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Os matemáticos provaram a lei universal da turbulência

Usando processos aleatórios, três matemáticos provaram a lei elegante subjacente ao movimento caótico de sistemas turbulentos




Imagine um rio calmo. Agora imagine um fluxo rápido de água espumante. Qual a diferença entre eles? Para matemáticos e físicos, consiste no fato de que um rio calmo flui em uma direção e um córrego tempestuoso flui em várias direções ao mesmo tempo.

Os sistemas físicos com esse movimento não sistemático são chamados de turbulentos . Devido ao fato de o movimento deles ter tantas características ao mesmo tempo, é muito difícil estudá-las matematicamente. Mais de uma geração de matemáticos mudará até que os pesquisadores aprendam a descrever um rio turbulento com expressões matemáticas exatas.

No entanto, novas evidênciasdiz que, embora alguns sistemas turbulentos pareçam rebeldes, na verdade eles obedecem a uma lei universal. Este artigo fornece uma das descrições mais rigorosas de turbulência já dadas pela matemática. E parece graças a um novo conjunto de métodos que, por si só, alteram o processo de pesquisadores que estudam esse fenômeno até então desobediente.

"Talvez essa seja a abordagem mais promissora para a turbulência", disse Vladimir Sverak , matemático da Universidade de Minnesota, especialista em turbulência.

O novo trabalho fornece uma maneira de descrever os padrões que surgem na movimentação de fluidos. Eles podem ser vistos claramente no exemplo de flutuações acentuadas de temperatura em pontos vizinhos dos oceanos ou em imagens hipnotizantes obtidas pela mistura de cores preto e branco. Em 1959, o matemático australiano George Batchelor previu que esses padrões têm um comportamento preciso e regulado. Novas evidências confirmam a verdade da "Lei de Batchelor", como essa previsão foi chamada.

"A lei de Batchelor pode ser vista em todos os lugares", disse Jacob Bedrossian, matemático da Universidade de Maryland em College Park, co-autor da prova com Alex Blumenthal e Samuel Panshon Smith . "Ao provar essa lei, fomos capazes de perceber melhor sua universalidade".

Turbulência de cima para baixo


E embora a nova evidência não descreva exatamente os mesmos processos que ocorrem no curso turbulento do rio, eles estão intimamente relacionados a eles e são bastante familiares para nós. Portanto, vamos imaginá-los antes de passar para o tipo especial de turbulência que os matemáticos analisaram.

Imagine uma pia da cozinha cheia de água. A água começa a girar na pia quase como uma única massa. Se aumentarmos o líquido e medirmos sua velocidade em uma escala menor, veremos a mesma coisa - cada parte microscópica do líquido se move de acordo com as outras.

"O movimento está principalmente ligado à escala de toda a concha", disse Blumenthal, um pós-doutorado da Universidade de Maryland em College Park.


Alex Blumenthal, pós-doutorado do Maryland University College Park

Agora imagine que, em vez de deixar a água escorrer puxando a cortiça, você adicionou jatos de água à pia, girando-a como em um jacuzzi. A olho nu, você pode pegar muitas banheiras de hidromassagem que aparecem na água. Escolha um deles e aumente sua escala. Se você fosse um matemático tentando analisar fluxos turbulentos de conchas, poderia esperar que cada partícula de água no redemoinho selecionado se movesse na mesma direção. Isso facilitaria muito o trabalho de modelagem de fluidos.

Mas, infelizmente, você descobrirá que o próprio redemoinho consiste em muitos pequenos redemoinhos, cada um dos quais se move de maneira especial. Amplie sua imagem e você verá novamente que, por sua vez, consiste em várias banheiras de hidromassagem, e assim por diante, na menor escala, até que os efeitos do atrito interno (ou viscosidade) do líquido absorvam e suavizem os fluxos.

Esse é um sinal claro de sistemas turbulentos - comportamento diferente de subsistemas incorporados um ao outro em diferentes escalas. Para descrever completamente o movimento de um sistema turbulento, é necessário descrever o que está acontecendo em todas essas escalas a qualquer momento. Nenhum deles pode ser ignorado.

Esse é um requisito sério - é semelhante a modelar as trajetórias de movimento das bolas de bilhar, levando em conta absolutamente tudo, desde o movimento da Terra através da Galáxia, até a interação das moléculas de gás com as bolas.

"Eu tive que levar em conta tudo de uma vez, o que torna essa tarefa incrivelmente difícil de modelar", disse Jean-Luc Tiffo, da Universidade de Wisconsin, que estuda turbulência.

Como resultado, os matemáticos tentam há décadas criar uma descrição da turbulência que descreva com precisão o que está acontecendo em todos os pontos do sistema turbulento a qualquer momento. E não teve sucesso.

"A turbulência é complexa demais para atacá-la na testa", disse Tiffo. Isso é verdade para rios turbulentos e sumidouros com vazamento de fluido. Isso também se aplica à versão especial de turbulência usada na nova prova.

Agitação


Concha e rio são exemplos de turbulência hidrodinâmica. Eles são turbulentos no sentido de que os vetores da velocidade do fluido - as direções e velocidades das partículas - variam muito de ponto a ponto. O novo trabalho descreve outras propriedades do líquido, exceto os vetores de velocidade que podem ser medidos em cada um de seus pontos. Para entender o que isso significa, imagine uma mistura de cores.

Vamos começar com uma lata de tinta branca. Vamos adicionar uma gota preta por segundo, mexendo a tinta. A primeira gota cai em tinta branca e se destaca como uma ilha. Mas logo começará a se dissolver em tinta branca, estendendo-se em linhas cada vez mais finas. Gotas subseqüentes de tinta preta estarão em diferentes estágios da mesma transformação: esticar, alongar, despeje na tinta, que gradualmente se transforma em cinza.

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À medida que os vetores de velocidade mudam de ponto a ponto na pia onde a água é misturada, a concentração de tinta preta em branco muda de ponto a ponto com a mistura: em alguns em alguns lugares sua concentração será maior (linhas mais espessas), em alguns menos.

Esta opção é um exemplo de "turbulência escalar passiva". Ocorre quando um fluido, um “escalar passivo” é injetado e o leite é adicionado ao outro no café, tinta preta em branco.

A turbulência escalar passiva também descreve muitos fenômenos naturais - mudanças repentinas de temperatura entre pontos próximos do oceano. Nesse ambiente, as correntes oceânicas “misturam” as temperaturas da mesma maneira que as cores preto e branco.

A lei de Batchelor prevê a proporção do número de fenômenos em grande escala (redemoinhos grossos de tinta ou correntes de água do oceano da mesma temperatura) para o número de fenômenos em escalas menores (linhas finas de tinta) ao misturar líquidos. É chamado de lei porque os físicos vêm observando esse fenômeno em experimentos há muitos anos.

"Do ponto de vista da física, basta chamá-la de lei", disse Panshon Smith, matemático da Brown University. No entanto, antes deste trabalho, não havia provas matemáticas de seu desempenho indispensável.


A lei de Batchelor prevê a proporção do número de fenômenos em grande escala (redemoinhos grossos de tinta ou correntes de água do oceano da mesma temperatura) para o número de fenômenos em escalas menores (linhas finas de tinta) ao misturar líquidos. Essa proporção permanece inalterada quando o zoom é reduzido, pois bonecas pequenas mantêm as proporções grandes.

Para realizar a idéia de Batchelor, volte para a pintura. Imagine que você continue esse experimento por um tempo, adicionando gotas de tinta preta e mexendo. Agora pare o tempo. Você verá tiras grossas de tinta preta (menos amassadas), tiras mais finas (mais amassadas) e ainda mais finas (mais amassadas).

A lei de Batchelor prevê que o número de tiras grossas, tiras mais finas e muito finas obedece à proporção exata - algo como bonecas obedece às mesmas proporções.

"Tiras de diferentes escalas são visíveis em um dado fragmento de líquido, porque parte das gotículas apenas começou a se misturar e algumas já foram misturadas há algum tempo", disse Blumenthal. "A lei de Batchelor descreve a distribuição de tamanho de tiras de tinta preta". É difícil descrever a proporção exata em poucas palavras, mas são obtidas tiras mais finas que as grossas, e um certo número de vezes.

A lei prevê que a proporção seja mantida, mesmo se você observar o fragmento de fluido aumentando. Tiras de várias espessuras, tanto em uma pequena área de líquido quanto em todo o banco, terão exatamente a mesma proporção em quantidade; e diminuindo o zoom, veremos a mesma proporção. O padrão é o mesmo em todas as escalas, como na turbulência hidrodinâmica, onde em cada redemoinho existem pequenas redemoinhos.

Uma previsão bastante ousada, que, além disso, é difícil de modelar matematicamente. O complexo agrupamento de fenômenos em diferentes escalas torna impossível descrever com precisão a aparência da lei de Batchelor em um único fluxo de fluido.

Mas os autores do trabalho descobriram como contornar essa complexidade e prová-la.

Abordagem aleatória


Bedrossian, Blumenthal e Punchon Smith adotaram uma abordagem que considera o comportamento médio dos fluidos em todos os sistemas turbulentos. Os matemáticos já tentaram essa estratégia antes, mas ninguém a implementou com sucesso.

Essa abordagem funciona porque a aleatoriedade às vezes permite previsões precisas do comportamento do sistema. Imagine um quadro vertical cravejado de pregos. Solte uma moeda por cima e ela ricocheteará nas unhas até atingir uma das fendas abaixo. É difícil prever onde uma moeda em particular cairá - muitos fatores afetam onde ela ricocheteia após cada colisão.


Samuel Punchon Smith

Em vez disso, você pode considerar o sistema aleatório - e que, para cada prego, há uma chance de que a moeda salte para a direita e para a esquerda. Se as probabilidades forem calculadas corretamente, será possível fazer previsões precisas sobre o comportamento do sistema como um todo. Por exemplo, você pode achar que as moedas têm maior probabilidade de cair em slots específicos.

"O que é bom com a aleatoriedade é a capacidade de calcular a média", disse Tiffo. "A média é uma ideia muito confiável, no sentido de que muitos pequenos detalhes não a tocam".

O que isso significa para turbulência e mistura de cores? Como as declarações exatas e determinísticas estão além do escopo da matemática, seria mais útil imaginar que certas forças aleatórias atuam na pintura - algumas vezes interferindo nela aqui, outras lá, sem qualquer regularidade. Essa abordagem é chamada aleatória ou estocástica. Permite que os matemáticos usem cálculos estatísticos de alto nível e estudem o que está acontecendo nos sistemas como um todo, sem se enterrar nas especificidades de cada detalhe.

"Um pouco de coincidência nos permite superar as dificuldades", disse Punchon Smith.

Isso finalmente permitiu que três matemáticos comprovassem a lei de Batchelor.

Entendendo o mix


Uma maneira de provar uma lei física é imaginar as condições que a invalidariam. Se for possível provar que tais condições não surgem, provará que a lei sempre funciona. A equipe percebeu que, para evitar as leis previstas pela lei de Batchelor, o amassamento deve ter características muito específicas.

A prova da lei é dividida em quatro trabalhos publicados on-line entre setembro de 2018 e novembro de 2019. Os três primeiros se concentraram em entender certos movimentos da tinta misturada que não permitiriam que a lei de Batchelor resolvesse e excluísse esses movimentos. Eles provaram que, mesmo que você tomasse um fluido especialmente formulado para derrotar a lei de Batchelor, um padrão ainda apareceria nele.

"O principal que você precisa entender é que o líquido não pode conceber nada contra você", disse Bedrossian.


Jacob Bedrossian

Por exemplo, a lei de Batchelor não funcionaria se o processo de mistura resultasse em redemoinhos ou funis persistentes na tinta. Esses funis retinham algumas gotas de tinta preta em um só lugar - como detritos na beira do riacho - e a tinta não se misturava.

“Nesse redemoinho, os caminhos das partículas não serão caóticos; eles não se separam rapidamente, mas giram todos juntos ”, disse Bedrossian. "Se o seu sistema não misturar tinta na velocidade certa, a lei da Batchelor não se manifestará."

No primeiro trabalho, os matemáticos se concentraram no que acontece durante o processo de mistura com dois pontos de tinta preta que estavam originalmente um ao lado do outro. Eles provaram que os pontos seguem caminhos aleatórios e divergem em direções diferentes. Em outras palavras, pontos espaçados não podem ficar presos em um redemoinho que os manteria juntos o tempo todo.

"Inicialmente, as partículas se movem juntas", disse Blumenthal, "mas no final elas se separam e divergem em direções completamente diferentes".

Nos segundo e terceiro trabalhos, eles pareciam mais amplos no processo de mistura. Eles provaram que em um líquido caótico, no caso geral, a tinta preta e branca se mistura o mais rápido possível. Eles então determinaram que imperfeições locais (banheiras de hidromassagem) não se formariam no fluido turbulento, o que poderia interferir na aparência de uma imagem global elegante descrita pela lei de Batchelor.

Nos três primeiros trabalhos, os autores realizaram os complexos cálculos matemáticos necessários para provar que a tinta se mistura completamente e aleatoriamente. Na quarta, eles mostraram que em um fluido com essas propriedades de mistura, a lei de Batchelor surge como uma consequência necessária.

Essa é uma das declarações matematicamente rigorosas mais fortes sobre sistemas turbulentos. Mais importante, ele nos oferece oportunidades para um novo fluxo de idéias matemáticas. A turbulência é um fenômeno caótico, quase aleatório em seu movimento. Três matemáticos descobriram como lidar com a aleatoriedade usando a aleatoriedade. Outros especialistas neste campo quase certamente os seguirão.

"A maior contribuição deles é nos fornecer uma plataforma para construir evidências", disse Tiffo. "Acho que o acaso é uma das poucas maneiras de construir um modelo de turbulência que possamos entender matematicamente".

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