Teorias da Probabilidade: Preparando-se para uma Entrevista e Resolvendo “Paradoxos”

Todos os anos, participo de uma centena de entrevistas em projetos educacionais do JetBrains : entrevistando candidatos no Centro de Ciência da Computação e no programa de mestrado corporativo da ITMO (a propósito, recrutamentovai para o programa agora). Todas as entrevistas são organizadas de acordo com um padrão: pedimos que você resolva problemas no local e faça perguntas básicas sobre as disciplinas que os alunos estudaram nas universidades. A maioria das perguntas que fazemos é bem simples - você precisa definir o conceito, formular uma propriedade ou um teorema. Infelizmente, em uma proporção significativa de estudantes, todas essas definições são corroídas imediatamente após os exames nas universidades. Parece que não há nada de surpreendente? No mundo moderno, qualquer definição pode ser do Google em alguns segundos, se necessário. Mas a incapacidade de restaurar a definição básica indica uma falta de entendimento da essência do sujeito.

Se um mal-entendido de álgebra ou análise matemática pode ter pouco efeito em sua vida, então um mal-entendido da teoria das probabilidades o torna um alvo fácil de fraude e manipulação. Os julgamentos sobre as probabilidades de vários eventos estão tão profundamente enraizados em nossas vidas diárias que é necessária a capacidade de raciocinar e distinguir a verdade da ignorância ou manipulação. Nesta breve revisão, falaremos sobre os conceitos básicos da teoria das probabilidades, aprenderemos a formular corretamente afirmações sobre processos aleatórios simples e analisaremos alguns paradoxos. Parte do material foi emprestada da brochura de A. Shen "Probabilidade: Exemplos e Tarefas" , que eu recomendo para estudos independentes.

Antes de falar sobre definições, precisamos concordar sobre de onde vem a aleatoriedade em nosso mundo. Por exemplo, por que achamos que o lançamento de moedas é um processo aleatório? Do ponto de vista da física clássica, que descreve processos no macrocosmo, tudo é determinado, portanto, pelos parâmetros do sorteio, é possível determinar inequivocamente de que lado ele cairá. No entanto, na prática, é impossível medir e levar em consideração todas as forças que realmente afetam a moeda e, portanto, o resultado desse experimento é considerado aleatório. É importante entender que essa questão não é uma teoria da probabilidade. A teoria da probabilidade trabalha com modelos - para ela, uma moeda na qual a águia e a coroa caem com a mesma frequência e uma moeda na qual há duas vezes mais águias que a coroa é apenas dois modelos diferentes. A questão équal dos modelos é mais consistente com a realidade observada é uma questão de nossa experiência (a experiência mostra que a frequência da águia e da cauda é aproximadamente a mesma). Assim, a primeira coisa que precisamos concordar com um modelo.

Definições

Para determinar um modelo que nos permita falar sobre probabilidades, precisamos descrever um espaço probabilístico .

O espaço de probabilidade no caso final mais simples consiste em muitos resultados elementares $$$\Omega = \{a_1, a_2, \dotsc, a_n\}$ e um conjunto de números não negativos $$$\{p_1,p_2,\dotsc, p_n\}$de modo que sua soma seja igual a $$$1$. Muitas vezes, todos os resultados são considerados igualmente prováveis, ou seja,$$$p_1=p_2=\dotsb=p_n$. Em um caso infinito mais complexo, é necessário isolar separadamente o conjunto de eventos de interesse para nós e definir as probabilidades de eventos usando uma função chamada medida de probabilidade . Um evento é um conjunto que consiste em eventos elementares, ou seja, qualquer subconjunto$$$\Omega$. Probabilidade de evento$$$E\subseteq \Omega$é indicado por $$$\Pr[E]$, É a soma de todos esses $$$p_i$, o que $$$a_i\in E$. Em particular, a probabilidade de um evento vazio$$$E = \emptyset$ é igual a zero e eventos $$$E=\Omega$ igual a 1. No caso em que todos os resultados são considerados igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é simplesmente igual à razão entre o número de resultados contidos no evento e o número total de resultados elementares, ou seja, $$$\Pr[E] = |E| / |\Omega|$.

A probabilidade de qualquer evento é entre 0 e 1. Se a probabilidade do evento for zero, esse evento será chamado impossível ; se a probabilidade do evento for igual à unidade, esse evento será chamado confiável .

É importante que, sem determinar o espaço de probabilidade, seja impossível (no sentido matemático) falar sobre a probabilidade de algo.

Comente

Com base na definição de um espaço de probabilidade, é fácil distinguir entre teoria da probabilidade e estatística: a teoria da probabilidade prevê frequências com base no conhecimento do espaço de probabilidade e a estatística resolve o problema inverso - determina os parâmetros de um espaço de probabilidade desconhecido com base nas frequências observadas.

Exemplo: Inversão de moeda

Assumimos que a moeda cunhada é "correta" ou "simétrica", ou seja, igualmente cai frequentemente com uma águia e uma cauda, ​​e nunca se eleva. Então o conjunto de resultados elementares consiste em dois elementos,$$$\Omega = \{ \text{}, \text{}\}$. Como concordamos que a moeda está "correta", é razoável supor que$$$p_1 = p_2 = 1/2$. Agora vamos listar todos os eventos possíveis e suas probabilidades.

1. Nem a águia nem as caudas cairão. Isso corresponde ao evento.$$$E = \emptyset$, $$$\Pr[E] = 0$.
2. Uma águia cairá $$$E = \{\text{}\}$, $$$\Pr[E] = 1/2$.
3. Caudas vão cair $$$E = \{\text{}\}$, $$$\Pr[E] = 1/2$.
4. Uma águia ou coroa cairá $$$E = \{\text{}, \text{}\}$, $$$\Pr[E] = 1/2 + 1/2 = 1$.

Exemplo: virar dados

Como no caso da moeda, assumiremos que o dado jogado cai em todas as faces com a mesma frequência. Então o conjunto de resultados elementares consiste em seis elementos,$$$\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, todas as probabilidades são iguais $$$p_1 = p_2 = \dotsb = p_6 = 1/6$. O número de eventos diferentes neste experimento é$$$64 = 2^6$(este é o número de todos os subconjuntos de um conjunto de 6 elementos). Surpreendentemente, a pergunta “quantos eventos diferentes existem em um experimento com o lançamento de dados?”. Na minha observação, confundimos 9 entre 10 candidatos.
Vejamos alguns exemplos de eventos.

1. Drop 1 $$$E = \{1\}$, $$$\Pr[E] = 1/6$.
2. Haverá um número maior que três, $$$E = \{4, 5, 6\}$, $$$\Pr[E] = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2$.
3. Um múltiplo de três aparecerá, $$$E = \{3, 6\}$, $$$\Pr[E] = 1/6 + 1/6 = 1/3$.

Exemplo: dois lançamentos de moedas

Sob as mesmas suposições sobre a "simetria" da moeda, definimos o conjunto de resultados elementares como o conjunto de pares ordenados

$$

$$\Omega = \{ (\text{}, \text{}), (\text{}, \text{}), (\text{}, \text{}), (\text{}, \text{})\}.$$

A simetria da moeda permite concluir que todos os resultados elementares são igualmente prováveis, ou seja, $$$p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = 1/4$.
Exemplos de eventos.

1. No primeiro rolo, caudas $$$E = \{(\text{},\text{}), (\text{}, \text{})\}$, $$$\Pr[E] = 1/4 + 1/4 = 1/2$.
2. Pelo menos uma coroa cairá $$$E = \{(\text{},\text{}), (\text{}, \text{}),(\text{}, \text{})\}$, $$$\Pr[E] = 1/4+1/4+1/4 = 3/4$.
3. A moeda será descartada duas vezes de um lado, $$$E = \{(\text{}, \text{}), (\text{}, \text{})\}$, $$$\Pr[E] = 1/4 + 1/4 = 1/2$.

Exemplo: selecionando um número aleatório no calendário 2020

Muitos resultados elementares $$$\Omega = \{1, 2,\dotsc,31\}$. Como escolher probabilidades? Depende de como o experimento é organizado. Por exemplo, podemos retirar uma folha aleatória de um calendário destacável e ver o número nele. O modelo mais preciso que descreve esse experimento seria um espaço de probabilidade com$$$366$resultados onde os mesmos números de meses diferentes diferem. E então a probabilidade de o número 1 cair seria a soma das probabilidades de resultados elementares correspondentes aos primeiros números de meses diferentes, ou seja,$$$12\cdot 1/366$. Mas, por conveniência, podemos considerar um conjunto mais simples de resultados elementares$$$\Omega$ com 31 resultados, mas com probabilidades diferentes: $$$p_1 = p_2 =\dotsb =p_{29} = 12/366$, $$$p_{30} = 11/366$, $$$p_{31} = 7/366$.

Um exemplo de evento: "o dia sorteado do mês é dividido por 10". Isso corresponde ao evento.
$$$E = \{10,20,30\},\ \Pr[E] = p_{10} + p_{20} + p_{30} = (12+ 12+11)/366 = 35/366$.

Comente

Depois de determinar o espaço de probabilidade (ou seja, decidimos sobre o conjunto $$$\Omega$e as probabilidades que atribuímos a resultados elementares), então a questão da probabilidade de algum evento se torna puramente aritmética. Em outras palavras, assim que escolhemos algum modelo matemático, que do nosso ponto de vista descreve o processo físico, as probabilidades de todos os eventos são determinadas de maneira única.

Tarefas de autoteste

Em cada problema, deve-se primeiro descrever o espaço de probabilidade e só então fazer os cálculos.

1. : . , .
2. .
3. 1 20. , , :
   
   • ;
   • 3;
   • 2, 3;
   • 2, 3;
   • 9;
   • , 3.

,

Considere o seguinte experimento: jogue duas moedas e veja de que lado elas caíram. Pode-se dizer que, neste problema, existem apenas três resultados: duas caudas, duas águias e uma águia e caudas. Se assumirmos que todos os resultados são igualmente possíveis, verifica-se que a probabilidade de duas águias caírem é igual a 1/3. A matemática não nos proíbe de considerar um espaço probabilístico, mas a verificação experimental sugere que, no mundo físico, a resposta está mais próxima de 1/4. Portanto, você não deve assumir por padrão que todos os resultados são igualmente prováveis; caso contrário, obteremos 1/2 em resposta a uma pergunta sobre a probabilidade de uma reunião de dinossauros.

Fórmula de probabilidade

Dizemos que dois eventos são incompatíveis se a interseção for igual a um conjunto vazio. Ou seja, não há resultados que corresponderiam aos dois eventos. Exemplo: os eventos "um número par caiu em um dado" e "um ou três caíram em um dado" são incompatíveis.

Eventos incompatíveis têm a seguinte propriedade. Deixe ser$$$A$ e $$$B$- dois eventos incompatíveis. A probabilidade de que pelo menos um deles aconteça é igual à soma das probabilidades$$$A$ e $$$B$, em outras palavras $$$\Pr[A\cup B] = \Pr[A] + \Pr[B]$evento $$$A\cup B$também chamado de soma dos eventos$$$A$ e $$$B$ e denotar $$$A+B$. Esta propriedade não é executada para eventos arbitrários. Por exemplo, os eventos “um número par caiu em um dado” e “um número mais de quatro caiu em um dado” não são incompatíveis e a soma de suas probabilidades (5/6) é maior que a probabilidade de sua soma (4/6).

Considere o seguinte problema. Na bolsa há bolas de três cores: branco, amarelo e preto. Além disso, sabe-se que o branco$$$10\%$ do total e amarelo - $$$15\%$. Qual é a probabilidade de uma bola sorteada ser brilhante? A contagem precisa mostra que, se em uma bolsa$$$N$ bolas, então o evento em questão corresponde a $$$0.1N + 0.15N = 0.25N$ bolas, isto é $$$25\%$do número total de bolas. Os eventos "puxou uma bola branca" e "puxou uma bola amarela" são incompatíveis, portanto a probabilidade de a bola ser leve é ​​igual à soma das probabilidades desses eventos.

Os eventos são chamados opostos se exatamente um deles sempre acontece. A partir dessa definição, podemos concluir que, em primeiro lugar, esses eventos são incompatíveis e, em segundo lugar, sua probabilidade total é 1. Um evento oposto ao evento$$$E$Expresso como $$$\Omega\setminus E$ (se todos os resultados elementares tiverem uma probabilidade positiva, esse será o único evento).

Desafio de autoteste

Selecione um número aleatoriamente $$$n$ de 1 a 100. Considere os seguintes eventos:

1. número $$$n$ uniformemente;
2. número $$$n$ ímpar;
3. número $$$n$ divisível por 4;
4. número $$$n$ tem um restante de 2 quando dividido por 4;
5. número $$$n$ tem um restante de 1 quando dividido por 4.

Quais desses eventos são incompatíveis? (indique todos os pares)

Fórmula de inclusão e exclusão

Como determinar a probabilidade da soma de dois eventos que não são incompatíveis? Considere o seguinte exemplo. Entre os alunos da escola$$$15\%$ por cento sabe francês e $$$20\%$sabe alemão A proporção daqueles que falam os dois idiomas em todos$$$5\%$. Qual a proporção de estudantes que conhecem pelo menos um desses dois idiomas? Se desenharmos um diagrama, se somarmos os compartilhamentos daqueles que sabem francês e quem sabe alemão, contaremos o dobro daqueles que conhecem os dois idiomas. Portanto, a resposta:$$$15\% + 20\% - 5\%= 30\%$.

A mesma pergunta também pode ser formulada na linguagem da teoria das probabilidades: com que probabilidade um aluno selecionado aleatoriamente conhece pelo menos uma das duas línguas? Um raciocínio semelhante nos leva à seguinte fórmula:

$$

$$\Pr[A\cup B] = \Pr[A] + \Pr[B] - \Pr[A\cap B],$$

Onde $$$A\cap B$ É uma interseção de eventos $$$A$ e $$$B$, ou seja, este evento consiste nos resultados elementares que entram simultaneamente em$$$A$, e em $$$B$(esse evento também é chamado de produto de eventos$$$A$ e $$$B$ e denotar $$$\Pr[AB]$)

Desafio de autoteste

Sabe-se que os alunos com duques em álgebra compõem 25% e os alunos com duques em geometria compõem 15%. Quantos alunos têm duques em álgebra e geometria, se os alunos que não tiverem duques em nenhuma das disciplinas representam 70%?

Probabilidade Condicional

Mais uma vez, considere o problema dos estudantes e das línguas estrangeiras. Que proporção entre os estudantes que sabem alemão sabe francês? É fácil descobrir a resposta olhando a foto. É necessário calcular a proporção entre o número de alunos que conhecem os dois idiomas e o número de estudantes que sabem o alemão, ou seja,$$$\frac{0.05N}{0.2N} = 25\%$. Voltando à linguagem da teoria das probabilidades, pode-se fazer a seguinte pergunta: qual é a probabilidade de um aluno escolhido aleatoriamente saber francês, desde que saiba alemão? Deixe os eventos$$$A$ e $$$B$correspondem ao fato de que um aluno selecionado aleatoriamente conhece francês e alemão, respectivamente. Então a probabilidade desejada é chamada de probabilidade condicional de ocorrência$$$A$ forneceu $$$B$ e é designado $$$\Pr[A\mid B]$. Por analogia, obtemos a seguinte fórmula para probabilidade condicional:

$$

$$\Pr[A\mid B] = \frac{\Pr[A\cap B]}{\Pr[B]}.$$

Qual é a probabilidade de um aluno escolhido aleatoriamente conhecer alemão, desde que saiba francês?

A partir da fórmula de probabilidade condicional, podemos obter uma fórmula para a probabilidade do produto de dois eventos.

$$

$$\Pr[A\cap B] = \Pr[B] \cdot \Pr[A\mid B].$$

Em palavras: para encontrar a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem $$$A$ e $$$B$, você precisa multiplicar a probabilidade do evento $$$B$ na probabilidade condicional de um evento $$$A$ com conhecido $$$B$.

Desafio de autoteste

Em uma classe de 50% dos meninos; 60% dos meninos adoram sorvete. Qual a proporção de garotos que amam sorvete entre os alunos da turma? Como reformular isso na linguagem da teoria das probabilidades?

Independência

Considere um experimento com dois dados: vermelho e azul. Existem 36 resultados neste experimento que consideramos igualmente possíveis. A probabilidade de um triplo cair em um dado vermelho é igual a$$$1/6$ (6 de 36 resultados), a probabilidade de um triplo cair em um cubo azul também é igual $$$1/6$. Qual é a probabilidade de um três cair em um cubo azul, desde que um três tenha caído no vermelho? Usando a fórmula de probabilidade condicional, você precisa calcular a razão entre a probabilidade de um triplo nos dois cubos e a probabilidade de um triplo no vermelho. Nós temos$$$\frac{1/36}{1/6} = 1/6$. Observe que a presença de informações de que um triplo caiu em um cubo vermelho não afeta a probabilidade de um triplo cair no azul. Tais eventos serão chamados independentes . Diremos que os eventos$$$A$ e $$$B$ independente se

$$

$$\Pr[A\mid B] = \Pr[A].$$

(Esta definição assume que ambas as probabilidades de eventos $$$A$ e $$$B$estritamente maior que zero.)

Uma definição alternativa pode ser obtida usando a definição de probabilidade condicional: dois eventos são chamados independentes se a probabilidade de seu produto for igual ao produto de suas probabilidades.

$$

$$\Pr[AB] = \Pr[A]\cdot \Pr[B].$$

Tarefas de autoteste

1. Os eventos “sabe alemão” e “sabe francês” são independentes?
2. Jogue um dado. Os eventos são independentes:
   
   1. "Even caiu" e "estranho caiu",
   2. "Até caiu" e "2 caíram",
   3. "Até caiu" e "um múltiplo de três caiu".

O próximo passo é uma conversa sobre a fórmula de Bayes, derivada da definição de probabilidade condicional. Reescreva a definição:

$$

$$P[B\mid A] = \frac{P[A\cap B]}{P[A]}\quad \Rightarrow\quad P[A\cap B] = P[B\mid A]\cdot P[A].$$

E substituindo isso na definição, obtemos a fórmula de Bayes

$$

$$P[A\mid B] = \frac{P[A\cap B]}{P[B]} = \frac{P[B\mid A]\cdot P[A]}{P[B]},$$

que permite trocar o evento e a condição sob o signo da probabilidade. Penso que, ao aplicar a fórmula de Bayes, você precisa escrever um post separado, por exemplo, um .

Terminaremos aqui com definições e, antes de avançarmos para paradoxos, vamos discutir e em quais casos podemos falar sobre probabilidade.

Quando podemos falar sobre probabilidade?

Proponho considerar várias questões que ilustram a importância da redação.

Qual é a probabilidade de que, ao caminhar pela rua, você encontre um dinossauro?

Eu acho que está claro para todos que isso não é 1/2. Mas, ainda assim, como responder a essa pergunta corretamente? O problema com esta pergunta é que ela é formulada incorretamente - é impossível determinar inequivocamente o espaço de probabilidade a partir dela e, portanto, também é impossível falar sobre probabilidade. Você pode sugerir alguma outra redação da pergunta, na qual será óbvio. Por exemplo, a partir de amanhã, em todas as ruas da cidade, a cada minuto com probabilidade de 0,00001, um dinossauro se materializa e existe por uma hora sem sair de lugar nenhum. Nesta formulação, o processo aleatório é compreensível e você pode avaliar a probabilidade de uma reunião se determinar como a caminhada é organizada, quanto tempo leva e quantas ruas ela toca.


Você jogou uma moeda e sem espiar a cobriu com a mão. Qual é a probabilidade de a moeda ser virada para cima?

Eu gostaria de dizer que, neste caso, certamente a probabilidade é 1/2. No entanto, estritamente falando, não há mais nenhum processo aleatório. A moeda já caiu para um lado. Só porque você não sabe algo, não significa que é algo aleatório. Por exemplo, se você não conhece a solução para a equação, isso não significa que qualquer número possa ser sua solução com igual probabilidade. Portanto, neste caso, o espaço de probabilidade não pode ser descrito. Você pode reformular a pergunta, por exemplo, da seguinte forma: "Qual é a probabilidade de você adivinhar o lado da moeda, se aleatoriamente igualmente escolher uma águia ou coroa?". Nesta formulação, já está claro o que é um processo aleatório (escolha de uma águia ou coroa), como determinar o espaço de probabilidade e obter a resposta 1/2. Além disso, nessa redação, não importa se a moeda foi “honesta” ou não.

Comente. Nossa confiança em algo também pode ser descrita em termos da teoria das probabilidades - isso é feito na estrutura da interpretação bayesiana da teoria das probabilidades.. Essa interpretação nos permite usar o aparato da teoria das probabilidades para avaliar nossa confiança na verdade de certas afirmações (não necessariamente aleatórias) com base nas informações que conhecemos. No entanto, vale a pena notar que, neste caso, o conceito de probabilidade se torna subjetivo - o mesmo evento do ponto de vista de diferentes observadores pode ter probabilidades diferentes. Por exemplo, no poker, você pode considerar a probabilidade de uma queda de espadas como positiva (já que você não a vê na mesa e na sua mão), e seu oponente, que já tem uma espada na sua mão, avaliará a probabilidade de ela cair como zero. Nesse caso, pode-se também chegar a uma opção em que ambas as estimativas acabam sendo diferentes da probabilidade "real", objetiva,. Não há contradição, porque estes são três tamanhos diferentes (os jogadores têm informações diferentes,e a probabilidade objetiva neste caso corresponde à informação completa).

Você acordou de manhã. Qual é a probabilidade de hoje ser domingo?

Eu acho que você já entendeu que a resposta 1/7 está incorreta, ou melhor, a pergunta está incorreta. Não está claro o que é um processo aleatório. Para obter 1/7, você precisa esclarecer a pergunta, por exemplo, assim: você adormece no domingo à noite e acorda aleatoriamente em qualquer manhã da próxima semana, qual é a probabilidade de você acordar no domingo? Mas mesmo com esse esclarecimento, se você perguntar sobre o dia da semana após acordar (após a escolha aleatória), essa pergunta permanecerá incorreta - caso contrário, você deve assumir que está em uma superposição de todos os dias da semana anterior até você olhar para o calendário.


Escrevi um número (específico) no quadro e afirmo que o testei com sucesso pela simplicidade duas vezes com um algoritmo probabilístico, que é confundido com uma probabilidade inferior a 1%. Qual a probabilidade desse número ser primo?

Eu gostaria de dizer que esse número é primo, com uma probabilidade superior a 99,99%. No entanto, do ponto de vista matemático, um número pode ser simples ou não. Portanto, é incorreto dizer isso. Depois que o algoritmo concluiu o trabalho, não há mais nada aleatório nessa formulação do problema; portanto, também não há probabilidade. Seria certo dizer que você tem 99,99% de certeza de que esse número é primo, mas você só pode declarar isso se confiar em mim 100% :)

Paradoxos

Nesta seção, tentaremos analisar vários "paradoxos" conhecidos da teoria das probabilidades e entender que eles não têm contradições ou que as perguntas são colocadas incorretamente.

O Monty Hall Paradox

Este é um paradoxo muito famoso . Muitas cópias foram quebradas sobre ele, incluindo até matemáticos eminentes deram a resposta errada.

Imagine que você se tornou um participante de um jogo no qual precisa escolher uma das três portas. Há um carro atrás de uma das portas, cabras atrás de duas outras portas. Você seleciona uma das portas, por exemplo, número 1, após a qual o host, que sabe onde está o carro e onde estão as cabras, abre uma das portas restantes, por exemplo, número 3, atrás da qual a cabra está localizada. Depois disso, ele pergunta se você deseja alterar sua escolha e escolher a porta número 2? Suas chances de ganhar um carro aumentarão se você aceitar a oferta do anfitrião e mudar sua escolha?

Como a Wikipedia sugere , para que a tarefa seja definida corretamente, precisamos esclarecer que o participante do jogo conhece as seguintes regras com antecedência:

1. é provável que o carro seja colocado atrás de qualquer uma das três portas;
2. o apresentador sabe onde está o carro;
3. em qualquer caso, o líder deve abrir a porta com a cabra (mas não a escolhida pelo jogador) e convidá-lo a mudar a escolha;
4. se o apresentador puder escolher qual das duas portas abrir, ele escolherá uma delas com a mesma probabilidade.

Se você não está familiarizado com esse paradoxo, sugiro que pense por alguns minutos sobre qual será a resposta correta.


Para responder à pergunta, vamos descobrir o que é um processo aleatório aqui. O esclarecimento mostra que o processo aleatório é mencionado apenas nos parágrafos 1 e 4: "é igualmente provável que o carro esteja localizado atrás de qualquer uma das três portas" e "se o apresentador tiver uma escolha de qual das duas portas abrir, ele escolherá uma delas com a mesma probabilidade". A pergunta que precisamos aprender a responder é: "Suas chances de ganhar um carro aumentam se você aceitar a oferta do anfitrião e mudar sua escolha?" Essa. nos perguntam sobre qual das duas estratégias oferece uma maior probabilidade de vitória. Observo que a condição número 4 não afeta o fato de ganhar o jogador, portanto, não faz sentido incluí-la no espaço de probabilidade. Portanto, propõe-se escolher um espaço de probabilidade com muitos resultados elementares.$$$\Omega = \{1,2,3\}$correspondente ao número da porta atrás da qual o carro está localizado e as probabilidades $$$p_1=p_2=p_3 = 1/3$. Agora considere duas estratégias do jogador: "deixe a porta selecionada", denotamos$$$S_1$e "troque a porta", denotamos $$$S_2$.

Não sabemos como o jogador escolhe a primeira porta, mas não precisamos saber. Basta verificar como a estratégia funciona em todas as eleições de primeira porta. Denotar por$$$d$ a porta que o jogador escolheu inicialmente e através $$$x$- a porta atrás da qual o carro está escondido. Então, para qualquer$$$d \in \{1,2,3\}$ evento "jogador venceu usando estratégia $$$S_1$"Corresponde ao fato de que ele adivinhou a porta certa na primeira tentativa. Formalmente, estamos interessados ​​no evento.$$$E_1 = \{d\}$, ou seja, $$$x = d$e sua probabilidade $$$1/3$. Evento “jogador venceu usando estratégia$$$S_2$»Corresponde ao evento oposto $$$E_2 = \Omega\setminus \{d\}$, ou seja, $$$x \neq d$e sua probabilidade $$$2/3$. Resta notar mais uma vez que, se essa análise for verdadeira para qualquer escolha$$$d$Portanto, é verdade com qualquer estratégia para escolher a primeira porta. Além disso, observamos que não usamos a condição 4. De maneira alguma,

como você pode ver, não há ambiguidades; essa tarefa é chamada de paradoxo apenas porque a resposta pode não corresponder à intuição. Mas isso acontece com bastante frequência em matemática.

O paradoxo de um menino e uma menina

Cito a Wikipedia .

A tarefa foi formulada pela primeira vez em 1959, quando Martin Gardner publicou uma das primeiras versões desse paradoxo na Scientific American, intitulada "The Two Children Problem", onde citou a seguinte declaração:

• O Sr. Jones tem dois filhos. O filho mais velho é uma menina. Qual é a probabilidade de os dois filhos serem meninas?
• O Sr. Smith tem dois filhos. Pelo menos uma criança é um menino. Qual é a probabilidade de os dois filhos serem meninos?

O próprio Gardner respondeu inicialmente $$$1/2$ e $$$1/3$respectivamente, mas posteriormente percebeu que a situação no segundo caso é ambígua. A resposta para a segunda pergunta pode ser$$$1/2$ dependendo de como foi descoberto que uma das crianças é um menino.

Espaço probabilístico dado $$$\Omega = \{\text{},\text{},\text{},\text{}\}$ e todas as probabilidades são iguais $$$1/4$. No primeiro caso, sabemos que o evento está concluído$$$E = \{\text{},\text{}\}$. Portanto, sujeito a$$$E$a probabilidade de duas meninas é 1/2.

No segundo caso, tudo é mais complicado, porque não está claro como descobrimos que o Sr. Smith tem um dos meninos das crianças. Duas opções podem ser sugeridas:

1. Uma pessoa aleatória com dois filhos é selecionada e perguntada se existe um menino entre seus filhos. Então a probabilidade de dois meninos é 1/3, porque isso corresponde à probabilidade de MM sujeito ao evento$$$E = \{\text{},\text{},\text{}\}$.
2. Uma pessoa aleatória com dois filhos é selecionada, seu filho aleatório (mais velho ou mais novo) é selecionado e seu sexo é perguntado. Esse experimento corresponde a outro espaço probabilístico no qual ainda é preciso levar em consideração a escolha da criança sobre a qual ela é solicitada. Terá 8 resultados elementares, e quatro deles serão adequados para nós (MM foi questionado sobre os mais velhos, MM foi questionado sobre os mais jovens, MD foi questionado sobre os mais velhos, DM foi questionado sobre os mais jovens). Dois resultados nos convêm, então a resposta é 1/2.

O Paradoxo da Bela Adormecida

A discussão desse paradoxo é motivada por este post sobre o Habré , que causou ampla discussão, mas há uma descrição desse paradoxo na Wikipedia .

O sujeito do teste (Bela Adormecida) recebe uma injeção de comprimidos para dormir. Uma moeda simétrica é lançada. No caso da perda de uma águia, ela é acordada e o experimento termina aí. No caso das caudas, eles a acordam, fazem uma segunda injeção (após a qual ela se esquece do despertar) e acordam no dia seguinte sem jogar moedas (nesse caso, o experimento dura dois dias seguidos). Todo o procedimento é conhecido por Beauty, mas ela não tem informações sobre o dia em que foi acordada.

Imagine-se no lugar da Bela Adormecida. Você acordou. Qual é a probabilidade de uma moeda ter caído?

Propõe-se considerar duas soluções alternativas com resultados diferentes.

Solução 1

Você não tem nenhuma informação sobre o resultado de uma perda de moeda e despertares anteriores. Como se sabe que a moeda é justa, pode-se supor que a probabilidade de coroa é$$$1/2$.

Decisão 2

Vamos fazer o experimento 1000 vezes. A Bela Adormecida é acordada, em média, 500 vezes com uma águia e 1000 vezes com uma cauda (porque quando as caudas caem, a Bela Adormecida é solicitada 2 vezes). Portanto, a probabilidade de caudas$$$2/3$.

Parece que ambas as decisões podem afirmar estar certas. No entanto, na tentativa de determinar o espaço de probabilidade, sérias dificuldades nos esperam. O que é um processo aleatório? O fato é que, quando a Bela Adormecida acorda, não há mais nenhum processo aleatório. A escolha já foi feita. Ela não sabe o resultado dessa escolha, mas não há mais nada acidental. Isso nos leva de volta ao exemplo dos dinossauros. Se você não sabe se há um dinossauro ao virar da esquina, isso não significa que ele esteja lá com uma probabilidade de 1/2. Portanto, a “Decisão 1” não responde à pergunta sobre probabilidade, mas à questão do grau de confiança da Bela Adormecida. E a "Solução 2" sugere considerar um experimento completamente diferente, no qual uma pergunta completamente diferente está sendo feita, proposta para ser respondida por um observador externo antes do início do experimento.

Para dar a esta pergunta um significado matemático e obter a resposta desejada 2/3, você terá que usar algum dispositivo filosófico, como "compartilhar almas". Por exemplo, assim: você entra no aparelho de realocação da alma, após o qual uma moeda é lançada para a Bela Adormecida, que cria dois universos paralelos: um em que a moeda cai por uma águia e o outro em que cai por coroa. No total, no espaço-tempo desses dois universos alternativos, existem três despertares diferentes da Bela Adormecida. O Aparelho de Realocação de Alma com probabilidade de 1/3 injeta sua alma no corpo da Bela Adormecida, pouco antes de um desses despertares. Qual é a probabilidade de você acordar em um universo paralelo onde as caudas caíram?

Como você pode ver, para dar um significado matemático a essa pergunta, será preciso fantasiar bem, mas isso não é feito por matemáticos, mas por filósofos (mais neste post ). Dizer que "ambas as soluções estão corretas" é incorreto do ponto de vista matemático.

Desafio de autoteste

Explique por que, no problema dos filhos de um marinheiro, com o qual esta postagem começa , a pergunta é colocada incorretamente (ou seja, nem 1/2 nem 1/3 são a resposta correta).

Caso sem fim

Quando passamos para o caso infinito, ou seja, Se considerarmos experimentos com um número infinito de resultados elementares, tudo se tornará muito mais complicado. Não entrarei em detalhes e nem mesmo determinarei o espaço de probabilidade para um caso infinito, porque isso requer matemática mais complexa. No entanto, para ilustrar, observo que, no caso infinito, pode haver conjuntos (ruins) de resultados elementares que não têm probabilidade (conjuntos incomensuráveis). Além disso, para todos os eventos bons (mensuráveis), a probabilidade é determinada exclusivamente. Portanto, esses “paradoxos” que surgem no caso infinito também surgem devido à ambiguidade da escolha do espaço de probabilidade. Um bom exemplo disso é o paradoxo de Bertrand, mostrando como os espaços probabilísticos aparentemente equivalentes (na verdade não são) levam a resultados diferentes.

Em vez de uma conclusão

Mesmo que você não vá a lugar algum ou seja entrevistado para cargos técnicos em uma empresa de TI, convém atualizar seu conhecimento de matemática, o que pode ser útil na programação. Posso aconselhar o curso on-line do centro de CS sobre teoria das probabilidades , que é lido por A.I. Os corajosos.

BÔNUS

Convido todos a ouvir uma palestra de Alexander Shen "Geradores de" números aleatórios: teoria e prática " neste domingo, 26 de abril às 14:00 no Computer Science Club . A palestra será ministrada em zoom. Para participar, você precisa se inscrever em um curso ou assinar o boletim.