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Matemática em astronáutica: mecanismo de detonação rotacional



Enviar alguém ou algo além do nosso planeta até hoje é um prazer extremamente difícil e caro. Enquanto os viajantes espaciais de várias obras de ficção científica da cultura de massa usam repetidores ("Mass Effect"), motores de dobra ("Star Trek") ou até mesmo stargate ("Stargate"), na realidade tudo é muito mais prosaico. No momento, não temos conhecimento de tais tecnologias irreais, porque usamos combustível de foguete. Naturalmente, para lançar um ônibus espacial ou um foguete auxiliar, é necessário muito. Um novo tipo de motor - detonação rotacional - pode resolver esse problema. Enquanto o processo de seu desenvolvimento está longe de estar completo, cientistas da Universidade de Washington decidiram criar um modelo matemático desse dispositivo para entender melhor o princípio de sua operação.Isso permitirá que os engenheiros realizem testes de protótipo precisos e entendam melhor quais melhorias precisam ser implementadas. Então, como é o motor de foguete pelos olhos de um matemático e o que você aprendeu com a modelagem? As respostas a essas perguntas nos aguardam no relatório do grupo de pesquisa. Vai.


É óbvio que é necessária uma enorme quantidade de energia para retirar a sonda da atmosfera da Terra. A quantidade dessa energia depende do combustível usado e do motor do aparelho. Existem muitas opções para a primeira, mas elas estão longe de serem equivalentes em ficção científica em sua eficácia. Porque muita atenção é dada ao desenvolvimento de um novo tipo de motor.

Um motor de foguete clássico opera através de uma reação química exotérmica de combustível e oxidante. Quando esses dois componentes do combustível reagem, muita energia térmica e um fluido de trabalho gasoso são gerados, o que se expande. Isso leva ao fato de que sua energia interna é convertida em energia cinética da corrente de jato. Na sua essência, esse processo químico é a deflagração, ou seja, processo de combustão subsônica.

A deflagração pode ser substituída pela detonação quando uma onda de choque se propaga através de uma substância, iniciando reações de combustão química. O tipo de mecanismo que implementa esse modelo é chamado de mecanismo de detonação pulsada, mas ainda está em desenvolvimento.

Neste estudo, estamos falando de um mecanismo de detonação rotacional (RDE, ou seja, um mecanismo de detonação rotativo ) - um dispositivo que cria impulso no qual ondas de choque auto-sustentáveis ​​causadas pela combustão (detonação) se propagam azimutalmente em uma câmara de combustão anular.

O combustível e o agente oxidante são injetados no canal, geralmente através de pequenas aberturas ou fendas (lacunas anulares). Devido ao estreito espaço anular, os gradientes de densidade e pressão causados ​​pela liberação de calor são auto-amplificadores, formando eventualmente ondas de choque fortes o suficiente para a auto-ignição do combustível.

A operação estável do RDE, que é objeto de pesquisa, combina um equilíbrio de vários aspectos: combustão, injeção e mistura, liberação e liberação de energia. Se essas variáveis ​​não forem balanceadas, haverá uma desestabilização do motor, que se manifesta na forma de uma transição para um número diferente de ondas ou na forma de modulação da velocidade das ondas.


Imagem 1: esquema RDE.

A modelagem hidrodinâmica computacional do RDE permite um estudo detalhado da estrutura das ondas e do campo de fluxo * motor.
O campo de fluxo * é a distribuição da densidade e velocidade de um líquido no espaço e no tempo.

Campo vetorial * - transformações do espaço, onde cada um de seus pontos é exibido como um vetor com um início nesse ponto.
No entanto, anteriormente esse procedimento era muito caro e complicado, como dizem os próprios cientistas. Além disso, os modelos criados anteriormente não conseguiram isolar os fatores que afetam a formação da bifurcação * .
Bifurcação * - uma mudança qualitativa no comportamento de um sistema dinâmico com uma mudança infinitamente pequena em seus parâmetros.
Apesar das dificuldades esperadas, decidiu-se realizar a modelagem, mas usando novos dados experimentais sobre a dinâmica não linear das ondas de detonação rotativas. Isso nos permitiu criar um modelo que leva em consideração as mudanças mais insignificantes, fixando assim as bifurcações observadas na prática durante os experimentos.

parte experimental


Para realizar um estudo completo e modelagem apropriada, foram realizadas determinadas experiências. Para isso, um RDE e uma câmara de teste foram especialmente preparados para estudar a dinâmica de uma onda de detonação rotativa. O mecanismo usado para este estudo é único, pois seus componentes internos são modulares. As peças do motor podem ser substituídas para obter várias folgas anulares e o comprimento da câmara de combustão. Você também pode substituir o injetor, o que permite explorar diferentes opções para conectar e misturar combustível.


Imagem nº 2 A

câmera de teste é opticamente acessível, o que permite registrar a história cinemática completa de todas as ondas de detonação com alta resolução espaço-temporal ( 2a ).

Cada experimento representa uma combustão de 0,5 segundo de gás metano e oxigênio com uma determinada proporção e taxa de alimentação. Em um experimento bem-sucedido, uma faísca inflama a mistura e produz uma chama acelerada, que se transforma em uma série de ondas de detonação em movimento.

A base deste estudo é a suposição de que a luminosidade observada nos experimentos se correlaciona com o progresso da combustão. Portanto, regiões mais brilhantes exibem maior geração de calor do que regiões mais escuras. Se essa suposição for verdadeira, você poderá considerar vários exemplos de formas de onda extraídas dos dados de uma câmera de alta velocidade.

A cinemática da onda pode ser obtida a partir de dados da câmera usando um algoritmo para integrar intensidades de pixel e gravados na forma de um diagrama ( 2b ).


Imagem nº 3

Os registros da câmera também podem ser convertidos em um sistema de relatório de ondas; nesse caso, a diferença de fase entre as ondas será claramente visível.

O gráfico 3a mostra os dados de 2b na forma de um sistema de relatório de ondas e 3c mostra a velocidade correspondente da onda sendo rastreada.

Para esses dados, o tempo foi definido como τ = t ( onda D / L), onde L é o comprimento da região periódica e onda D é a velocidade da onda no estado bloqueado no modo.

Em 3aa transição de uma onda para duas é visível durante o processo de lançamento. Com essa transição de modo, uma segunda onda de detonação é formada após o ponto crítico, que começa a se propagar ao redor do anel. No entanto, a distância entre as duas ondas no espaço anular é assimétrica, o que causa um desequilíbrio na quantidade de combustível consumido por cada uma das ondas. Uma onda com coordenada θ 1 , seguindo a onda anterior θ 2 , existe com uma diferença de fase Ψ = θ 2 - θ 1<π (). Nesse ponto, se assumirmos que a frequência de renovação de combustível é aproximadamente constante, menos da metade do combustível disponível na câmara para seu consumo permanece na onda da cauda. Como o calor do combustível de foguete afeta diretamente a velocidade da detonação, a onda de atraso começa a desacelerar. No entanto, a onda anterior pode processar o restante do combustível disponível e acelerar devido a esse excesso. Assim, essas duas ondas se comportam dispersivamente quando tendem a um estado estável com uma diferença de fase máxima e simétrica.

Para comprimento de onda único 3auma onda quase-estacionária tem uma velocidade de 20 a 30% menor que a velocidade de Chapman-Jouguet para combustível de foguete. Essa métrica é a energia observável direta necessária para manter a onda de detonação, a qual está sujeita à dissipação e restauração do ganho na câmara de combustão. Quando há uma transição para duas ondas e a dinâmica é estabelecida em um estado estável, a velocidade da onda diminui para aproximadamente 90% da velocidade de uma única onda.


Imagem nº 4

Se você diminuir o suprimento de combustível no final do experimento, a situação oposta será observada. Em 4a mostra uma transição gradual da onda 2 para a onda 1 por cerca de 10 ms. Duas ondas competem por um combustível cada vez mais escasso, ao contrário do caso de excesso de combustível mostrado em 3a .

Devido à perturbação inicial da diferença de fase, as ondas começam a trocar força regularmente (velocidade e amplitude), causando um aumento exponencial da instabilidade. À medida que as oscilações da diferença de fase aumentam, ocorre uma interação catastrófica entre as ondas, quando a onda atrasada ultrapassa a que está à frente durante uma das oscilações com grande amplitude. Após a bifurcação, a velocidade da onda restante é aproximadamente 10% superior à da onda anterior à instabilidade.


Imagem Nº 5

Frequentemente, também foram observadas instabilidades de onda que não levaram a uma alteração no número de ondas. A imagem nº 5 mostra a velocidade e a amplitude periódicas das ondas observadas em um experimento com três ondas rotativas. Essa é uma clara instabilidade de modulação, uma vez que as bandas laterais espectrais acompanham a frequência portadora correspondente à velocidade média da onda de deslocamento na câmara de combustão. Este modo de operação é estável no sentido de que não leva a uma bifurcação do número de ondas se o estado do fluxo não for substancialmente perturbado.

Se a área do injetor foi aumentada em relação à área da câmara anular, foi observado um modo de operação pulsada, caracterizado por um modo de operação "on / off" dos injetores.


Imagem Nº 6

A imagem acima mostra as ondas do plano vibracional no modo pulsado.

Modelo matemático


Para entender exatamente quais aspectos físicos predominam no processo de formação de ondas, foi criado um modelo matemático nas sincronizações de modo e bifurcações de modo que refletem as nuances de combustão, injeção de combustível e dissipação de energia, cuja estrutura é determinada pelas seguintes fórmulas:
∂η / ∂t + η (∂η / ∂x) = (1 - λ) ω (η) q 0 + ϵξ (η)
∂λ / ∂t = (1 - λ) ω (η) - β (η, η p , s) λ
η (x, t) - propriedades do fluido de trabalho;
λ - variável de combustão (λ = 0 - não houve queima, λ = 1 - combustão completa);
ω (η) é a função de liberação de calor;
q 0 - constante de liberação de calor e proporcionalidade;
ϵξ (η) é a função de perda de energia;
ϵ é a perda constante;
β (η, η p , s) - modelo de injeção;
η p e s são parâmetros de injeção.

Resultados da Experiência


Tendo preparado o modelo matemático, os cientistas realizaram uma série de simulações numéricas (ou seja, simulações) com os seguintes parâmetros:



Na primeira etapa da modelagem, decidiu-se considerar a existência de soluções planares para o sistema do modelo, incluindo o comportamento do ciclo limite * .
O ciclo limite * é uma das variantes possíveis do estado estacionário do sistema. O ciclo limite de um campo vetorial é uma trajetória fechada (periódica) de um campo vetorial nas proximidades da qual não existem outras trajetórias periódicas.
O problema de Cauchy * foi resolvido usando as condições iniciais η (x, 0) = 1 e λ (x, 0) = 0,75.
O problema de Cauchy * é a busca de uma solução para uma equação diferencial que satisfaça as condições iniciais (dados iniciais).
Uma onda plana oscila perto de um ponto no espaço de fase, onde a exaustão do ganho de queima e a recuperação do ganho de injeção coincidem [βλ = (1 - λ) ω (η)], desde que a energia de entrada seja equilibrada, a energia se desvie e a energia se dissipe [ξ = (1 - λ )) ω (η) q 0 ].

As vibrações de baixa energia são úmidas para uma frente plana de deflagração sem oscilações.

As frentes pulsantes, semelhantes às observadas em experimentos anteriores, são caracterizadas por “ativação” e “desativação” periódicas dos injetores, que primeiro ressoam com a liberação de calor e depois são saturadas com mecanismos de perda. Um exemplo de uma frente de onda plana pulsante é apresentado em 6d .

As soluções de ondas planas pulsantes do modelo completo são estáveis ​​para condições iniciais planares, mas instáveis ​​para perturbações, pois se desenvolvem em ondas de detonação em movimento.As

condições iniciais do problema de Cauchy para uma onda em movimento foram: η (x, 0) = (3/2) sech 2 (x - x 0 ) e λ (x, 0) = 0 e λ (x, 0) = 0.

A velocidade de Chapman - Jouguet (CJ) foi determinada para este sistema (uma onda estável invíscida na qual toda a energia foi transferida para a onda em uma reação infinitamente fina zona). Essa velocidade de onda constante é definida como a velocidade mínima que satisfaz as condições de Rankin-Hugoniot * para uma determinada liberação de calor. Na ausência de perdas, essa velocidade mínima é igual a DCJ = (η 1 + q 0) + √ q 0 (q 0 + 2η 1 ). No caso η 1 = 0, a velocidade da onda se torna igual a 2q 0 .
O Rankin-Hugoniot adiabat * é uma relação matemática que relaciona quantidades termodinâmicas antes e depois de uma onda de choque.
Essa velocidade é a métrica pela qual as ondas viajantes são medidas no modelo em consideração.


Imagem nº 8

A imagem acima mostra a evolução da modelagem experimental padrão. Como o pulso sech inicial é muito maior que ηc, o meio emite calor local e rapidamente. A onda se torna "mais nítida" e forma uma detonação. Esse impulso inicial se propaga a uma velocidade CJ até atingir sua cauda e, neste momento, a onda começa a se dissipar e a desacelerar rapidamente: uma quantidade limitada de combustão não pode continuar a suportar a onda em DCJ = 2q 0 . Além disso, a rápida liberação de calor (em comparação com a escala de tempo de dispersão de energia) da onda inicial CJ ​​leva a um aumento no valor médio de η na região que excede significativamente o valor de η 0valor ambiental e η c de ignição.

Assim, a energia de ativação efetiva do meio ativo diminui e a deflagração parasitária ou a lenta geração de calor não relacionada às ondas viajantes aumenta em toda a região. Como o tempo de propagação da onda inicial de deslocamento foi aumentado devido à dispersão, a deflagração parasitária tem tempo suficiente para concluir o processo de deflagração-detonação (DDT, isto é, deflagração-detonação ) e a formação de muitas ondas de detonação com uma amplitude menor.

Para induzir um processo de transição de modo quando existe um estado estável, foi utilizada uma mudança de etapa em s , que causou bifurcação. Um exemplo dessa transição é mostrado em 4b., onde as duas ondas de detonação em rotação inicial com bloqueio de modo se tornam instáveis ​​e se dividem destrutivamente.

As diferenças de fase de baixa amplitude aumentam exponencialmente, o que também foi observado durante os experimentos ( 4a ). Durante o período de oscilação, duas ondas trocam força (amplitude) e velocidade. Para uma dada função β e perdas de injecção, a taxa de crescimento instabilidade e o período de oscilação são parametrizado pelo grau do passo aplicada em mudar os parâmetros s e η p .

Quando uma nova onda é gerada ou a existente é destruída, o conjunto de ondas na câmara de teste atua dispersivamente, formando eventualmente um estado com sincronização de modo.


Imagem Nº 9

Acima de bifurcação são diagramas que mostram a dependência do número de ondas, ondas e velocidade de onda de amplitude em s e a perda de valor. Com o aumento de s a partir de zero, formam-se frentes de deflagração planas estáveis ​​para valores pequenos. Assim que o valor de s pode contribuir para a formação de uma onda viajante, as ondas começam a mostrar escadas, onde sua velocidade aumenta gradualmente até que ocorra outra bifurcação. Essas ondas resultam da deflagração parasitária durante o processo de DDT. A cada bifurcação, com o aumento do número de ondas, a velocidade da onda diminui. Quando o valor de s se torna suficientemente grande, o número de ondas aumenta até que as frentes das ondas se tornem pequenas em amplitude e se fundam em uma frente de deflagração plana.

Para um conhecimento mais detalhado das nuances do estudo, recomendo que você analise o relatório dos cientistas .

Epílogo


As naves espaciais são mecanismos incrivelmente complexos que combinam o conhecimento de muitos campos científicos, física, química, matemática, mecânica, etc. No momento, os motores de foguete usados ​​usam toda uma série de mecanismos de controle e controle da reação de combustão, para que ele possa fornecer com sucesso o movimento de um colosso de várias toneladas tentando decolar. No caso de um motor rotativo, a maioria das responsabilidades sobre esse assunto é assumida pela onda de choque. Isso reduz bastante a quantidade de combustível consumido (considerando que uma estimativa aproximada da eficiência da detonação é ~ 25% maior que a da deflagração clássica); no entanto, existem vários problemas. A principal é a instabilidade de tais ondas. Como dizem os próprios cientistas, qualquer detonação é um processo descontrolado que ocorre como ele deseja.

Para entender esse processo caótico, à primeira vista, os cientistas criaram um modelo matemático. O modelo foi baseado em experimentos práticos com o mecanismo, cuja duração foi de apenas meio segundo, mas isso foi suficiente para obter os dados necessários para a formação do modelo.

Os pesquisadores dizem que seu modelo é o primeiro de seu tipo. Permite entender se esse tipo de mecanismo funcionará de maneira estável ou não, além de avaliar a operação de um mecanismo específico usado durante a parte prática dos experimentos.

Em outras palavras, o modelo revela mapas de quais processos físicos ocorrem durante a operação do sistema. No futuro, os cientistas pretendem melhorar sua criação para que ela possa ser usada já para determinar certos aspectos que requerem atenção especial para implementar um motor rotativo estável e em funcionamento.

Obrigado pela atenção, continuem curiosos e tenham uma boa semana de trabalho, pessoal. :)

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