Cerca de um indicador aplicável à avaliação visual de funções que crescem rapidamente

Para muitos modelos de epidemia - SIR, SEIR e similares (para obter detalhes da descrição matemática, consulte, por exemplo, www.idmod.org/docs/hiv/model-compartments.html ), a seguinte declaração é verdadeira: no estágio inicial da epidemia, quando o número de pessoas infectadas (I ) é muito menor que o tamanho da população, a taxa de crescimento do número de casos é proporcional ao número de casos:

$$$∂I/∂t=βI$onde β é o coeficiente que caracteriza a taxa de infecção.

A solução para esta equação é uma função exponencial. Para função exponencial$$$f(t)=a^t$ A seguinte equação funcional é válida:

$$

$$f(t+log_a⁡2 )=2f(t)$$

PARA. número$$$log_a⁡2$ é o período de duplicação para uma função $$$f(t)=a^t$. Por definição, se o período de duplicação para uma função suave não decrescente for constante, a função será exponencial.

Como muitos outros neste momento interessante, sigo as taxas de crescimento da taxa de incidência publicada, por exemplo, no site .

Por algum tempo, os gráficos começaram a se parecer com algo semelhante a um bumerangue ou taco de hóquei:


Figura 1

Os mesmos gráficos em escala logarítmica fornecem um pouco mais de informação:


Figura 2

Pode-se observar que a taxa de crescimento tende a desacelerar, uma vez que a inclinação do logaritmo da função correspondente diminui, mas tudo mas há insatisfação com a falta de entendimento de quão eficazes são as medidas tomadas para conter a epidemia.

Dinâmica real do número de infectados, mesmo em condições de aplicabilidade da aproximação $$$∂I/∂t=βI$difere de exponencial, que se deve principalmente a medidas para conter a epidemia, que levam ao fato de que $$$β$deixa de ser uma constante e se torna uma função decrescente (se medidas efetivas, é claro ) do tempo.

Em conexão com o exposto, propõe-se o uso de um período de duplicação como indicador aplicável à avaliação visual de funções semelhantes à indicativa. No caso geral, para uma função monotonicamente crescente$$$f(t)$ período de duplicação $$$D(t)$pode ser determinado a partir da seguinte equação funcional:

$$

$$f(t+D(t))=2f(t)$$

Diferença $$$D(t)$da constante indica a diferença $$$f(t)$do expositor. Em relação à dinâmica das taxas de incidência, o crescimento$$$D(t)$(idealmente - até o infinito) indica a eficácia das medidas tomadas para conter a epidemia.

No caso de funções definidas em forma de tabela em um conjunto discreto, por exemplo, na forma de uma tabela da dependência do número de casos na data, existe uma arbitrária$$$D(t)$. Como a maneira mais fácil de determinar$$$D(t)$podemos propor o seguinte:

Seja t {0; 1; ...; N} tempo discreto, I (t) é o número de casos, dependendo do tempo t.



Também é possível determinar o período de duplicação



"pessimista" "Pessimismo", neste caso, devido ao fato de que a comparação de I (t) é sempre feita com I (o), ou seja, com um "baixo" por base de definição. Mas presumimos que a situação melhore com o tempo? Para otimistas, existe uma definição:



De acordo com as definições acima,



a seguir, exemplos do uso do indicador acima:


Figura 3


Figura 4

Dados sobre a Espanha, descritos na imprensa como um exemplo de dor de cabeça


Figura 5

Apesar da tontura óbvia na fase inicial, a Espanha ainda parece sem esperança.

E, em conclusão - penatos nativos


Figura 6 É

reconfortante que em Rospotrebnadzor a taxa de crescimento da incidência de COVID-19 na Federação Russa tenha sido considerada lenta .

O arquivo com os dados de origem, fórmulas e gráficos pode ser obtido aqui

: Trabalho de casa:

1. Decida em$$$D(t)$ a equação $$$f(t+D(t))=2f(t)$para as seguintes funções

$$$f(t)=t^t$
$$$f(t)=Γ(t)$Onde $$$Γ(t)$- função gama
$$$f(t)=t^n$
$$$f(t)=ln⁡(t)$
Também para $$$f(t)=ln⁡(t)$resolva a equação $$$f(t+D(t))=mf(t)$

2. Responda à pergunta: como estão relacionados o período definido de duplicação da função e a derivada logarítmica da função?

Peço aos leitores que não publiquem decisões nos comentários dentro de uma semana.