🐎 🎾 👷🏼 Matemática confusa. Noções básicas de conjuntos difusos 🥂 ⛹🏽 👨🏾‍⚖️

Um desejo excessivo de precisão começou a ter um efeito que nega a teoria do controle e a teoria dos sistemas, uma vez que leva ao fato de que a pesquisa nessa área se concentra naqueles e apenas nos problemas que podem ser resolvidos com precisão. Muitas classes de problemas importantes nos quais dados, objetivos e restrições são muito complexos ou mal definidos para permitir uma análise matemática precisa permaneceram e permanecem à margem apenas porque não podem ser interpretados matematicamente. L. Zade

Definição e características

No mundo, muito não se divide apenas em branco e preto, em verdade e verdade ... Uma pessoa usa muitos conceitos difusos para avaliar e comparar quantidades físicas, estados de objetos e sistemas em um nível aproximado e qualitativo. Portanto, qualquer um de nós é capaz de estimar a temperatura do lado de fora da janela, sem recorrer a um termômetro, e guiado apenas por nossos próprios sentimentos e uma escala de estimativas aproximadas ("nublado o suficiente para levar um guarda-chuva").

Mas uma avaliação qualitativa não possui a propriedade de aditividade inerente aos nossos números usuais; isto é, não podemos determinar o resultado das operações para estimativas aproximadas (“pequena quantidade de dinheiro” + “pequena quantidade de dinheiro”), em contraste com, por exemplo, números naturais (2 + 2). Não podemos determinar porque uma avaliação qualitativa depende fortemente do tomador de decisão, contexto e significado investido em um caso específico.

No entanto, no mundo existem quantidades suficientes que não somos capazes de avaliar com precisão por uma razão ou outra: o grau de ordem na sala, o "prestígio" do carro, a beleza de uma pessoa, a "semelhança" das coisas ... Mas eu quero trabalhar com elas como nos números usuais seria para tarefas de automação.

. 1964 .

( ) $\ tilde {A}$ () U $(u, \ mu_A (u))$ , $u \ subseteq U$ ,
$\ mu_A (u)$ — $\ tilde {A}$ , $\ mu_A (u): U → [0; 1]$ . $\ tilde {A} = \ bigcup _ {(u \ subseteq U)} (\ mu_A (u) / u) = \ esquerda \ {(\ mu_A (u) / u) \ right \}$ .

U $\ mu_A (u)$ ( ) u (-) $\ tilde {A}$ . , . - .

$\ mu_A (u)$ ( . ), – . – U $\ tilde {A}$ . , , .

, $\ mu_A (u) = \ begin {cases} 1 & amp; u \ subseteq A \\ 0 & amp; u \ nsubseteq A \ end {cases}$ , .

, $\ mu_A (u)$ :

( );
;
;
;
...

-a≤x≤a.

“ ”.

$\ mu_A (x) = \ frac {(a- | x |)} {a}, -a \ leq x \ leq a$
$\ tilde {A} = \ left \ {0 / -a; ...; 1/0; ...; 0,5 / \ frac {a} {2}; ...; 0 / a \ right \}$ .

– , 1. 0.

, $\ mu_A (u)$ 0.5, . -a/2 a/2.

$sup⁡ (\ mu_A (u)), u \ subseteq U$ .

, 1, . – .

, , 0, .

, 1 .

2 $(-a, a)$ $\omega = \left\{x | \mu_A(x)>0, x \subseteq X \right\}$ – $\tilde{A}$ . $S_A$ $Supp A$ .

, x, $\mu_A(x)=0$ ; – $lim_{|x| \to \infty ⁡}{\mu_A (x)}=0$ .

, , . :

, ;
, ;
, , .

: $\tilde{A}, \tilde{B} ,\tilde{C}$ — U, $x \subseteq U$ . , .

$\tilde{A} = \tilde{B}$ , $\mu_A(x)= \mu_B(x)$ .

$A \subseteq B$ , $\mu_A(x) \leq \mu_B (x)$ x.

$\tilde{C} = \tilde{A} \cup \tilde{B}$ , $\mu_C (x) = max⁡ (\mu_A (x); \mu_B (x))$ . , $\mu_C(x) = \mu_A(x) \vee \mu_B (x)$ . (t– s–)

$\tilde{C} = \tilde{A} \cap \tilde{B}$ , $\mu_C (x) = min⁡ (\mu_A (x); \mu_B (x))$ . , $\mu_C(x) = \mu_A(x) \wedge \mu_B (x)$ . (t-)

. , , . , min max .

$\tilde{C} = \tilde{A} \backslash \tilde{B}$ , $\mu_C (x) = \mu_A(x) - \mu_{A \cap B}(x) = \mu_A(x) - min⁡ (\mu_A (x); \mu_B (x)) = max(0; \mu_A(x) - \mu_B(x))$ .

$U \backslash \tilde{A}$ $\overline{\tilde{A}}$ . , $\mu_{A}(x) = 1- \mu_{\overline{A}}(x)$ .

. , , , (, $A \cap \overline{A}= ∅$ ). :

α- . α- $A_{\alpha}$ , $\mu_A(x) \geq \alpha$ .

. $\tilde{A} = \bigcup_{a \subseteq M}{\alpha * A_{\alpha}}$ , M — .

$A^{\beta}$ , $\mu_{A^{\beta}} (x)= \mu_A^{\beta}(x)$ . :

β = 2 ( CON(A) ). , . , “ ” ;
β = 0.5 ( DIL(A) ). , . “ ”.

$\ mu_ {A * B} (x) = \ mu_A (x) * \ mu_B (x)$ .

$\ mu_ {A \ circledcirc B} (x) = (\ mu_A (x) + \ mu_B (x) - 1) \ v 0$ .

$\ mu_ {A \ triângulo B} (x) = \ begin {cases} \ mu_B (x) & amp; \ mu_A (x) = 1 \\ mu_A (x) & amp; \ mu_B (x) = 1 \\ 0 & amp; \ end {cases}$ .

$\ mu_ {A + B} (x) = \ mu_A (x) + \ mu_B (x) - \ mu_A (x) * \ mu_B (x)$ .

$\ mu_ {A \ circledcirc B} (x) = (\ mu_A (x) + \ mu_B (x) - 1) \ cunha 1$ .

$\ mu_ {A \ triangledown B} (x) = \ begin {cases} \ mu_B (x) & amp; \ mu_A (x) = 0 \\ mu_A (x) & amp; \ mu_B (x) = 0 \\ 1 & amp; \ end {cases}$ .

- – A B λ (1 — λ) ( A B). $\ mu_ {A _ + ^ {\ lambda} B} (x) = \ lambda * \ mu_A (x) + (1 - \ lambda) * \ mu_B (x)$ .

, λ- :

?

, , . . , ( , ). 2 – .

, . , , , . : , .

, , . , .

, , , , , :

0 <= μ(x) <= 1;
( );
A função e o conjunto de funções definidas devem ter uma diferenciação natural de conceitos representados por conjuntos vizinhos;
Não deve haver lacunas no conjunto universal (ou limitado para consideração) ao qual nenhum conjunto está associado;
Para conjuntos vizinhos, o máximo de um deve coincidir com o mínimo do outro, e o ponto de interseção de seus gráficos deve corresponder aos pontos de transição;
e alguns outros específicos de tarefas.

embora existam situações excepcionais em que uma função deve ser determinada com base no contexto. A construção de tais funções é um tópico separado e bastante complicado.

E isso é tudo por hoje.

Matemática confusa. Noções básicas de conjuntos difusos

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