Get best of the week

Mahasiswa pascasarjana menyelesaikan masalah topologi setengah abad yang lalu

Lisa Picchirillo membutuhkan waktu kurang dari seminggu untuk menemukan jawaban atas pertanyaan lama tentang simpul aneh yang ditemukan lebih dari lima puluh tahun yang lalu oleh ahli matematika legendaris John Conway.




Pada musim panas 2018, pada sebuah konferensi tentang topologi dan geometri dimensi rendah, Lisa Picchirillo mendengar tentang masalah matematika kecil. Dia tampak seperti tempat pengujian yang bagus untuk beberapa teknik yang dikembangkan Lisa sebagai mahasiswa pascasarjana di University of Texas di Austin.

“Saya tidak mengizinkan diri saya mengerjakannya di siang hari,” katanya, “karena saya tidak menganggap tugas ini sebagai matematika sungguhan. Saya menganggapnya lebih sebagai pekerjaan rumah. "

Pertanyaannya adalah: apakah simpul Conway - sebuah anyaman tali yang rumit, ditemukan lebih dari lima puluh tahun yang lalu oleh ahli matematika legendaris John Horton Conway - sepotong simpul dimensi yang lebih tinggi. "Sliceness" adalah salah satu pertanyaan alami pertama yang menjadi spesialisteori knot bertanya tentang simpul dari ruang resolusi tinggi, dan matematikawan mampu menjawabnya selama ribuan simpul dengan tidak lebih dari 12 persimpangan - semua kecuali satu. Conway node, yang memiliki 11 persimpangan, telah menggoda matematikawan selama beberapa dekade.

Sebelum akhir minggu, Picchirillo siap menjawab: simpul Conway bukan bagian yang disebutkan. Beberapa hari kemudian, ketika bertemu dengan Cameron Gordon, seorang profesor di Universitas Texas, dia dengan santai menyebutkan keputusannya.

"Aku mengatakan itu ?? Ya, itu harus segera pergi ke Annals! " - kata Gordon, merujuk pada salah satu jurnal matematika terbesar, Annals of Mathematics.

"Dia mulai berteriak: Kenapa kamu tidak senang dengan ini?" Kata Pichchirillo, sekarang menjadi postdoc di Universitas Brandeis. "Dia seperti orang gila."

"Saya tidak berpikir dia menyadari betapa tua dan terkenalnya tugas ini," kata Gordon.

BuktiPiccirillo muncul di jurnal Annals of Mathematics pada bulan Februari. Pekerjaan ini dan pencapaiannya yang lain memberinya tempat di Massachusetts Institute of Technology, di mana dia akan mulai bekerja pada 1 Juli, hanya 14 bulan setelah dia mempertahankan gelar doktornya.

Pertanyaan apakah simpul Conway milik cut-off terkenal bukan hanya karena tetap tidak terjawab begitu lama. Cut off knot memberi matematikawan kesempatan untuk menyelidiki sifat aneh ruang empat dimensi, di mana kadang-kadang mungkin untuk merajut bola dua dimensi menjadi simpul sedemikian rupa kusut sehingga mereka tidak bisa dihaluskan. Ketenangan adalah "terkait dengan beberapa masalah terdalam topologi empat dimensi," kata Charles Livingston , profesor emeritus di Universitas Indiana.

"Masalah shearness simpul conway telah menjadi kriteria bagi banyak perkembangan modern terkait dengan aspek umum dari teori simpul," kata Joshua Green dari Boston College, supervisor lulusan Piccirillo. "Sangat menyenangkan melihat bagaimana seorang pria yang aku kenal beberapa waktu tiba-tiba menarik pedang ini dari batu."

Bola ajaib


Sebagian besar dari kita membayangkan simpul itu sebagai seutas tali yang terjalin dengan dua ujung. Namun, ahli matematika bekerja dengan tali yang ujungnya saling berhubungan, sehingga simpul tidak dapat diuraikan. Selama abad yang lalu, loop tersimpul ini telah membantu untuk mempelajari pertanyaan dari berbagai bidang ilmu pengetahuan, dari fisika kuantum ke struktur DNA, serta dari topologi ruang tiga dimensi.


Dalam video tahun 1990 ini, John Conway menjelaskan bagaimana, di sekolah menengah, ia menunjukkan bahwa dua node tidak membatalkan satu sama lain.

Namun, jika kita memperhitungkan waktu sebagai ukuran, dunia kita akan empat dimensi, jadi wajar untuk bertanya tentang keberadaan teori node yang tepat di 4D. Dan ini tidak berarti bahwa kita dapat dengan mudah mengambil semua simpul tiga dimensi dan mendorongnya ke ruang empat dimensi: jika Anda memiliki empat dimensi, Anda dapat mengurai simpul apa pun jika Anda mulai mengangkat potongan-potongan tali di atas satu sama lain di dimensi keempat.

Untuk mengikat simpul dalam 4D, Anda membutuhkan bola dua dimensi, bukan lingkaran satu dimensi. Sama seperti tiga dimensi menyediakan ruang yang cukup untuk mengikat loop, tetapi tidak untuk melepaskannya, empat dimensi menyediakan tempat untuk mengikat bola, yang pertama kali dilakukan matematikawan pada 1920-an.

Sulit membayangkan bola yang terikat dalam ruang empat dimensi, tetapi untuk hal ini berguna untuk membayangkan bola biasa dalam 3D. Jika Anda memotongnya, Anda akan melihat loop tidak terikat. Tetapi jika Anda memotong bola yang terhubung dalam 4D, Anda akan melihat loop yang terhubung (atau, mungkin, loop yang tidak terhubung, atau beberapa loop yang terhubung satu sama lain - itu tergantung di mana harus memotong). Setiap simpul yang dapat diperoleh dengan memotong bola yang terhubung dianggap terputus. Beberapa node tidak terputus - misalnya, sebuah simpul dengan tiga persimpangan, trifolium.



Cut node "menjembatani cerita tiga dimensi dan empat dimensi teori simpul," kata Green.

Namun, ada satu masalah yang mengungkapkan kekayaan dan spesifisitas sejarah empat dimensi: dalam topologi empat dimensi, ada dua opsi berbeda untuk pencukuran. Beberapa karya revolusioner di awal 1980-an (dimana Michael Friedman dan Simon Donaldson menerima Hadiah Bidang) menunjukkan bahwa ruang empat dimensi tidak hanya berisi bidang halus yang secara intuitif kita bayangkan. Itu juga memiliki bola kusut yang tidak bisa dihaluskan. Dan pertanyaan tentang pemutusan simpul tergantung pada apakah mempertimbangkan bidang-bidang yang kusut ini.

"Ini adalah benda yang sangat, sangat aneh, hampir ajaib," kata Shelley Harveydari Rice University (dari laporan Harvey pada tahun 2018, Piccirillo pertama kali belajar tentang simpul Conway).

Bola-bola aneh ini bukan kesalahan topologi empat dimensi, tetapi keunikannya. Pemotongan topologi, tetapi bukan simpul yang "mulus dipotong" - yaitu, simpul yang merupakan irisan bola yang kusut - memungkinkan matematikawan untuk membuat apa yang disebut Varian "eksotis" dari ruang empat dimensi yang biasa. Dari sudut pandang topologi, salinan ruang empat dimensi ini terlihat sama seperti biasanya, tetapi pada saat yang sama mereka kusut tak dapat dibatalkan. Keberadaan ruang eksotis tersebut membedakan dimensi keempat dari yang lainnya.

Masalah cut-off adalah "penyelidikan terkecil" untuk ruang empat dimensi yang eksotis ini, kata Green.

Selama bertahun-tahun penelitian, matematikawan telah menemukan serangkaian node yang dipotong secara topologis, tetapi tidak lancar. Namun, di antara node dengan jumlah persimpangan hingga 12 seperti itu, tampaknya, tidak diamati - dengan kemungkinan pengecualian dari simpul Conway. Matematikawan bisa mengetahui cutoff semua node lain dengan jumlah persimpangan tidak lebih tinggi dari 12, namun, mereka tidak diberi simpul Conway dengan cara apa pun.

Conway, yang meninggal bulan lalu karena coronavirus, dikenal karena kontribusinya yang penting untuk berbagai bidang matematika. Dia menjadi tertarik pada node untuk pertama kalinya pada 1950-an dan datang dengan cara sederhana untuk mendaftar hampir semua node dengan jumlah persimpangan hingga 11 (daftar lengkap sebelumnya hanya menyertakan node dengan jumlah persimpangan hingga 10).

Tetapi satu simpul dalam daftar ini berdiri terpisah. "Saya pikir Conway menyadari bahwa simpul ini entah bagaimana istimewa," kata Green.

Node Conway, seperti yang kemudian disebut, adalah bagian topologi - matematikawan memahami ini kembali pada 1980-an sebagai bagian dari serangkaian penemuan revolusioner. Namun, mereka tidak dapat mengetahui apakah itu merupakan potongan yang halus. Mereka menduga ini tidak benar, karena dia tidak memiliki fitur seperti "pita" yang biasanya diamati pada simpul yang halus. Namun, fitur lain dari itu tidak memberikan kesempatan kepada semua upaya untuk menunjukkan bahwa pemotongan ini tidak lancar.

Yaitu, simpul Conway memiliki simpul persaudaraan, atau, seperti yang mereka katakan dalam teori node, mutasi. Jika Anda menggambar simpul Conway di atas kertas, memotong bagian tertentu darinya, membalik sebuah fragmen dan menyambungkan kembali simpul tersebut, Anda mendapatkan simpul lain, yang dikenal sebagai simpul Kinoshita - Terasaki .


Untuk membuktikan bahwa simpul Conway bukanlah jalan yang mulus, para ilmuwan dicegah dengan kemiripannya dengan simpul Kinoshita - Terasaki. Lisa Picchirillo menemukan cara mengikat teman baru yang lebih kompleks ke simpul Conway.

Masalahnya adalah bahwa simpul baru ini adalah potongan yang halus. Dan karena simpul Conway sangat mirip dengan irisan halus, ia menghindari efek dari semua alat (invarian) yang digunakan oleh ahli matematika untuk menentukan simpul yang bukan irisan.

"Ketika invarian baru muncul, kami mencoba mengujinya pada simpul Conway," kata Green. "Dan ini adalah contoh keras kepala yang unik, yang, terlepas dari invariannya, tidak memberi tahu kita apakah itu sepotong atau tidak."

Simpul Conway "jatuh ke persimpangan titik-titik buta" dari instrumen-instrumen ini, kata Picchirillo.

Seorang ahli matematika, Mark Hughes dari Universitas Brigham Young, menciptakan jaringan saraf menggunakan invarian simpul dan informasi lain untuk memprediksi properti seperti shearness. Untuk sebagian besar node, jaringan membuat prediksi yang jelas. Apakah Anda tahu apa yang dia katakan tentang simpul Conway yang mulus? 50 hingga 50.

"Seiring waktu, simpul ini mulai menonjol antara lain karena tidak tunduk pada kita," kata Livingston.

Ternyata rumit


Picchirillo menyukai intuisi visual yang terkait dengan teori simpul, tetapi dia tidak berpikir bahwa dia terutama adalah ahli teori di bidang ini. "Saya lebih tertarik pada angka tiga dimensi dan empat dimensi, tetapi studi mereka terkait erat dengan teori node, jadi saya melakukannya sedikit," tulisnya dalam email.

Ketika dia mulai belajar matematika di perguruan tinggi, dia tidak menonjol sebagai "keajaiban anak standar dalam matematika," kata Elisenda Grisby , salah satu guru Picchirillo di Boston College. Grisby pertama kali memperhatikan sifat kreatif Picchirillo. "Dia selalu percaya pada kebenaran sudut pandangnya."

Pertanyaan yang berkaitan dengan simpul Conway datang ke Pichchirillo ketika dia berpikir tentang apakah simpul-simpul itu dapat dihubungkan oleh sesuatu selain dari mutasi. Setiap node memiliki apa yang disebutnya. jejak empat dimensi yang dapat diperoleh jika Anda menempatkan simpul di perbatasan bola empat dimensi dan menjahit sesuatu seperti tudung di bagian atas sepanjang simpul. Jejak simpul "mengkodekan simpulnya cukup keras," kata Gordon.



Node yang berbeda mungkin memiliki jejak empat dimensi yang sama, dan matematikawan sudah tahu bahwa, sehingga dapat dikatakan, kerabat di trek selalu memiliki status pemotongan yang sama - baik mereka dipotong atau tidak. Namun, Piccirillo dan Allison Miller , seorang postdoc dari Rice University, menunjukkanbahwa jejak kerabat seperti itu tidak harus terlihat sama untuk semua invarian yang digunakan untuk mempelajari shearness.

Ini menunjukkan Picchirillo jalur ke strategi yang digunakan untuk membuktikan bahwa simpul Conway tidak terputus: jika dia bisa membuat jejak relatif untuk simpul ini, mungkin dia akan lebih bersedia untuk bekerja sama dengan salah satu invarian yang terpotong daripada simpul Conway itu sendiri.

Pembangunan kerabat semacam itu adalah tugas yang sulit, tetapi Picchirillo ahli dalam hal ini. "Aku pada dasarnya melakukan ini," katanya. "Jadi, aku pulang saja dan melakukannya."

Menggunakan kombinasi yang cerdik, Pichchirillo mampu membangun simpul kompleks yang memiliki jejak yang sama dengan simpul Conway. Dan untuk simpul ini, sebuah alat bernama
“C-invariant” Rasmussen menunjukkan bahwa itu tidak terputus dengan lancar - karena itu, adalah simpul Conway.

"Bukti yang sangat indah," kata Gordon. Menurutnya, tidak ada alasan untuk berharap bahwa simpul yang dibuat oleh Picchirillo akan menyerah pada c-invarian Rasmussen. "Namun, pendekatan itu berhasil, yang bahkan mengejutkan."

Bukti Pichchirillo "sejalan dengan bukti singkat dan tak terduga hasil yang sulit dipahami bahwa para peneliti di bidang ini dapat dengan cepat mencerna, mengagumi dan mencoba untuk menggeneralisasi - belum lagi bertanya-tanya mengapa tidak ada yang bisa memikirkan hal ini begitu lama," tulis oleh Green di email.

Jejak kaki adalah alat klasik yang telah ada selama beberapa dekade, tetapi Picchirillo menemukan itu lebih baik daripada yang lain, kata Green. Menurutnya, hasil karyanya menunjukkan kepada para ahli topologi bahwa jejak titik-titik itu diremehkan. "Dia mengambil beberapa alat yang sedikit berdebu," katanya. "Dan sekarang orang lain sudah mengikuti teladannya."

More articles:


All Articles