👊🏿 🎭 👨‍👨‍👧 Fractais na areia, ou mais de três não recolhem 🤸 🤲🏻 🍿

Vamos falar sobre o modelo de pilha de areia. Areia (não real, modelo), derramando, cria as seguintes figuras:

Montes de areia podem ser adicionados (isso é fácil se você estiver acostumado a dobrar todos os tipos de coisas) e subtraídos (mas isso já não é trivial).

Você também pode usar isso como um mundo Olá em vez do jogo Vida.

Montes de areia

Pegue um campo quadriculado. Grãos de areia podem estar em cada célula deste campo. Por exemplo, pode ser assim:

Agora adicione um grão de areia a essa célula onde existem três:

E agora a atenção é a regra mais importante:

Se quatro grãos de areia estiverem na célula, eles serão distribuídos por quatro células vizinhas.

Como se costuma dizer, há um colapso (queda). Assim:

Uma regra muito natural. Embora não pareça areia, é mais como a regra "não junte mais de três": se quatro pessoas em uma gaiola conseguiram se reunir, elas se dispersam em direções diferentes.

Dessa forma, uma cascata de deslizamentos de terra pode ocorrer - quando um monte de areia é amontoado, ele entra em colapso até que haja células instáveis com 4 ou mais grãos de areia, ou seja, até que uma pilha de areia estável seja obtida :

isso já se assemelha ao mecanismo de surtos de doenças na pandemia ", Embora remotamente.

E se em várias células ao mesmo tempo havia 4 grãos de areia ou mais, então o que? Em que ordem fazer deslizamentos de terra? Resposta: isso não importa.

Evidência

, - , ( , ):

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{1}, \dots, y_{k}

$y_1,\ldots,y_k$ (

x_{1}

$x_1$ . . , ).

x_{1}

$x_1$ , , . . -

y_{j} = x_{1}

$y_j=x_1$ . , — , , , — .

y_{j}

$y_j$ , , :

y_{j}, y_{1}, \dots, y_{j - 1}, y_{j + 1}, \dots, y_{k}

$y_j,y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1},\ldots,y_k$ .

y_{j} = x_{1}

$y_j=x_1$ , , ,

x_{1}

$x_1$ ,

x_{2}, \dots, x_{n}

$x_2,\ldots,x_n$

y_{1}, \dots, y_{j - 1}, y_{j + 1}, \dots, y_{k}

$y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1},\ldots,y_k$ . , — , , , .

Se você joga muitos grãos de areia em uma célula de um campo sem fim e os deixa desintegrar, você recebe uma mandala:

Aqui, "muitos, muitos" são 30 milhões, e as células com 0, 1 , 2 , 3 grãos de areia são marcadas com pixels brancos, verdes e roxos e cor dourada. Há um vídeo no YouTube , você pode ver como fica a dinâmica.

Adicionar e subtrair

Devido ao fato de a sequência de deslizamentos não ter importância, é possível determinar a operação de adição de pilhas de areia estáveis: colocamos uma em cima da outra, empilhando grãos de areia das células correspondentes e deixando-a desmoronar. Em um campo infinito, é necessário introduzir coordenadas coordenadas nos dois termos da pilha. Ele pode ser tratado e montes de areia no campo quadriculado final - quando os grãos de areia se esfarelam sobre a borda, eles se perdem para sempre (eles dizem que a borda do campo localizado kletki afunda (pia), ou um kletischa grande, não importa). Abaixo está um exemplo da adição de duas pilhas de areia em um campo 3 × 3. Como você pode ver, duas seqüências diferentes de colapso levam ao mesmo resultado.

Também é possível no toro, mas você ainda precisa fazer pelo menos uma célula de drenagem para que a areia possa fluir, caso contrário a sequência de deslizamentos de terra pode ser infinita.

Acontece que o conjunto de pilhas de areia estáveis em um determinado campo (finito ou infinito) tem a estrutura de um monóide comutativo : elas podem ser empilhadas juntas (além disso, essa adição é comutativa e associativa), e o campo vazio sem um único grão de areia desempenha o papel de zero. Você não pode subtrair montes de maneira tão simples: pode resultar em uma quantidade negativa de grãos de areia. No entanto, também construiremos um análogo da subtração, mas não para todos os montões, mas apenas para a elite.

Um pouco de álgebra. Idealem um monóide comutativo é chamado seu subconjunto que é invariável em relação à adição de quaisquer elementos desse monóide, inclusive não do ideal. Ou seja, se você pertence a um ideal, não sairá dele, não importa o que adicione a si mesmo. Por exemplo, o conjunto de números naturais também é um monóide comutativo, apenas com relação à multiplicação, e o ideal é, por exemplo, o conjunto de números pares: para o qual um número par não se multiplica, você sempre obtém um número par. O ideal mínimo é a interseção de todos os ideais (não vazios); ele próprio também é um ideal. No exemplo com números naturais, a interseção de todos os ideais não vazios é um conjunto vazio. No entanto, no caso de monóides comutativos finitos, isso não é verdade. Existe um teorema do ideal mínimo em um monóide comutativo finito, segundo o qual ele épor um grupo (com relação à mesma operação especificada no monóide): existe um elemento neutro (análogo de zero) e cada elemento tem um inverso, ou seja, a subtração é especificada juntamente com a adição. No caso geral, isso é chato, mas estamos interessados apenas em montes de areia.

Faça pilhas no campo final para que o conjunto de pilhas estáveis seja finito. Observe que a pilha de areia com o número máximo de grãos de areia em cada célula (ou seja, 3; vamos chamá-la simplesmente de "pilha 3") pertence a qualquer ideal no monóide de pilhas de areia estáveis, já que você pode adicionar outra pilha estável especialmente selecionada a qualquer pilha estável um monte para obter um monte de 3 (deslizamentos de terra não precisam ser feitos). Assim, o ideal mínimo é geradopilha 3: para obtê-lo, você precisa pegar o monte 3 e adicioná-lo, por sua vez, a todos os tipos de montes de areia estáveis. Isso resultará em um determinado subconjunto do conjunto de todos os montantes estáveis; ele não contém, por exemplo, um campo vazio. A pilha de areia desse subconjunto é chamada de recorrente (recorrente).

Portanto, a álgebra geral nos diz que muitas pilhas de areia de retorno são um grupo. Portanto, possui elementos reversos e neutros. Um elemento neutro ( elemento de identidade) é um heap de retorno que, quando adicionado a qualquer outro heap de retorno, não o altera. A propósito, a adição de um elemento neutro é apenas mostrada na ilustração da adição de pilhas.

Para obter um elemento neutro, você precisa atirar em cada célula o dobro do número máximo de grãos de areia (ou seja, 6), deixá-lo desmoronar e subtrair de 6 o número de grãos de areia em cada célula, deixar o resultado desmoronar.

Por quê?

() 6 6, , , °, ( ) . : I = (6−6°)° , R (R+I)° = R. R , R = (3+S)° - S.

(R+I)° = ((3+S)°+(6−6°)°)° = (3+S+6−6°)° — - , . , , . : (3+S+6−6°)° = ((3−6°)+6+S)° = ((3−6°)+6°+S)° = (3+S)° = R, !

, 6 A (R+(A−A°)°)° = R. 6 , A−A° 3 , . . . — , , .

Como subtrair?

I = (6−6°)° — , , R R⁻¹ — , R I: (R⁻¹+R)° = I. (2×(6−6°)−R)°, 2× .

É assim que o elemento neutro do grupo de pilhas de areia (de retorno) se parece no campo de 1024 × 1024; as células com 0, 1 , 2 , 3 grãos de areia na célula são coloridas em preto, verde, roxo e dourado.

No KDPV - o mesmo para o campo 1000 × 500, e a ilustração da adição de pilhas 3 × 3 também mostra o elemento neutro local.

Ou seja, você entende. Os grupos são diferentes, mas os elementos neutros neles geralmente parecem completamente neutros. No grupo de alguns números de adição, o elemento neutro é o número 0, no grupo de números reais ou complexos diferentes de zero na multiplicação, o número é 1, no grupo de vetores de adição, o vetor zero, no grupo de permutação, a permutação é “tudo em seu lugar”, no grupo movimentos - "não toque em nada." E aqui - que beleza! Que tentativa ainda calcula.

Padrões

Tanto no elemento neutro quanto no monte que se desfez de muitos grãos de areia em uma célula, são visíveis as reivindicações de auto-similaridade. Além disso, embora os detalhes mudem quando o campo é redimensionado, a imagem como um todo - como se um mapa fractal de áreas preenchidas com padrões periódicos simples costurados nos guardanapos de Sierpinski - permanece inalterada e apenas detalha quando o campo é ampliado.

Moritz Lang, CC BY-SA 4.0

Parece não haver evidência desse fato especificamente para um elemento neutro em uma grade quadrada. Mas, para um monte que se desfez de muitas partículas em uma célula, a existência ( pré-impressão , artigo ) e a fractalidade ( pré-impressão , artigo ) são comprovadas) da figura resultante da tendência do número de grãos de areia ao infinito com ajuste simultâneo da balança.

Além disso, foi comprovada a existência e a fractalidade da pilha de areia em um campo quadrado finito (mais precisamente, seu limite para o número de células no campo tendendo a ∞), que é um elemento neutro com 1 grão de areia adicionado em cada célula (com derramamento subsequente, como de costume).

Os autores da prova ( pré-impressão , artigo ) gentilmente forneceram um algoritmo descrevendo a figura correspondente, que, com uma implementação simplificada, fornece uma imagem - compare com a imagem acima:

Código para Wolfram Mathematica

4- . , a_sk R , , -. 8 — L-, . , Clear[a].

qc = {{3, 0, 0}, {1 - I, 1 + I, 1}, {1 + I, 1, 1 - I}} / 3;
r = {{0, 1, 0}, {0, 0, 1}, {1, 0, 0}};
a[{}] = {0, -1, I};
a[{s___, k_}] := a[{s, k}] = qc.MatrixPower[r, k].a[{s}];
Graphics[Polygon /@ Table[ReIm @ a[s], {s, Tuples[Range[3], 8]}]]

Em triângulos curvos, formando figuras do tipo fractal, não apenas padrões periódicos mais ou menos homogêneos são visíveis (especialmente no KDPV), mas também “defeitos” de ramificação unidimensional. Estas parecem ser curvas tropicais . Em qualquer caso, sabe-se ( pré-impressão , artigo ) que, se vários grãos de areia separados são lançados no campo final com 3 grãos de areia em cada célula, uma imagem do gráfico é formada como resultado do derramamento, que é uma curva tropical que passa pelos grãos de areia granulados.

Variações e generalizações

Especialistas sofisticados em automação celular já pensaram sobre isso: também podemos considerar os vizinhos da célula e aqueles que têm apenas um ângulo em comum ("a vizinhança de Moore"). O colapso nesse caso deve ocorrer quando são atingidos 8 grãos de areia na gaiola. Bem, 5 milhões de grãos de areia na célula central se transformam em tal número (cores: 0 - branco, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ):

é claro, você pode considerar não apenas células quadradas, mas também outras estruturas regulares . As fotos correspondentes estão na galeria na página de um dos autores dos artigos acima.

Além disso, a areia pode ser espalhada em geral em qualquer gráfico, incluindo os orientados: grãos de areia são coletados nos vértices e ocorre um colapso quando o número de grãos de areia no vértice atinge o grau de saída do vértice (o número de arestas que emanam dele). Mas se você quiser considerar um grupo de pilhas de areia neste gráfico, ele deve ser finito, deve ter um pico de afundamento e deve ser possível alcançá-lo a partir de qualquer vértice. No entanto, se você ler este parágrafo, provavelmente já o descobriu.

O código

O jogo "Life" sempre foi uma das minhas tarefas favoritas ao aprender uma nova linguagem de programação. Mas ela já estava começando a se incomodar, então, quando li sobre pilhas de areia, decidi que essa era uma boa tarefa, adequada para praticar em um idioma agradável e ainda pouco conhecida (como eu pensava) - talvez eu seja a primeira a saber quem é Raste irá programar! Sim, droga. Existem montes de areia mesmo no Google Play - um , dois . Assim, no Rust, foram encontradas algumas implementações no Github; mas eles não são muito bons. Minha implementação está em github.com/colt-browning/sandpile. Você pode usá-lo diretamente na linha de comando (embora, receio que o sistema com a escrita de argumentos em polonês tenha sido complicado), você pode usá-lo como uma biblioteca. O derramamento geralmente é realizado de maneira bastante direta, mas procedimentos otimizados são fornecidos para casos especiais importantes.

Resposta da questão

Por que tudo isso é necessário?

Resposta comum. É hora de mencionar o modelo Buck - Than - Wiesenfeld. Às vezes, é misturado com um modelo de montão de areia, mas será mais preciso dizer que este é um complemento sobre uma estrutura de areia: pegamos um montão de areia em um campo quadrado e jogamos um grão de areia em células aleatórias, observando cada vez que o derramamento ocorre e quantas células a avalanche afetará deslizamentos de terra ( vídeo) Qualquer que seja a configuração que iniciemos, mais cedo ou mais tarde, retornaremos os heaps. Experimentos numéricos mostram que a distribuição de tamanho das avalanches é uma lei de energia. Nos sistemas naturais, a resposta às flutuações geralmente decai exponencialmente em média, e uma distribuição da lei de energia ocorre em estados chamados críticos - por exemplo, perto de uma transição de fase. No entanto, para entrar na transição de fase, geralmente é necessário "ajustar" os parâmetros do sistema (temperatura e pressão, por exemplo, ou há probabilidades de uma aresta no gráfico se estivermos falando sobre o problema de percolação na treliça ou no modelo Erdos - Renyi- também existem transições de fase). E no modelo BTV, uma lei de energia aparece em si, sem ajuste fino. Isso é chamado de criticidade auto-organizada. A BTV não criou apenas um modelo de montão de areia, mas foi a partir do trabalho deles que a areia foi firmemente estabelecida na ciência sob a bandeira da criticidade auto-organizada: eles dizem que, se entendermos como a criticidade auto-organizada surge na areia, ajudará a entender de onde ela pode vir, em princípio. natureza (e na natureza também ocorrem leis de poder de origem não muito clara). Parece que a lei de potência do modelo BTV em uma grade quadrada ainda não foi estritamente estabelecida, mas existem muitos resultados teóricos próximos ( aqui estão resultados mais recentes) e, é claro, experimentos numéricos e até em escala real.

Resposta honesta. Sim, basta olhar as fotos, que beleza!

Você escreveu tudo isso na Wikipedia e baixou fotos de lá

Não baixei e baixei, mas escrevi e enviei para.

Onde mais ler sobre areia?

Crescimento, lapas de areia e limites de escala da Lapônia - revisão de 2017.
Modelo de areia - notas do curso da Escola de Verão "Matemática Contemporânea" do co-autor do resultado sobre curvas tropicais.

Fractais na areia, ou mais de três não recolhem