Mahasiswa pascasarjana menyelesaikan masalah "Conway Node", yang telah mereka perjuangkan selama beberapa dekade

Lisa Piccirillo butuh waktu kurang dari seminggu untuk menjawab pertanyaan lama tentang situs aneh yang ditemukan lebih dari setengah abad yang lalu oleh John Conway yang legendaris.

Pada musim panas 2018, pada sebuah konferensi tentang topologi dan geometri dimensi rendah, Lisa Picchirillo mendengar tentang masalah matematika kecil yang lucu. Itu tampak seperti tempat pengujian yang baik untuk beberapa metode yang dikembangkannya sebagai mahasiswa pascasarjana di University of Texas di Austin.

“Saya tidak mengizinkan diri saya bekerja pada hari ini,” katanya, “karena saya tidak menganggap ini sebagai matematika sungguhan. Saya pikir itu adalah pekerjaan rumah saya. "

Pertanyaannya adalah apakah simpul Conway - tuas yang dibuka lebih dari setengah abad yang lalu oleh ahli matematika legendaris John Horton Conway - adalah bagian dari simpul berdimensi lebih tinggi. "Sliceness" adalah salah satu pertanyaan alami pertama yang diajukan oleh para ahli teori simpul tentang simpul dalam ruang dengan dimensi yang lebih tinggi, dan matematikawan dapat menjawabnya untuk ribuan simpul dengan 12 persimpangan atau kurang persimpangan, dengan pengecualian satu. Conway node, yang memiliki 11 persimpangan, telah menggoda para matematikawan selama beberapa dekade.



Solusi untuk masalah simpul Conway, yang diusulkan oleh Lisa Pichchirillo, membantunya mendapatkan posisi permanen di Massachusetts Institute of Technology.


Dalam waktu kurang dari satu minggu, Picchirillo sudah memiliki jawabannya: simpul Conway bukanlah "slice". Beberapa hari kemudian, dia bertemu dengan Cameron Gordon, seorang profesor di Universitas Austin, dan secara sepintas menyebutkan keputusannya.

"Apa?! Ini masuk ke catatan sejarah sekarang! " - Gordon berkata, merujuk pada "Annals of Mathematics", salah satu jurnal terbaik dalam disiplin ini.

Dia mulai berteriak: "Mengapa kamu tidak melompat kegirangan?" Kata Picchirillo, sekarang seorang mahasiswa pascasarjana di Universitas Brandeis. "Dia bahkan sedikit takut."

"Saya tidak berpikir dia mengerti apa masalah tua dan terkenal itu," kata Gordon.

Bukti Piccirillomuncul di Annals of Mathematics pada bulan Februari. Artikel ini, dikombinasikan dengan pekerjaannya yang lain, memberinya tawaran pekerjaan permanen di Massachusetts Institute of Technology, yang dimulai 1 Juli, hanya 14 bulan setelah dia menyelesaikan gelar doktornya.

Pertanyaan tentang terputusnya simpul Conway diketahui bukan hanya karena berapa lama itu tetap belum terselesaikan. Irisan simpul memberi matematikawan kesempatan untuk menjelajahi sifat aneh ruang empat dimensi di mana bola dua dimensi dapat diikat menjadi simpul, kadang-kadang dengan cara kusut sehingga tidak bisa dihaluskan. Menurut Charles Livingston, profesor emeritus di Universitas Indiana, sheerness "saat ini terkait dengan beberapa masalah terdalam dalam topologi empat dimensi."

"Pertanyaan tentang apakah simpul Conway ini merupakan irisan adalah semacam gangguan bagi banyak perkembangan modern di bidang teori simpul umum," kata Joshua Greene dari Boston College, yang mengawasi disertasi lulusan Picchirillo selama masa kuliahnya. "Saya sangat senang melihat bagaimana seseorang yang saya kenal begitu lama tiba-tiba menarik pedang dari batu."

Bola ajaib

Sementara sebagian besar dari kita berpikir bahwa sebuah simpul ada dalam seutas tali dengan dua ujung, matematikawan berpikir bahwa kedua ujung tersebut terhubung, sehingga simpul tersebut tidak dapat diurai. Selama abad yang lalu, siklus nodal ini telah membantu menerangi berbagai topik ∞ dari fisika kuantum ke struktur DNA, serta topologi ruang tiga dimensi.


John Conway menjelaskan pada tahun 1990 bagaimana dia menunjukkan di sekolah menengah mengapa dua node tidak dapat saling menyeimbangkan.

Tapi dunia kita empat dimensi jika kita memasukkan waktu sebagai pengukuran, jadi wajar untuk bertanya apakah ada teori simpul yang sesuai di ruang 4D. Ini bukan hanya tentang mengambil semua simpul yang kita miliki dalam ruang tiga dimensi dan membenamkannya dalam ruang 4D: dengan empat dimensi untuk bergerak dalam lingkaran, setiap simpul yang diikat dapat diurai jika benang bergerak satu di atas yang lain di dimensi keempat .

Untuk membuat objek rumit dalam ruang empat dimensi, Anda membutuhkan bola dua dimensi, bukan lingkaran satu dimensi. Seperti halnya tiga dimensi menyediakan ruang yang cukup untuk membangun loop yang diikat, tetapi tidak cukup ruang untuk diurai, empat dimensi menyediakan lingkungan seperti itu untuk bidang-bidang yang diikat yang dibuat oleh para ahli matematika pertama kali pada tahun 1920-an.

Sulit untuk memvisualisasikan bola tersimpul dalam ruang 4D, tetapi membantu untuk berpikir tentang ruang biasa di ruang 3D terlebih dahulu. Jika Anda memotongnya, Anda akan melihat lingkaran longgar. Tetapi ketika Anda memotong bola yang diikat di ruang 4D, Anda dapat melihat simpul yang diikat (atau, mungkin, lingkaran yang tidak dapat dikenali atau tautan dari beberapa loop, sebagai gantinya, tergantung pada tempat Anda memotong). Setiap simpul yang bisa Anda buat dengan memotong bola yang diikat disebut “slice”. Beberapa node tidak terpotong, misalnya, simpul tiga persimpangan, yang dikenal sebagai trefoil.

Cut node "menyediakan jembatan antara sejarah teori simpul tiga dimensi dan empat dimensi," kata Green.

Tetapi ada kerutan yang memberikan kekayaan dan orisinalitas cerita empat dimensi: dalam topologi 4D ada dua versi berbeda tentang apa artinya dipotong. Dalam serangkaian perkembangan revolusioner di awal 1980-an (yang membawa medali ke Michael Freedman dan Simon Donaldson Fields), matematikawan menemukan bahwa ruang 4D tidak hanya berisi bidang halus yang secara visual kita visualisasikan, tetapi juga bidang yang sangat kusut sehingga mereka tidak akan pernah bisa disetrika dengan lancar. Pertanyaan tentang node mana yang merupakan irisan tergantung pada apakah Anda memutuskan untuk memasukkan bidang kusut ini.

"Ini adalah benda yang sangat, sangat aneh yang tampaknya ada melalui sihir," kata Shelly Harvey dari Rice University. (Itu pada pidato Harvey pada tahun 2018 bahwa Picchirillo pertama kali belajar tentang masalah simpul Conway.)

Bola aneh ini bukan kesalahan topologi empat dimensi, tetapi fitur. Node yang "dipotong secara topologi" tetapi tidak "dipotong dengan mulus" —yaitu, mereka adalah potongan dari beberapa bidang yang kusut, tetapi tidak mulus - memungkinkan matematikawan untuk membangun apa yang disebut versi "eksotis" dari ruang empat dimensi biasa. Salinan ruang empat dimensi ini terlihat sama dengan ruang normal dari sudut pandang topologi, tetapi kusut. Keberadaan ruang eksotis ini membedakan dimensi keempat dari semua dimensi lain.

Masalah kelancaran adalah "sensor dimensi terendah" dari ruang empat dimensi yang eksotis ini, kata Green.

Selama bertahun-tahun, matematikawan telah menemukan sejumlah node yang secara topologis, tetapi tidak terpotong dengan mulus. Namun, di antara node dengan 12 atau lebih sedikit persimpangan, tampaknya tidak ada - dengan kemungkinan pengecualian pada simpul Conway. Matematikawan bisa menghitung keadaan cutoff dari semua node lain dengan 12 atau kurang persimpangan, tetapi simpul Conway mengelak dari mereka.

Conway, yang meninggal karena COVID-19 bulan lalu, dikenal karena memberikan kontribusi yang berpengaruh pada satu bidang matematika. Dia pertama kali tertarik pada simpul di masa remajanya di tahun 1950-an dan muncul dengan cara sederhana untuk mendaftar hampir semua simpul hingga 11 persimpangan (daftar lengkap sebelumnya hanya mencapai 10 persimpangan).

Ada satu simpul dalam daftar yang menonjol. "Conway, saya pikir, mengerti bahwa ada sesuatu yang sangat istimewa tentang ini," kata Green.

Node Conway, sebagaimana mereka mulai menyebutnya, secara topologis terputus - matematikawan memahami hal ini dengan latar belakang penemuan revolusioner tahun 1980-an, tetapi mereka tidak dapat memahami apakah itu dipotong dengan mulus. Mereka curiga ini tidak benar, karena ia kelihatannya tidak memiliki fungsi yang disebut "ribbing," yang biasanya dengan mudah memotong simpul. Tetapi ia juga memiliki fitur yang membuatnya kebal terhadap upaya untuk menunjukkan bahwa ia tidak dipotong dengan mulus.

Yaitu, simpul Conway memiliki semacam kerabat - yang disebut mutan. Jika Anda menggambar simpul Conway di atas kertas, memotong selembar kertas tertentu, membalik sebuah fragmen dan kemudian menghubungkan ujung-ujungnya yang bebas, Anda akan mendapatkan simpul lain, yang dikenal sebagai simpul Kinoshita-Terasaka .

Masalahnya adalah bahwa unit baru ini ternyata dipotong dengan lancar. Dan karena simpul Conway terhubung sangat dekat dengan simpul potongan halus, ia berhasil menipu semua alat (disebut invarian) yang digunakan matematikawan untuk menemukan simpul tanpa potongan.

"Setiap kali invarian baru muncul, kami mencoba memeriksanya di simpul Conway," kata Green. "Ini hanya satu contoh keras kepala, yang, terlepas dari invarian mana yang Anda buat, tidak memberi tahu Anda apakah ini slice atau tidak. ".

Node Conway "terletak di persimpangan titik-titik buta" dari berbagai instrumen ini, kata Piccirillo.

Seorang ahli matematika, Mark Hughes dari Universitas Brigham Young, menciptakan jaringan saraf yang menggunakan invarian simpul dan informasi lain untuk memprediksi karakteristik seperti shearness. Untuk sebagian besar node, jaringan membuat perkiraan yang jelas. Tapi apa dugaannya tentang apakah simpul Conway terputus dengan mulus? Lima puluh lima puluh.

"Seiring waktu, itu berubah menjadi simpul yang tidak bisa kami atasi," kata Livingston.

Putar dan belok cerdas

Piccirillo menikmati intuisi visual yang disyaratkan teori simpul, tetapi dia tidak menganggap dirinya terutama sebagai ahli teori simpul. "Ini benar-benar [bentuk tiga dimensi dan empat dimensi] yang menggairahkan saya, tetapi studi tentang hal-hal ini sangat terkait dengan teori simpul, jadi saya juga melakukan sedikit ini," tulisnya dalam email.

"Ketika dia pertama kali belajar matematika di perguruan tinggi, dia tidak menonjol sebagai" keajaiban matematika anak emas standar, "kata Elisenda Grigsby, salah satu profesor Pichchirillo di Boston College. Kemungkinan besar, kreativitas Pichchirillo menarik perhatian Grigsby. "Dia benar-benar percaya pada sudut pandangnya, dan itu selalu begitu."

Piccirillo dihadapkan dengan pertanyaan tentang simpul Conway pada saat dia memikirkan cara berbeda untuk menghubungkan dua simpul selain mutasi. Setiap simpul memiliki bentuk empat dimensi yang sesuai, yang disebut jejaknya, yang dibuat dengan menempatkan simpul di perbatasan bola 4D dan menjahit semacam topi di sepanjang simpul. Jejak simpul "menyandikan simpul ini dengan sangat kuat," kata Gordon.



Salah satu mantan profesor, Piccirillo menyebut kreativitas - salah satu kekuatan utamanya sebagai matematika.

Node yang berbeda dapat memiliki jejak empat dimensi yang sama, dan matematikawan sudah tahu bahwa saudara kembar dari jejak ini, sehingga dapat dikatakan, selalu memiliki status irisan yang sama - baik keduanya irisan atau keduanya bukan irisan. Tapi Piccirillo dan Allison Miller, sekarang mahasiswa pascasarjana Rice, telah menunjukkan bahwa saudara kandung jejak ini tidak selalu terlihat sama untuk semua invarian simpul yang digunakan untuk mempelajari kelancaran.

Ini menunjuk pada strategi Picchirillo untuk membuktikan bahwa simpul Conway bukanlah irisan: jika ia dapat membangun jejak afinitas untuk simpul Conway, itu mungkin akan bekerja lebih baik dengan salah satu invarian yang terpotong daripada simpul Conway.

Membuat jejak saudara dan saudari adalah masalah yang rumit, tetapi Picchirillo adalah seorang ahli sejati. "Ini hanya profesiku," katanya. "Jadi, aku pulang saja dan melakukannya."

Berkat kombinasi tikungan yang cerdik, Piccirillo berhasil membangun simpul rumit yang memiliki jejak yang sama dengan simpul Conway. Untuk simpul ini, alat yang disebut Rasmussen s-invariant menunjukkan bahwa itu bukan potongan yang mulus - sehingga simpul Conway tidak dapat berupa salah satu atau yang lainnya.

"Ini bukti yang sangat bagus," kata Gordon. Menurutnya, tidak ada alasan untuk berharap bahwa simpul yang dibangun oleh Picchirillo akan menghasilkan invarian-Rasmussen. "Tapi itu berhasil ... entah bagaimana mengejutkan."

Bukti Piccirillo “sesuai dengan bentuk pendek, bukti luar biasa dari hasil yang sulit dipahami bahwa para peneliti di bidang ini dapat dengan cepat belajar, mengagumi dan berusaha untuk menggeneralisasi - belum lagi bertanya-tanya bagaimana butuh banyak waktu,” tulis Green dalam email .

“Jejak kaki adalah alat klasik yang telah ada selama beberapa dekade, tetapi Picchirillo mengerti lebih dalam daripada orang lain,” kata Green. “Karyanya menunjukkan kepada para ahli topologi bahwa jejak kaki diremehkan. Dia mengambil beberapa alat yang, mungkin, sedikit berdebu. Yang lain sekarang mengikuti teladannya. "

---

Pelajari detail tentang cara mendapatkan profesi yang dicari dari awal atau Tingkatkan keterampilan dan gaji dengan mengambil kursus online SkillFactory:

• « Data Scientist» (24 )
• « Data Analyst» (18 )
• «Python -» (9 )

• 450
• Data Science Harvard University
• 30 -
• Data Science : Cambridge Analytica