🙇🏽 🐯 🔏 Qual é a geometria do universo? 👴🏿 🤧 💀

As soluções em nuvem são boas porque permitem criar projetos de qualquer complexidade, até um data center virtual. Se você tentar visualizar essas estruturas, obterá uma espécie de mini-universo. Vamos brincar com a geometria, tentando visualizar diferentes modelos do nosso universo.

Em nossas mentes, o universo parece infinito. Mas com a ajuda da geometria, podemos considerar várias formas tridimensionais que oferecem uma alternativa ao espaço infinito "comum".

Quando você olha para o céu noturno, parece que o espaço está se expandindo em todas as direções. Este é o nosso modelo mental do universo, mas nem sempre é verdade. No final, houve um tempo em que todos pensavam que a Terra era plana, porque as curvas do nosso planeta eram extremamente difíceis de perceber, e eles nem pensavam na forma esférica da Terra.

Hoje sabemos que a Terra tem a forma de uma esfera. Mas poucas pessoas pensam sobre a forma do universo. Assim como uma esfera se tornou uma alternativa a uma Terra plana, outras formas tridimensionais oferecem uma alternativa ao espaço infinito "comum".

Podemos fazer duas perguntas diferentes, mas ainda intimamente relacionadas, sobre a forma do universo. Uma delas diz respeito à sua geometria: medições locais refinadas de elementos como ângulos e regiões. Outra é sobre topologia: como essas partes locais são costuradas em uma forma comum.

As evidências cosmológicas sugerem que a parte do universo que podemos ver é suave e homogênea, pelo menos aproximadamente. O tecido local do espaço tem a mesma aparência em todos os pontos e em todas as direções. Apenas três formas geométricas se encaixam nessa descrição: plana, esférica e hiperbólica. Vejamos esses modelos, algumas suposições topológicas e também o que dados cosmológicos dizem sobre as formas que melhor descrevem nosso universo.

Geometria plana (planimetria)

Essa é a geometria que estudamos na escola. Os ângulos do triângulo são 180 graus e a área do círculo é πr2. O exemplo mais simples de uma forma tridimensional plana é o espaço infinito usual - o que os matemáticos chamam de espaço euclidiano - mas existem outras formas planas que também precisam ser levadas em consideração.

Essas formas são mais difíceis de visualizar, mas podemos tentar fantasiar pensando em duas dimensões, em vez de três. Além do plano euclidiano usual, podemos criar outras formas planas cortando parte do avião e mantendo suas bordas unidas. Por exemplo, suponha que cortemos uma folha de papel retangular e prendamos com bordas opostas. A colagem das faces superior e inferior nos dá um cilindro:

Depois, podemos colar as bordas direita e esquerda para obter uma rosquinha (o que os matemáticos chamam de toro):

Agora você provavelmente pensa: "mas isso não me parece lógico". E você estará certo. Trapaceamos um pouco, descrevendo como o toro plano funciona. Se você realmente tentasse fazer um toro com um pedaço de papel dessa maneira, teria algumas dificuldades. Seria fácil fazer um cilindro, mas você não seria capaz de colar as extremidades do cilindro: o papel enrugaria ao longo do círculo interno do toro e não esticaria o suficiente ao longo do círculo externo. Em vez de papel, algum material elástico teria que ser usado. Mas esse alongamento distorce os comprimentos e os ângulos, alterando a geometria.

Dentro de um espaço tridimensional comum, é impossível construir um toro físico real e suave a partir de um material plano sem distorcer sua geometria. Mas podemos especular abstratamente sobre como é viver dentro de um toro plano.

Imagine que você é uma criatura bidimensional cujo universo é um toro plano. Como a geometria desse universo vem de uma folha de papel plana, todos os fatos geométricos com os quais estamos acostumados são os mesmos, apenas em pequena escala: os ângulos no triângulo somam 180 graus e assim por diante. Mas as mudanças que fizemos na topologia global cortando e colando significam que a experiência de permanecer no toro será muito diferente do que estamos acostumados.

Para começar, existem caminhos diretos no toro que dobram e retornam para onde começaram:

Esses caminhos parecem curvos em um toro distorcido, mas parecem diretos para os habitantes do toro plano. E como a luz viaja em caminhos retos, então, se você olhar para a direita, poderá se ver por trás:

em uma folha de papel, a luz foi retida até atingir a borda esquerda e reapareceu à direita, como em um videogame:

você pode imaginar é diferente. Por exemplo, você (ou um raio de luz) cruza uma das quatro bordas, aparecendo no que parece ser uma nova “sala”. Mas, na verdade, é a mesma sala, vista apenas de uma nova perspectiva.

Isso significa que você também pode ver um número infinito de cópias diferentes de si mesmo, olhando em direções diferentes. Este é um tipo de efeito Mirror Corridor, exceto que cópias suas não são reflexões:

Na rosquinha, eles correspondem a muitos anéis diferentes pelos quais a luz pode passar de você para você:

Da mesma forma, podemos construir um toro tridimensional plano colando os lados opostos do cubo. Não funcionará para visualizar esse espaço como um objeto dentro de um espaço infinito comum, mas podemos falar abstratamente sobre a vida dentro dele.

Assim como a vida em um toro bidimensional era como a vida em uma matriz bidimensional infinita de salas retangulares idênticas, a vida em um toro tridimensional era semelhante à vida em uma matriz tridimensional infinita de salas cúbicas idênticas. Você verá infinitas cópias de si mesmo:

O toro tridimensional é apenas um dos 10 mundos finitos planos diferentes. Também existem mundos infinitos planos, como um análogo tridimensional de um cilindro infinito. Em cada um desses mundos, há um conjunto diferente de salas de espelhos.

Nosso universo é uma dessas formas planas?

Quando olhamos para o espaço, não vemos infinitamente muitas cópias de nós mesmos. No entanto, é surpreendentemente difícil excluir essas formas planas. Primeiro, todos eles têm a mesma geometria local que o espaço euclidiano, de modo que nenhuma dimensão local pode distinguir entre eles.

E se você visse uma cópia de si mesmo, essa imagem distante mostraria como você (ou sua galáxia, por exemplo) parecia no passado distante, já que a luz teve que viajar muito tempo para chegar até você. Talvez vejamos cópias irreconhecíveis de nós mesmos lá. Pior, cópias diferentes de si mesmo tendem a estar a distâncias diferentes de você; portanto, a maioria delas parecerá diferente. E talvez eles ainda estejam muito longe para nós vermos.

Para contornar essas dificuldades, os astrônomos, em regra, não procuram cópias de si mesmos, mas repetem características o mais distante do que podemos ver: radiação cósmica de fundo em micro-ondas (CMB) deixada após o Big Bang. Na prática, isso significa encontrar pares de círculos no CMB que tenham padrões correspondentes de pontos quentes e frios, o que sugere que esse é realmente o mesmo círculo que vemos em dois pontos diferentes.

Em 2015, os astrônomos conduziram exatamente essa análise usando dados do telescópio espacial Planck. Eles vasculharam dados sobre os tipos de círculos coincidentes que esperávamos ver dentro de um toro tridimensional plano ou outra forma tridimensional plana, chamada placa, mas eles não conseguiram encontrá-los.

Isso significa que, se realmente vivemos em um toro, provavelmente é tão grande que qualquer padrão repetitivo se encontra fora do universo observável.

Geometria esférica

Todos conhecemos as esferas bidimensionais - a superfície de uma bola, laranja, a Terra. Mas o que significaria para o nosso universo ser uma esfera tridimensional?

É difícil imaginar uma esfera tridimensional, mas é fácil descrever usando uma analogia simples. Assim como uma esfera bidimensional é uma coleção de todos os pontos a uma distância fixa de um certo ponto central no espaço tridimensional comum, uma esfera tridimensional (ou "tridimensional") é uma coleção de todos os pontos a uma distância fixa de um determinado ponto central no espaço quadridimensional.

A vida em três áreas é muito diferente da vida em um espaço plano. Para sentir isso, imagine que você é um ser bidimensional vivendo em uma esfera bidimensional. Uma esfera bidimensional é o Universo inteiro - você não pode ver e não pode acessar nenhum dos espaços tridimensionais circundantes. Dentro desse universo esférico, a luz se move pelos caminhos mais curtos: em grandes círculos. Para você, esses grandes círculos parecem ser linhas retas.

Agora imagine que você e seu amigo bidimensional ficam no Pólo Norte, e seu amigo sai para passear. Enquanto seu amigo estiver andando, a princípio ele se tornará cada vez menos em seu espaço visual, bem como em nosso mundo comum (embora ele não diminua tão rapidamente quanto estamos acostumados). Isso se deve ao fato de que, enquanto seu espaço visual aumenta, seu amigo ocupa cada vez menos espaço:

mas assim que um amigo passa no equador, algo estranho acontece: ele começa a parecer cada vez mais, quanto mais longe ele vai . Isso ocorre porque a porcentagem que ocupa em seu espaço visual aumenta:

quando seu amigo estiver a três metros do Polo Sul, ele parecerá tão grande quanto três metros de você:

E quando chega ao Pólo Sul, pode ser visto em todas as direções, de modo a preencher todo o seu horizonte visual:

se não houver ninguém no Pólo Sul, o seu horizonte visual é algo ainda mais estranho: você mesmo. Isso ocorre porque a luz que emana de você viaja por toda a esfera até que ela retorne a você.

Isso pode ser correlacionado com a vida na esfera tridimensional. Cada ponto da três esferas tem um ponto oposto e, se houver um objeto, o veremos como pano de fundo, como se fosse o céu. Se não houver nada lá, então nos veremos como pano de fundo - como se nosso exterior fosse sobreposto a um balão, virado do avesso e inflado para se tornar um horizonte inteiro.

A três esferas é um modelo fundamental da geometria esférica, mas esse não é o único espaço. Assim como construímos espaços planos cortando uma peça do espaço euclidiano e colando-o, podemos construir espaços esféricos colando uma peça adequada de três esferas. Cada uma dessas formas coladas, como no toro, terá o efeito de um "labirinto de reflexões", mas nessas formas esféricas há apenas um número limitado de salas pelas quais você pode passar.

Nosso universo pode ser esférico?

Mesmo as pessoas mais narcisistas não conseguem se imaginar como pano de fundo de todo o céu noturno. Mas, como no caso do toro plano, o fato de não vermos nenhum fenômeno não significa que ele não possa existir. A circunferência de um universo esférico pode ser maior que o tamanho do universo observável, o que torna o fundo muito distante para ser visto.

Mas, diferentemente do toro, o universo esférico pode ser detectado usando medições puramente locais. As formas esféricas diferem do espaço euclidiano infinito, não apenas na topologia global, mas também na geometria mais fina. Por exemplo, devido ao fato de as linhas retas na geometria esférica serem círculos grandes, os triângulos são mais inchados do que seus equivalentes euclidianos e a soma dos ângulos é superior a 180 graus:

De fato, a medição de triângulos cósmicos é a principal maneira de os cosmologistas verificarem se o universo é curvado. Para cada ponto quente ou frio no fundo cósmico de microondas, seu diâmetro horizontal e distância da Terra são conhecidos, formando três lados do triângulo. Podemos medir o ângulo em que um ponto está escondido no céu noturno - um dos três ângulos de um triângulo. Em seguida, verifique se uma combinação do comprimento dos lados e do ângulo medido é adequada para geometria plana, esférica ou hiperbólica (na qual a soma dos ângulos do triângulo é superior a 180 graus).

A maioria desses estudos, juntamente com outras medidas de curvatura, indica que o Universo é plano ou muito próximo do plano. Mas uma equipe de pesquisa afirmou recentemente que alguns dos dados obtidos com o telescópio espacial Planck em 2018 indicam a existência de um universo esférico. Outros pesquisadores se opõem a essa afirmação, acreditando que esse é provavelmente um acidente estatístico.

Geometria hiperbólica

Ao contrário de uma esfera que se dobra por si mesma, a geometria hiperbólica se desdobra para fora. Esta é a geometria de chapéus flexíveis, recifes de coral e selas. O modelo básico da geometria hiperbólica é o espaço infinito, como um espaço euclidiano plano. Mas como a geometria hiperbólica se propaga para fora muito mais rápido que o plano, não há como colocar um plano hiperbólico bidimensional dentro de um espaço euclidiano comum, a menos que desejemos distorcer sua geometria. Aqui, por exemplo, a noção de um plano hiperbólico conhecido como disco de Poincare é distorcida:

Do nosso ponto de vista, os triângulos próximos ao círculo de fronteira parecem muito menores do que perto do centro, mas, do ponto de vista da geometria hiperbólica, todos os triângulos têm o mesmo tamanho. Se tentássemos fazer triângulos do mesmo tamanho - por exemplo, usando material de alongamento para o nosso disco e aumentando cada triângulo por sua vez, saindo do centro -, nosso disco pareceria um chapéu flexível e dobraria cada vez mais. nós fizemos o nosso caminho. Ao nos aproximarmos da fronteira, essa curva se tornaria cada vez mais incontrolável.

Do ponto de vista da geometria hiperbólica, o círculo de fronteira está infinitamente longe de qualquer ponto interno, pois para isso você precisa cruzar infinitos triângulos. Assim, o plano hiperbólico se estende ao infinito em todas as direções, assim como o plano euclidiano. Mas, do ponto de vista da geometria local, a vida no plano hiperbólico é muito diferente do que estamos acostumados.

Na geometria euclidiana simples, um círculo é diretamente proporcional ao seu raio, mas na geometria hiperbólica, o círculo cresce exponencialmente em comparação com o raio. Podemos ver um aglomerado exponencial nas massas de triângulos próximo ao limite de um disco hiperbólico.

Devido a esse recurso, os matemáticos gostam de dizer que em um espaço hiperbólico é fácil se perder. Se seu amigo o deixar no espaço euclidiano habitual, ele começará a parecer menor, mas isso acontecerá lentamente, porque seu círculo visual não está crescendo tão rápido. No espaço hiperbólico, seu círculo visual cresce exponencialmente, de modo que em breve seu amigo pareça comprimido em um ponto exponencialmente raso. Se você não seguiu cuidadosamente o caminho dele, será quase impossível encontrar um caminho para ele.

E na geometria hiperbólica, a soma dos ângulos de um triângulo é inferior a 180 graus - por exemplo, os triângulos em nosso disco de disco Poincare têm ângulos de 165 graus:

Os lados desses triângulos não parecem retos, mas isso ocorre apenas porque observamos a geometria hiperbólica através de uma lente distorcida. Para um residente do disco Poincare, essas curvas são retas, porque a maneira mais rápida de ir do ponto A ao ponto B é

abrir o caminho para o centro: existe uma maneira completamente natural de fazer um análogo tridimensional do disco Poincare - basta fazer uma bola tridimensional e preenchê-la com formas tridimensionais que se tornam menos à medida que você se aproxima da zona de fronteira, como triângulos no disco Poincare. E, assim como na geometria plana e esférica, podemos criar vários outros espaços hiperbólicos tridimensionais cortando um pedaço adequado de uma bola hiperbólica tridimensional e colando suas faces.

Nosso universo pode ser hiperbólico?

A geometria hiperbólica, com seus triângulos estreitos e círculos em crescimento exponencial, não é como a geometria do espaço ao nosso redor. De fato, como já vimos, a maioria das medidas cosmológicas aponta para um universo plano.

Mas, ao mesmo tempo, a possibilidade de vivermos em um mundo esférico ou hiperbólico não é excluída, pois pequenos pedaços de ambos os mundos parecem quase planos. Por exemplo, pequenos triângulos na geometria esférica têm ângulos apenas ligeiramente superiores a 180 graus e pequenos triângulos na geometria hiperbólica têm ângulos apenas ligeiramente inferiores a 180 graus.

Não é por acaso que os povos antigos acreditavam que a Terra era plana - a curvatura da Terra era pequena demais para ser detectável. Quanto maior a forma esférica ou hiperbólica, mais achatada cada pequena parte. Portanto, se o nosso Universo tem uma forma esférica ou hiperbólica extremamente grande, a parte que podemos observar pode ser tão plana que sua curvatura pode ser detectada apenas com a ajuda de instrumentos ultraprecisos que ainda precisamos inventar.

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