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Leis naturais e matemática elegante: problemas e soluções

Se a matemática pode nos dar uma explicação elegante de muitos fenômenos físicos, às vezes em situações reais, é necessário percorrer um bosque de dados numéricos




Desde a época de Pitágoras, as pessoas acreditam na capacidade especial da matemática bonita de nos revelar todos os segredos do mundo. Utilizamos o famoso artigo de Eugene Wigner " Eficácia irracional da matemática nas ciências naturais " para discutir esse tópico com os leitores e resolver vários problemas associados a ele. As tarefas foram demonstrar que, embora a matemática seja realmente muito útil para criar modelos idealizados e explicações elegantes de muitos fenômenos físicos, em situações reais, às vezes é necessário percorrer um bosque de dados numéricos.

Cenário 1: Simplicidade e uniformidade


A) O objeto desliza sobre uma superfície homogênea, tendo uma velocidade inicial de 1. Para cada unidade de distância, sua velocidade diminui em 1/10 do valor que tinha antes de começar a passar por esse segmento específico. Quão longe um objeto pode viajar antes de parar completamente? Qual é a fórmula geral para o cálculo?

Esta tarefa tem um problema. À primeira vista, lembra o paradoxo Zenão de Aquiles e a tartaruga, que produz uma progressão geométrica infinita 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... para tempo e distância. Embora essa sequência seja infinita, ela converge e, portanto, é possível calcular sua quantidade total (neste caso, 2). Portanto, neste caso, a distância finita é coberta em um tempo finito [isso pode ser discutido: aqui não estamos falando de um modelo matemático, mas de movimento real, e, portanto, não faz sentido limitar a análise do paradoxo à matemática - porque Zenon apenas põe em dúvida a aplicabilidade do idealizado ao movimento real. conceitos matemáticos / aprox. transl.].

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B) A máquina pode se mover para frente e para os lados, com a mesma facilidade. Sua velocidade normal de cruzeiro em qualquer direção é de 1 unidade em uma superfície lisa. A figura mostra que ela precisa superar 10 faixas de terreno, cada uma com um comprimento de 10 unidades e uma largura de 1 unidade. O comprimento das tiras é perpendicular à direção em que a máquina precisa se mover. A máquina está localizada no meio da primeira faixa, que é lisa (as listras suaves são indicadas em cinza). Depois disso, faixas irregulares (roxas) e suaves se alternam.



No entanto, irregularidades em faixas irregulares não são as mesmas. Cada faixa consiste em 10 seções quadradas, que podemos imaginar na forma de irregularidades artificiais nas estradas. Asperezas ficam próximas uma da outra, o tamanho de cada uma delas é 1x1. Suas propriedades variam. Irregularidades podem diminuir a velocidade de cruzeiro da máquina em um valor de 50% a 95%, e esse valor muda em etapas de 5%. Cada uma das faixas irregulares é composta por irregularidades de todos os 10 tipos, indo em ordem aleatória (a primeira faixa roxa mostra uma das opções possíveis para a distribuição de irregularidades). A máquina pode ler a rugosidade da área localizada diretamente à sua frente (mas apenas uma) e pode se mover para o lado com sua velocidade de cruzeiro igual a 1, para que, se desejado, mova outra rugosidade que a desacelere pouco. Para isso, é claro,o tempo passará e, se ela se mover lateralmente por alguns quadrados, mais tempo será gasto. Após superar cada faixa magenta, a velocidade de cruzeiro aumenta para 1. Que estratégia o carro deve adotar para o caminho mais rápido em todo o território? Quanto tempo vai demorar?

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2:


Considere um objeto sólido hipotético na forma de um triângulo retangular, com toda a sua massa concentrada nos vértices. Por uma questão de simplicidade, imagine que esse objeto seja bidimensional - não possui espessura. Cada vértice é um ponto com uma massa de 1 unidade e a massa total do objeto é de 3 unidades. A base do triângulo tem 4 unidades de comprimento, a perna vertical é de 3 unidades e a hipotenusa é de 5 unidades. Imagine que o mesmo triângulo esteja localizado próximo, orientado exatamente da mesma maneira, e as medianas de ambos os triângulos (o segmento que liga o meio da hipotenusa com o vértice oposto) estão em uma linha reta, e os vértices dos ângulos retos estão separados por 4 unidades. Qual será a atração agindo sobre eles? A lei da atração gravitacional funciona se aplicada a dois triângulos como objetos separados? O que,se os triângulos estavam localizados a uma distância de 8 unidades de comprimento um do outro e orientados da mesma maneira? Em tal situação, a fórmula para a atração gravitacional se sai melhor?

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Então, a lei da natureza exige matemática elegante? E o que torna a matemática elegante tão capaz e aplicável em uma ampla gama de problemas? Entre as vantagens da matemática,

um leitor listou abstração, verificações internas de consistência, continuidade, trabalho com infinitos, feedback da física e simetria. Outro citou a seguinte história da vida:

Algumas semanas atrás, conversei com Don Lincoln, físico do Fermilab. Perguntei-lhe: "Por que a matemática é tão boa em descrever o universo?" Ele respondeu que os sistemas matemáticos podem ser formulados de inúmeras formas; portanto, para qualquer universo que tenha relações causais, sempre é possível encontrar uma plataforma matemática que descreva sua física.

Outros leitores descreveram observações semelhantes. Parece-me que a matemática em si é um enorme conjunto de leis e técnicas que, devido à sua abstração, podem ser aplicadas em muitas áreas não interconectadas, com estrutura e dinâmica semelhantes, ou interação mútua de um tipo diferente. Também temos a sorte de viver em um universo em que a matemática elegante é útil. Como um leitor observou : "A matemática e as leis de Newton seriam pouco práticas se vivêssemos em um universo com entropia próxima ao máximo".

Mas até que ponto a matemática elegante pode descrever a natureza? Vou citar um comentário completo de um dos leitores:

Não é necessário aprofundar a biologia para descobrir que muitas representações matemáticas se tornam insuficientemente completas: química, ciência dos materiais, física da matéria condensada. Por exemplo, uma molécula de água não pode ser descrita analiticamente usando as ferramentas da mecânica quântica pela mesma razão que o problema dos três corpos não está disponível para nós na mecânica celeste. Áreas científicas inteiras, como termodinâmica e mecânica estatística, existem porque alguns sistemas físicos, como um cubo de gelo na água, são complexos demais para descrever matematicamente toda molécula de água no gelo e em capacidade, sem mencionar os condensados ​​de Bose -Einstein ou superfluidez. A lei de Ohm é a versão eletromagnética da soma estatística bruta, e a lei de Hooke e os tensores de tensão são a versão elástica da soma estatística bruta,e ambos se recusam a trabalhar em um determinado momento ou após um certo limite devido à dependência da corrente elétrica em temperatura e material e aos efeitos de deformação irreversível em corpos físicos sob carga pesada.

A razão para a simplicidade da maior parte da matemática usada na física é que é uma soma estatística grosseira ou uma séria simplificação dos fenômenos físicos.

Por que gostamos tanto de matemática elegante?


Um dos leitores intitulou seu comentário "elegância é o menor gasto energético do cérebro" e escreveu:

O sentimento de "eureka!", Redução de alta complexidade ao simples princípio de organização de neurônios ou à "lei matemática" em muitos problemas é um exemplo de simplificação que dá um sentimento eufórico economia de energia. Esse princípio pode estar relacionado ao princípio KISS (Keep It Simple, Stupid), bem como à afirmação de Einstein: "Tudo precisa ser reduzido da forma mais simples possível, mas não vale a pena simplificá-lo mais".

A percepção do cérebro de que existem muitos fenômenos conectados entre si na natureza gera uma simetria que a auto-organização de nossos neurônios percebe como uma maneira de armazenar informações com o mínimo consumo de energia.

Como escrevi no meu artigo sobre esse assunto, a navalha de Occam e a sensação agradável na época de "Eureka!" estão firmemente registrados em nosso cérebro e são manifestações de uma conexão cognitivo-emocional única que nos torna racionais. Suponho que toda vez em nossa cabeça a quantidade que chamo de "entropia psíquica" diminui, recebemos uma recompensa. Essa entropia psíquica não é apenas compacta, mas também a organização de conexões invisíveis até esse ponto e a sensação de que tudo é combinado em um único todo. A evolução nos tornou inteligentes, fornecendo pequenas recompensas internas depois de resolver cada enigma - uma estratégia muito eficaz.

Então Wigner está certo?


Sim e não. Ele estava certo que nas descrições matemáticas de alguns problemas físicos existem padrões e simetrias abstratas, e então a matemática mostra todo o seu poder. No entanto, existem essas áreas, tanto na física quanto em outras ciências complexas, quando isso não funciona. Talvez Wigner fosse um pouco místico, ou um "patriota da matemática", e exagerou um pouco o problema em seu ensaio.

Source: https://habr.com/ru/post/undefined/

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