantes se dedicaram a um estudo detalhado de vários aspectos das evidências e, nos dois anos seguintes, formalizaram suas descobertas no trabalho.autoria de dez pessoas - esse valor é inédito em trabalhos sobre teoria dos números. De fato, seu trabalho estabelece a presença de uma ponte de Langlands para curvas elípticas com coeficientes de qualquer sistema numérico composto por números racionais e simples números irracionais e complexos.


Anna Karayani e Richard Taylor

"O workshop foi organizado principalmente para entender o quão perto você pode chegar da solução", disse Guy. "Acho que nenhum de nós esperava que provássemos tudo."

Continuação da ponte


Enquanto isso, outra história se desenrolava relacionada à continuação da ponte além das curvas elípticas. Calegari e Guy trabalharam com George Boxer (agora trabalhando na Escola Normal Superior em Lyon, França) em casos em que o maior grau de equações diofantinas é 5 ou 6 (em vez de 3 e 4, como os casos já conhecidos). No entanto, três matemáticos ficaram presos em um ponto-chave da prova.

E então, no fim de semana seguinte, depois de realizar o "workshop secreto", Vincent Pilloni, da Escola Normal Superior, publicou um artigo mostrando como contornar esse mesmo obstáculo. "Agora precisamos desacelerar nosso trabalho e começar a cooperação com Pilloni!" - Então, de acordo com Kalegari, três pesquisadores se contaram imediatamente.

Dentro de algumas semanas, quatro matemáticos resolveram esse problema, embora demorassem alguns anos de trabalho e quase 300 páginas de uma descrição detalhada das idéias. O trabalho deles , bem como o trabalho de autoria de 10 pessoas, foi publicado na Internet em dezembro de 2018, com uma diferença de quatro dias.


Frank Calegari, Toby Guy e Vincent Pilloni

"Esta é uma conquista muito séria", comentou Emerton sobre esses dois trabalhos. Ele os chamou e os blocos de construção que os precederam de "obra de arte".

Embora esses dois trabalhos provem, de fato, que a misteriosa conexão telepática entre equações diofantinas e formas automórficas é transferida para as novas condições, há um problema: eles não constroem uma ponte ideal entre duas margens matemáticas. As obras afirmam apenas a “presença potencial de automorfismo”. Isso significa que cada equação diofantina tem uma forma automórfica correspondente, mas não sabemos ao certo se essa forma automórfica vive naquela parte do continente onde, segundo os cientistas, deveria estar localizada. No entanto, o automorfismo potencial é suficiente para muitas aplicações - por exemplo, para a hipótese de Sato-Tate sobre estatísticas de soluções modulares de equações diofantinas, cuja operabilidade em um cenário muito mais amplo do que antes, poderia ser comprovada por dez autores.

Os matemáticos já estão começando a entender como melhorar esses resultados com o potencial automorfismo. Em outubro, três matemáticos - Patrick Allen da Universidade de Illinois em Urbana-Campaign, Chandrasekar Hare da Universidade da Califórnia em Los Angeles e Jack Thorne da Universidade de Cambridge - provaram que uma parte significativa das curvas elípticas consideradas no trabalho com 10 autores possui pontes. vindo apenas para os lugares certos.

Pontes com uma precisão tão maior no futuro podem permitir que os matemáticos provem um monte de novos teoremas, incluindo uma generalização do grande teorema de Fermat há um século. O último afirma que a equação desse teorema ainda não terá soluções, mesmo quando em vez de x, ye z substituiremos não apenas valores inteiros, mas combinações de inteiros e uma unidade imaginária .

Dois trabalhos no âmbito do programa Calegari-Gerati fornecem evidências importantes de que o conceito está operacional, disse Michael Harris, da Columbia University. Eles, disse ele, "demonstram que o método é aplicável em uma ampla gama".

E, embora novas obras conectem pontes a seções muito mais amplas dos continentes Langlands do que antes, elas ainda deixam vastos territórios desconhecidos. Do lado das equações diofantinas, essas equações incluem todas as equações com graus maiores que 6, bem como equações com mais de duas variáveis. Por outro lado, territórios desconhecidos pertencem a formas automórficas que vivem em espaços simétricos mais complexos do que aqueles estudados até hoje.

"Hoje, este trabalho representa o auge do sucesso", disse Emerton. "Mas, em algum momento, eles serão considerados um dos passos para alcançar a meta."

O próprio Langlands nunca pensou em torcer, estudando formas automórficas; portanto, uma das tarefas difíceis para os matemáticos será encontrar uma visão unificada dessas duas abordagens diferentes. "Estamos expandindo nossa gama", disse Taylor. "Saímos da estrada de alguma forma com os Langlands e não sabemos para onde estávamos indo".

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