Definindo parâmetros de transformação da nuvem de pontos

Formulação do problema

Considere o problema de encontrar o ângulo de rotação e deslocamento de uma nuvem de pontos. Uma nuvem de pontos significa um conjunto de pontos em um plano que preserva a posição relativa um do outro durante seu movimento espacial.

Essa. Existem dois conjuntos de pontos: a nuvem inicial e a nuvem transformadas arbitrariamente no espaço (veja a Fig. 1). Qualquer transformação de uma nuvem de pontos no espaço pode ser interpretada como rotação e deslocamento. Assim, é necessário determinar em que ângulo é necessário girar a nuvem de pontos original e a que distância ela deve ser movida da nuvem de pontos original para obter a mesma nuvem de pontos convertida de maneira arbitrária.

FIG. 1 Exemplo de uma nuvem de pontos na qual é aplicada uma rotação de 15 graus e um deslocamento ao longo do eixo X: 10, ao longo do eixo Y: 30

Algoritmo

1. Determinando o deslocamento da nuvem de pontos

, . . , .

, .

$x_c = \frac{\sum_{n=1}^{N}{x}}{N}; y_c = \frac{\sum_{n=1}^{N}{y}}{N}$

: (0;0) (10;30). , : 10, Y: 30.

2.

(. 2). , . 90 , 4 .

. 2

, . , , .

$$$\begin{equation*} I = \begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy}\\ I_{yx} & I_{yy}\\ \end{pmatrix} \end{equation*}$

, :

$$$I_{xx} = \sum_{n=1}^{N}{[(x - x_c)^2]}$
$$$I_{xy} = \sum_{n=1}^{N}{[(x - x_c)(y - y_c)]}$
$$$I_{yx} = \sum_{n=1}^{N}{[(x - x_c)(y - y_c)]}$
$$$I_{yy} = \sum_{n=1}^{N}{[(y - y_c)^2]}$

.

:
— : (33334 0; 0 11667), : (1; 0) (0; 1), 0 90 .
— : (31882.5 -54167.5; -54167.5 13118.4), (0.9659 -0.2588) (0.2588 0.9659), -15 75 .
, 15, 105, 195 285 . , 15 .

: . Matlab, .

. 3

. 4

. 5

Usando o método descrito acima, você pode determinar o ângulo de rotação e o deslocamento da nuvem de pontos original, em relação a outro. Que é obtido usando qualquer movimento espacial da nuvem de pontos original. Além disso, na presença de um pequeno erro (distribuição normal), esse método também funciona de forma estável (consulte as Fig. 3 e Fig. 5).

Este método também pode ser usado no processamento de imagens digitais quando for necessário determinar a localização espacial de qualquer objeto.

A idéia principal deste artigo é que o leitor aplique imediatamente o método descrito se ele encontrar uma tarefa semelhante e não gastar tempo com isso.