🤟🏽 🤧 🙃 Analisis penuh dari bagian pertama ujian di SHAD 2020 🍫 🧑🏿‍🤝‍🧑🏼 🧙🏿

Halo! Saya Azat Kalmykov, kurator di ShAD Helper. Kami melanjutkan serangkaian artikel di mana kami menganalisis tugas untuk memasuki ShAD. Kali ini kita (saya, Nikolai Proskurin dan Alexander Kurilkin) akan melihat keputusan tahap seleksi pertama di ShAD tahun ini, yang berakhir baru-baru ini. Jadi mari kita mulai.

A. Minimum lokal

Pada nilai parameter apa penentu fungsi

f (x) = (x^{4} - (a + 1) x^{3} + (a - 2) x^{2} + 2 a x) \exp^{\frac{\sin x^{2} + 2}{5 x^{2} + 2}}

$f(x)=\left(x^{4}-(a+1) x^{3}+(a-2) x^{2}+2 a x\right) \exp ^{\frac{\sin x^{2}+2}{5 x^{2}+2}}$ Apakah

memiliki paling banyak satu minimum lokal?

Keputusan

, — . , . , , ( ).

, , , ,

f (x) = x^{4} - (a + 1) x^{3} + (a - 2) x^{2} + 2 a x

$f(x) = x^4 - (a + 1)x^3 + (a - 2)x^2 + 2ax$ . , :

- 1, 0, 2, a

$-1, 0, 2, a$ . ,

f (x) = (x + 1) x (x - 2) (x - a)

$f(x) = (x + 1)x(x - 2)(x - a)$ .

,

+ \to - \to + \to - \to +

$+ \to - \to + \to - \to +$ , . ,

a = - 1, 0, 2

$a = -1, 0, 2$ . , .

B. Batas

Tentukan berapa nilainya

a

$a$ batas yang diberikan adalah

\frac{1}{e}

$\frac{1}{e}$ :

lim_{x \to + inf} {(\cos \sqrt{\frac{1}{x}})}^{\frac{x}{a}}

$\lim _{x \rightarrow +\inf }\left(\cos \sqrt{\frac{1}{x}}\right)^{\frac{x}{a}}$

Keputusan

a = 1

$a = 1$ .

\sqrt{\frac{1}{x}} \to 0

$\sqrt{\frac{1}{x}} \to 0$ , :

\cos \sqrt{\frac{1}{x}} = 1 - \frac{1}{2! x} + \frac{1}{4! x^{2}} - \frac{1}{6! x^{3}} + \dots

$\cos{\sqrt{\frac{1}{x}}} = 1 - \frac{1}{2!x} + \frac{1}{4!x^2} - \frac{1}{6!x^3} + \ldots$

. , , , , . , . :

1 - \frac{1}{2 x} < \cos \sqrt{\frac{1}{x}} < 1 - \frac{1}{2 x} + \frac{1}{24 x^{2}}

$1 - \frac{1}{2x} < \cos{\sqrt{\frac{1}{x}}} < 1 - \frac{1}{2x} + \frac{1}{24x^2}$

x \to + \infty

$x \to +\infty$ ,

x

$x$ , . ,

e^{- 1 / 2}

$e^{-1/2}$ . , :

lim_{x \to + \infty} {(1 - \frac{1}{2 x} + \frac{1}{24 x^{2}})}^{x} = \exp (lim_{x \to + \infty} x \ln (1 - \frac{1}{2 x} + \frac{1}{24 x^{2}})) =

$\lim_{x \to +\infty} \left( 1 - \frac{1}{2x} + \frac{1}{24x^2} \right)^x = \exp\left(\lim_{x \to +\infty} x \ln\left( 1 - \frac{1}{2x} + \frac{1}{24x^2} \right)\right) =$

= \exp (lim_{x \to + 0} \frac{\ln (1 - \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{24})}{x})

$= \exp\left(\lim_{x \to +0} \frac{\ln\left( 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{24} \right)}{x}\right)$

, . :

lim_{x \to + \infty} {(\cos \sqrt{\frac{1}{x}})}^{x} = e^{- 1 / 2} \Rightarrow lim_{x \to + \infty} {(\cos \sqrt{\frac{1}{x}})}^{x / a} = e^{- 1 / 2 a}

$\lim_{x \to +\infty} \left(\cos{\sqrt{\frac{1}{x}}}\right)^x = e^{-1/2} \Rightarrow \lim_{x \to +\infty} \left(\cos{\sqrt{\frac{1}{x}}}\right)^{x/a} = e^{-1/2a}$

a = \frac{1}{2}

$a = \frac{1}{2}$ .

: , , .

C. Minimum lokal

Pada penurunan gradien panjang langkah minimum apa tidak dapat menemukan fungsi minimum

x^{4} + \cos 2

$x^4+\cos 2$ , jika

x_{0} = 1

$x_0=1$ ?

Keputusan

, :

x_{k} + 1 = x_{k} - λ ▽ f (x_{k})

$x_k+1 = x_k - \lambda \triangledown f(x_k)$

.

— , .

▽ f (x_{k}) = 4 x_{k}^{3}

$\triangledown f(x_k) = 4x_k^3$

x_{0}

$x_0$ ,

x_{1}

$x_1$ :

x_{1} = x_{0} - λ 4 x_{0}^{3} = 1 - 4 λ

$x_1 = x_0 - \lambda 4x_0^3 = 1 - 4\lambda$

x_{1} = - 1

$x_1=-1$ ,

x_{0}

$x_0$ , . , , «» -

1

$1$

- 1

$-1$ . , ,

x_{1} = - 1 \Leftrightarrow λ = 0.5

$x_1=-1 \Leftrightarrow \lambda=0.5$ (

0

$0$ ). ,

λ

$\lambda$ .

, .

| x_{n + 1} | \leq | x_{n} | | 1 - 4 λ |

$|x_{n+1}| \leq |x_n||1-4\lambda|$ . ,

0.5 > λ > 0 \Rightarrow | 1 - 4 λ | < 1

$0.5 > \lambda > 0 \Rightarrow |1 - 4\lambda| < 1$

:

| x_{1} | = | 1 - 4 λ | \leq 1 | 1 - 4 λ | = x_{0} | 1 - 4 λ |

$|x_1| = |1 - 4\lambda| \leq 1 |1 - 4\lambda| = x_0 |1-4\lambda|$

.

| x_{n + 1} | = | x_{n} - 4 λ x_{n}^{3} | = | x_{n} | | 1 - 4 λ x_{n}^{2} |

$|x_{n+1}| = |x_n - 4\lambda x_n^3| = |x_n| |1-4\lambda x_n^2|$ .

x_{n} < 1 \Rightarrow x_{n}^{2} < 1

$x_n < 1 \Rightarrow x_n^2 < 1$ .

| x_{n + 1} | \leq | x_{n} | | 1 - 4 λ |

$|x_{n+1}| \leq |x_n||1-4\lambda|$ . .

, ,

| x_{n} | \leq | x_{0} | | 1 - 4 λ |^{n} = | 1 - 4 λ |^{n}

$|x_n|\leq |x_0||1-4\lambda|^n = |1-4\lambda|^n$ . ,

| 1 - 4 λ | < 1

$|1-4\lambda| < 1$ ,

| x_{n} |

$|x_n|$ . .

D. Vektor sendiri

Tentukan pada nilai parameter mana vektor

(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ a \end{array})

$\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ a \end{array}\right)$ adalah vektor eigen dari matriks

(\begin{array}{ccc} a & 1 & - 1 \\ 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

$\left(\begin{array}{ccc} a & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

Keputusan

v \neq 0

$v \neq 0$

A

$A$ ,

\exists λ

$\exists \lambda$ :

A v = λ v

$Av = \lambda v$ . :

(\begin{matrix} a & 1 & - 1 \\ 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ a \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 3 - a \\ a \end{matrix}) = λ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ a \end{matrix})

$\begin{pmatrix} a & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 - a \\ a \\ \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ a \\ \end{pmatrix}$

λ = 1

$\lambda = 1$ , —

a = 2

$a = 2$ , , . ,

a = 2

$a = 2$ .

E. Kualifikasi

Pada nilai parameter apa

a

$a$ penentu maksimum dari matriks terbalik ini?

(\begin{array}{ccc} a & - 7 & - 3 \\ 6 & - 10 & - a^{2} \\ 0 & a & 9 \end{array})

$\left(\begin{array}{ccc} a & -7 & -3 \\ 6 & -10 & -a^{2} \\ 0 & a & 9 \end{array}\right)$

Keputusan

det (a) = | \begin{matrix} a & - 7 & - 3 \\ 6 & - 10 & - a^{2} \\ 0 & a & 9 \end{matrix} | = a | \begin{matrix} - 10 & - a^{2} \\ a & 9 \end{matrix} | - 6 | \begin{matrix} - 7 & - 3 \\ a & 9 \end{matrix} | = a^{4} - 108 a + 376

$\det(a) = \begin{vmatrix} a & -7 & -3 \\ 6 & -10 & -a^2 \\ 0 & a & 9 \\ \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} -10 & -a^2 \\ a & 9 \\ \end{vmatrix} - 6 \begin{vmatrix} -7& -3 \\ a & 9 \\ \end{vmatrix} = a^4 - 108a + 376$

{det}^{'} (a) = 4 a^{3} - 108 = 0 \Leftrightarrow a = 3

$\det'(a) = 4a^3 - 108 = 0 \Leftrightarrow a = 3$

, , , , ,

det (a)

$\det(a)$ ,

det (a) \geq det (3) > 0

$\det(a) \geq \det(3) > 0$

a = 3

$a = 3$ . ,

det (A^{- 1}) = det (A)^{- 1}

$\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}$ , ,

a = 3

$a = 3$ .

F. Proyeksi

Poin yang diberikan

B (1, 2, - 3)

$B(1,2,−3)$ dan

C (2, 2, 1)

$C(2,2,1)$ serta pesawat

α

$\alpha$ :

2 x - 2 y + z = 0

$2x−2y+z=0$ dan

β

$β$ :

- x + 2 y + 3 z = 0

$−x+2y+3z=0$ . Temukan koordinat titik

A

$A$ jika diketahui bahwa proyeksi orthogonal ke atas

α

$\alpha$ bertepatan dengan proyeksi titik

B

$B$ tapi terus

β

$\beta$ - dengan proyeksi titik

С

Keputusan

A = (x, y, z)

$A = (x, y, z)$ ,

B

$B$ , ,

B

$B$ . , ,

α

$\alpha$

{\bar{n}}_{1} (2, - 2, 1)

$\overline{n}_1(2, -2, 1)$ . :

{\begin{cases} x = 2 t_{1} + 1 \\ y = - 2 t_{1} + 2 \\ z = t_{1} - 3 \end{cases}

$\begin{cases} x = 2t_1 + 1\\ y = -2t_1 + 2\\ z = t_1 - 3\\ \end{cases}$

A

$A$ ,

C

$C$

β

$\beta$ . :

{\bar{n}}_{2} (- 1, 2, 3)

$\overline{n}_2(-1, 2, 3)$ , :

{\begin{cases} x = - t_{2} + 2 \\ y = - 2 t_{2} + 2 \\ z = 3 t_{2} + 1 \end{cases}

$\begin{cases} x = -t_2 + 2\\ y = -2t_2 + 2\\ z = 3t_2 + 1\\ \end{cases}$

t_{1}

$t_1$

t_{2}

$t_2$ , :

{\begin{cases} 2 t_{1} + 1 = - t_{2} + 2 \\ - 2 t_{1} + 2 = 2 t_{2} + 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 3 = t_{2} + 4 \\ - 2 t_{1} + 2 = 2 t_{2} + 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} t_{2} = - 1 \\ t_{1} = 1 \end{cases}

$\begin{cases} 2t_1 + 1 = -t_2 + 2\\ -2t_1 + 2 = 2t_2 + 2\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3 = t_2 + 4\\ -2t_1 + 2 = 2t_2 + 2\\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t_2 = -1\\ t_1 = 1\\ \end{cases}$

, ,

A (3, 0, - 2)

$A(3, 0, -2)$ , .

G. Domino

Di konstelasi Tau-Ceti yang jauh, domino berdiri

0

$0$ sebelum

N

$N$ poin, dan untuk setiap pasangan angka

(a, b)

$(a,b)$ seperti yang

a

$a$ dan

b

$b$ keseluruhan dari

0

$0$ sebelum

N

$N$ , tepat ada satu domino yang mengandung kedua angka ini. Turis antariksa itu terbang masuk dan mengambil buku jari terbalik secara acak. Pada apa

N

$N$ ekspektasi matematis dari modul perbedaan dalam jumlah poin pada satu dan setengah lainnya dari domino ini akan sama

2

$2$ ?

Keputusan

ξ

$\xi$ ,

Ω

$\Omega$

ξ (Ω)

$\xi(\Omega)$ . :

E (ξ) = \sum_{k \in ξ (Ω)} k Pr [ξ = k] = 2

$E(\xi) = \sum_{k \in \xi(\Omega)} k \Pr[\xi = k] = 2$

A_{k}

$A_k$ — ,

K

$K$ ,

Pr [ξ = k] = \frac{| A_{k} |}{| Ω |}

$\Pr[\xi = k] = \frac{|A_k|}{|\Omega|}$ .

| Ω |

$|\Omega|$ , :

\sum_{k \in ξ (Ω)} k | A_{k} | = 2 | Ω |

$\sum_{k \in \xi(\Omega)} k |A_k|= 2 |\Omega|$

| Ω |

$|\Omega|$ . -, . -, , . ,

| Ω | = n + 1 + \frac{n (n + 1)}{2}

$|\Omega| = n + 1 + \frac{n(n + 1)}{2}$

.

. , 0

n

$n$ .

k

$k$ ?

n - k + 1

$n - k + 1$ : —

(0, k), (1, k + 1), \dots, (n - k, n)

$(0, k), (1, k + 1), \ldots, (n - k, n)$ . :

\sum_{k \in ξ (Ω)} k | A_{k} | = \sum_{k = 0}^{n} k (n - k + 1) = (n + 1) \sum_{k = 0}^{n} k - \sum_{k = 0}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1)^{2}}{2} -

$\sum_{k \in \xi(\Omega)} k |A_k| = \sum_{k = 0}^n k(n - k + 1) = (n + 1)\sum_{k = 0}^n k - \sum_{k = 0}^n k^2 = \frac{n(n + 1)^2}{2} -$

- \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6}

$- \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$

\frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} = (n + 1) (n + 2)

$\frac{n(n + 1)(n + 2)}{6} = (n + 1)(n + 2)$

n > 0

$n > 0$ , ,

n = 6

$n = 6$ .

H. Ujian

Dua teman memutuskan untuk pergi bersama untuk ujian di SHAD dan setuju untuk bertemu di pintu masuk dari pukul 14: 00-15: 00, tetapi tidak setuju pada jam berapa. Waktu kedatangan masing-masing didistribusikan secara merata selama periode waktu ini, tetapi teman-teman tidak sabar, jadi setelah 15 menit menunggu mereka putus asa untuk menunggu dan datang sendiri. Diketahui bahwa mereka bertemu.

Temukan kemungkinan bahwa keduanya datang sebelum pukul 14:45.

Keputusan

, , . , 60x60. x , y — .

« » . « 14:45» 2 . , , , , « 14:45» , « » 3 . ,

\frac{5}{7}

$\frac{5}{7}$ .

I. Variabel acak

Kepadatan distribusi dari variabel acak

ξ

$\xi$ adalah sama dengan

p (x) = \frac{1}{\sin x}

$p(x)=\frac{1}{\sin x}$ di

x

$x$ dari

π / 2

$\pi/2$ sebelum

2 \arctan e

$2 \arctan e$ dan nol untuk yang lainnya

x

$x$ .

Temukan nilai yang tidak bisa dilewati oleh variabel acak ini

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

Keputusan

Pr (ξ \leq x) = \int_{π / 2}^{x} \frac{d t}{\sin t} = \int_{1}^{\tan x / 2} \frac{d u}{u} = \ln \tan \frac{x}{2}

$\Pr(\xi \leq x) = \int\limits_{\pi/2}^x \frac{dt}{\sin{t}} = \int\limits_{1}^{\tan{x/2}} \frac{du}{u} = \ln{\tan{\frac{x}{2}}}$

\ln \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = e^{1 / 2} \Leftrightarrow x = 2 \tan^{- 1} e^{1 / 2}

$\ln{\tan{\frac{x}{2}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \tan{\frac{x}{2}} = e^{1/2} \Leftrightarrow x = 2 \tan^{-1}{e^{1/2}}$

J. Temukan artinya

Kondisi

	2
	256Mb
	input.txt
	output.txt

. : n

a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1}

$a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$ .

- !

l r. .

l

$l$

r

$r$ :

\sqrt[r - l + 1]{a_{l} \cdot a_{l + 1} \cdot \dots \cdot a_{r}}

$\sqrt[r-l+1]{a_{l} \cdot a_{l+1} \cdot \ldots \cdot a_{r}}$

n

$n$ (

1 \leq n \leq 300 000

$1 \leq n \leq 300 000$ ).

n

a_{i}

$a_i$ (

0.01 \leq a_{i} \leq 100

$0.01 \leq a_i \leq 100$ ) .

q

$q$ (

1 \leq q \leq 100 000

$1 \leq q \leq 100 000$ ) — .

q

$q$

l_{i}

$l_i$

r_{i}

$r_i$ (

0 \leq l_{i} \leq r_{i} < n

$0 \leq l_i \leq r_i < n$ ) —

i

$i$ - .

6 .

.

1


8 79.02 36.68 79.83 76.00 95.48 48.84 49.95 91.91 10 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 1 7 2 7	79.020000 53.837288 61.391865 64.756970 69.986085 65.913194 63.352986 66.369195 64.735454 71.164108

2


1 1.00 1 0 0	1.000000

3


8 1.34 1.37 1.40 1.44 1.91 1.95 1.96 1.97 5 1 4 2 7 4 6 0 3 2 6	1.515518 1.752724 1.939879 1.387008 1.712233

x y = e^{\ln x + \ln y}

$xy = e^{\ln x + \ln y}$ . .

Keputusan

О (1)

$(1)$ ,

O (1)

$O(1)$ .

. sums,

s u m s [i] = a [0] + a [1] + \dots + a [i]

$sums[i] = a[0] + a[1] + \dots + a[i]$ .

s u m s [i] = s u m s [i - 1] + a [i]

$sums[i] = sums[i - 1] + a[i]$ ,

O (n)

$O(n)$ .

l

$l$

r

$r$ —

s u m s [r] - s u m s [l - 1]

$sums[r] - sums[l - 1]$ . ,

r - l + 1

$r - l + 1$ .

O (1)

$O(1)$

O (n)

$O(n)$ .

. , , , . , ,

e

$e$ . ,

\ln ((a [l] \cdot . . . \cdot a [r])^{\frac{1}{r - l + 1}}) = \frac{\ln a [l] \cdot \dots \cdot a [r]}{r - l + 1} = \frac{\ln a [l] + \dots + \ln a [r]}{r - l + 1}

$\ln ((a[l] \cdot ... \cdot a[r])^{\frac{1}{r - l + 1}}) = \frac{\ln a[l] \cdot \dots \cdot a[r]}{r - l + 1} = \frac{\ln a[l] + \dots + \ln a[r]}{r - l + 1}$ ,

О (1)

$(1)$ .

: gist.github.com/Azatik1000/0b0d8496785169a8ac0d35a8c9e8e59f

K. Hapus yang terakhir

Kondisi

	2
	256Mb
	input.txt
	output.txt

a

$a$

n

$n$ . .

, .

, , .

n

$n$ (

1 \leq n \leq 300 000

$1 \leq n \leq 300 000$ ).

n

$n$

a_{i}

$a_i$ (

0 \leq a_{i} \leq 1 000 000 000

$0 \leq a_i \leq 1 000 000 000$ ).

m

$m$ (

0 \leq m < n

$0 \leq m < n$ ) — , .

m

$m$ — , . , , .

1


10 1 1 5 2 4 3 3 4 2 5	5 1 5 2 4 3

2


1 1000000000	0

3


10 1 2 3 3 2 1 4 1 2 0	5 1 2 3 2 1

Keputusan

unordered_set (C++) / HashSet (Java) / set (Python), . , , . , . , -. reverse

O (n)

$O(n)$ . -

О (1)

$(1)$ ,

O (n)

$O(n)$ .

: gist.github.com/Azatik1000/2fef745e23c23eb020f21878980cae08

L. papan buletin

Kondisi

	3
	256Mb
	input.txt
	output.txt

, .

W \times H

$W × H$ , a b. , . , .

. , , . , .

.

(0, 0)

$(0, 0)$ , —

(W, H)

$(W, H)$ . .

, .

W

$W$ ,

H

$H$

a

$a$ ,

b

$b$ (

1 \leq W

$1 \leq W$ ,

H \leq 100 000

$H \leq 100 000$ ,

1 \leq a \leq W

$1 \leq a \leq W$ ,

1 \leq b \leq H

$1 \leq b \leq H$ ).

n

$n$ (

0 \leq n \leq 100

$0 \leq n \leq 100$ ) — .

n

$n$

(x_{l d}, y_{l d})

$(x_{ld}, y_{ld})$

(x_{r u}, y_{r u})

$(x_{ru}, y_{ru})$ (

0 \leq x_{l d} < x_{r u} \leq W, 0 \leq y_{l d} < y_{r u} \leq H

$0 \leq x_{ld} < x_{ru} \leq W, 0 \leq y_{ld} < y_{ru} \leq H$ ). , .. .

(x_{l d}, y_{l d})

$(x_{ld}, y_{ld})$

(x_{r u}, y_{r u})

$(x_{ru}, y_{ru})$ , .

a

$a$ (,

b

$b$ ). .

.

, .

1


11 8 2 7 4 1 5 3 7 2 2 4 5 5 3 9 4 5 3 7 8	9 0 11 8

2


11 8 7 3 4 1 5 3 7 2 2 4 5 5 3 9 4 5 3 7 8	4 0 11 3

3


11 8 4 4 4 1 5 3 7 2 2 4 5 5 3 9 4 5 3 7 8	7 4 11 8

Keputusan

, . ,

W * n

$W * n$ .

x

$x$ (

0

$0$

W - a

$W - a$ ), . ,

x

$x$

x + a

$x + a$ , . , «»

x

$x$

x + a

$x + a$ ,

y

$y$ - . ,

(y_{1}, y_{2})

$(y_1, y_2)$ ,

y_{1}

$y_1$

y_{2}

$y_2$ —

y

$y$ - , .

y_{2}

$y_2$ —

y_{1}

$y_1$ .

,

(0, 0)

$(0, 0)$

(h, h)

$(h, h)$ , . , , , . , , . , , .

.

O (W * n * \log n)

$O(W * n * \log n)$

O (n)

$O(n)$ .

: gist.github.com/Azatik1000/2c07ebdd866ce20a4b5f5e6ee7408ad7

Analisis penuh dari bagian pertama ujian di SHAD 2020

A. Minimum lokal

B. Batas

C. Minimum lokal

D. Vektor sendiri

E. Kualifikasi

F. Proyeksi

G. Domino

H. Ujian

I. Variabel acak

J. Temukan artinya

1

2

3

K. Hapus yang terakhir

1

2

3

L. papan buletin

1

2

3

More articles: