🏀 🕖 🈲 Matemática discreta no exame no ShAD 🎶 😉 👋🏼

Olá! Meu nome é Azat, eu crio cursos para a preparação para o exame no SHAD. Recentemente, lançamos um curso sobre matemática discreta, para que nossa equipe resolva problemas ativamente no tópico relevante. Depois de examinar o exame no SHAD 2019, vimos um grande interesse dos usuários do Habr em tarefas divertidas do exame. Portanto, publicamos aqui 4 favoritos em matemática discreta. Aproveite!

Problema 1 (26 de maio de 2018, nº 5)

Valor aleatório $X$ igual à duração do ciclo contendo simultaneamente os elementos 1 e 2, com uma permutação aleatória do conjunto $\{1, 2, \ldots, n\}$ . Se não houver esse ciclo, então $X = 0$ . Encontre a distribuição de uma variável aleatória $X$ e sua expectativa matemática.

Decisão

De fato, a tarefa é mais combinatória do que teórica. Por definição, a distribuição $X$ São os valores $P(X = k)$ para todo o possível $k$ . Cada um desses valores é a razão entre o número de permutações em que existe um ciclo de duração necessário $k$ ao número de todas as permutações, que é igual a $n!$

. . (1 2), $k - 2$ $n - 2$ , $C_{n - 2}^{k - 2}$ . , , , $(n - k)!$ . , . , , . $a$ — $a_1 = b$ , $a_b$ , 1 $b$ ( ). , , $(k -1)!$ . :

P (X = k) = \frac{C_{n - 2}^{k - 2} \cdot (n - k)! \cdot (k - 1)!}{n!} = \frac{k - 1}{n (n - 1)}

$P(X = k) = \frac{C_{n - 2}^{k - 2} \cdot (n - k)! \cdot (k - 1)!}{n!} = \frac{k - 1}{n(n - 1)}$

, $k = 0$ $k = 1$ . $k = 1$ , , ( $P(X = 1) = 0$ , .. , ). , $k > n$ , $P(X = k) = 0$ ( ). , $P(X = 0)$ :

P (X = 0) = 1 - \sum_{k = 1}^{n} \frac{k - 1}{n (n - 1)} = 1 - \frac{1}{n (n - 1)} \cdot \frac{n (n - 1)}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

$P(X = 0) = 1 - \sum_{k = 1}^n \frac{k - 1}{n(n - 1)} = 1 - \frac{1}{n(n - 1)} \cdot \frac{n(n - 1)}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$X$ , :

E (X) = \sum_{k = 1}^{n} k \cdot \frac{k - 1}{n (n - 1)} = \frac{1}{n (n - 1)} (\sum_{k = 1}^{n} k^{2} - \sum_{k = 1}^{n} k) =

$E(X) = \sum_{k = 1}^n k \cdot \frac{k - 1}{n(n - 1)} = \frac{1}{n(n - 1)} \left( \sum_{k = 1}^n k^2 - \sum_{k = 1}^n k \right) =$

= \frac{1}{n (n - 1)} \cdot (\frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) - \frac{1}{2} n (n + 1)) = \frac{n + 1}{3}

$= \frac{1}{n(n - 1)} \cdot \left( \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1) - \frac{1}{2}n(n + 1) \right) = \frac{n + 1}{3}$

Problema 2 (4 de junho de 2016, nº 3)

Variáveis aleatórias $X$ e $Y$ pegue dois valores e $cov(X, Y) = 0$ . Prove que eles são independentes.

Decisão

, , , .

: 0 1, $P(X = 1) = p$ , $P(Y = 1) = q$ , $P(X = 1, Y = 1) = r$ . , $r = pq$ . , $E(X) = P(X = 0) \cdot 0 + P(X = 1) \cdot 1 = P(X = 1) = p$ , $E(Y) = P(Y = 0) \cdot 0 + P(Y = 1) \cdot 1 = P(Y = 1) = q$ , $E(XY) = P(X = 1, Y = 1) = r$ . $cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0$ , $E(XY) = E(X)E(Y)$ $r = pq$ .

, $X$ $Y$ : , ( , : $P(X = 1, Y = 0) = P(X = 1) - P(X = 1, Y = 1) = p - r$ , $P(X = 0, Y = 1) = P(Y = 1) - P(X = 1, Y = 1) = q - r$ , $P(X = 0, Y = 0) = 1 - P(X = 1, Y = 1) - P(X = 0, Y = 1) - P(X = 1, Y = 0)$ ). , , .

$P(X = a) = p, \ P(X = b) = 1 - p, \ P(Y = c) = q, \ P(Y = d) = 1 - q$ , $a < b$ $c < d$ . $X' = \dfrac{X - a}{b - a}$ $Y' = \dfrac{Y - c}{d - c}$ . , $X$ $a$ $b$ , $X'$ 0 1 , $Y$ . , $cov(X', Y') = 0$ , .

E (X^{'}) = \frac{E (X) - a}{b - a} E (Y^{'}) = \frac{E (Y) - c}{d - c}

$E(X') = \frac{E(X) - a}{b - a} \ \ \ E(Y') = \frac{E(Y) - c}{d - c}$

E (X^{'} Y^{'}) = E (\frac{X - a}{b - a} \cdot \frac{Y - c}{d - c}) = \frac{E (X Y) - c E (X) - a E (Y) + a c}{(b - a) (d - c)}

$E(X'Y') = E\left( \frac{X - a}{b - a} \cdot \frac{Y - c}{d - c} \right) = \frac{E(XY) - cE(X) - aE(Y) + ac}{(b - a)(d - c)}$

c o v (X^{'}, Y^{'}) = E (X^{'} Y^{'}) - E (X^{'}) E (Y^{'}) = \frac{E (X Y) - E (X) E (Y)}{(b - a) (d - c)} = \frac{c o v (X, Y)}{(b - a) (d - c)}

$cov(X', Y') = E(X'Y') - E(X')E(Y') = \frac{E(XY) - E(X)E(Y)}{(b - a)(d - c)} = \frac{cov(X, Y)}{(b - a)(d - c)}$

$cov(X, Y) = 0$ , $cov(X', Y') = 0$ , ...

Problema 3 (26 de maio de 2018, nº 8)

A terra mágica da Lelandia tem 100 cidades, algumas das quais são conectadas por companhias aéreas. Sabe-se que mais de 90 companhias aéreas partem de cada cidade. Prove que existem 11 cidades em pares conectadas pelas companhias aéreas.

Decisão

, — , — . , 91 , 8 . , , , .

( , ). , , , , .., . . 1 9 , , $\lfloor \frac{100}{9} \rfloor = 11$ , .

Problema 4 (3 de junho de 2017, nº 4)

Na Tyndex, cada funcionário tem pelo menos 50 conhecidos. Descobriu-se que existem dois funcionários que estão familiarizados apenas após 9 apertos de mão (ou seja, a menor cadeia de conexão de pessoas familiares em pares contém 8 pessoas intermediárias). Prove que esta empresa possui pelo menos 200 funcionários.

Decisão

, 10 . $A_i$ $i$ - , $\forall i \ |A_i| \geq 50$ .

, $A_1, \ A_4, \ A_7, \ A_{10}$ . , . , $|A_1 \cup A_4 \cup A_7 \cup A_{10}| = |A_1| + |A_4| + |A_7| + |A_{10}| \geq 200$ , ...

Se você tiver outras idéias para resolver problemas ou comentários, sinta-se à vontade para me escrever nos telegramas @ Azatik1000. Sempre feliz em responder!

Azat Kalmykov, curador do ShAD Helper

Matemática discreta no exame no ShAD

Problema 1 (26 de maio de 2018, nº 5)

Problema 2 (4 de junho de 2016, nº 3)

Problema 3 (26 de maio de 2018, nº 8)

Problema 4 (3 de junho de 2017, nº 4)

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