Get best of the week

Jembatan matematika "menakjubkan" yang melampaui Teorema Besar Fermat

Matematikawan menemukan cara untuk memperpanjang jembatan misterius yang menghubungkan dua benua yang jauh dari dunia matematika




Ketika Andrew John Wiles membuktikan Teorema Hebat Fermat pada awal 1990-an , itu adalah langkah monumental tidak hanya bagi ahli matematika, tetapi juga bagi semua umat manusia. Pernyataan teorema ini sangat sederhana - ia mengklaim bahwa persamaan x n + y n = z ntidak ada solusi positif keseluruhan untuk n> 2. Namun, pernyataan sederhana ini menarik sejumlah besar orang yang ingin membuktikannya selama lebih dari 350 tahun, karena ahli matematika Prancis Pierre de Fermat dengan santai membuat sketsa pernyataan teorema pada tahun 1637 di pinggiran “Aritmatika” Diophantus. Formulasi Fermat juga terkenal: ia "menemukan bukti yang sangat bagus untuk ini, tetapi margin buku ini terlalu sempit untuknya." Selama berabad-abad, matematikawan profesional dan penggemar amatir telah mencari bukti Fermat - atau apa pun yang lain.

Bukti akhirnya diperoleh oleh Wiles (dengan bantuan Richard Taylor ) tidak akan pernah terjadi pada Fermat. Itu tidak secara langsung mempengaruhi teorema, tetapi membangun jembatan besar, yang, menurut matematikawan, seharusnya ada - jembatan antara dua "benua" matematika yang jauh. Bukti Wiles datang untuk mendefinisikan jembatan yang menghubungkan dua bidang kecil tanah antara dua benua. Buktinya penuh dengan ide-ide baru dan mendalam, dan menghasilkan kaskade hasil baru di kedua sisi jembatan ini.

Dari sudut pandang ini, bukti mengagumkan dari Wiles memecahkan sebagian kecil dari misteri yang jauh lebih besar. Buktinya adalah "salah satu acara matematika terbaik abad ke-20," kata Toby Guydari Imperial College London. Namun itu milik "bentangan kecil" jembatan, yang dikenal sebagai korespondensi geometris Langlands .

Seluruh jembatan akan memungkinkan matematikawan untuk menjelaskan luasnya matematika, menyampaikan konsep dari satu bagian ke bagian lain. Banyak tugas, termasuk Teorema Hebat Fermat, tampaknya sulit di satu sisi jembatan, tetapi dengan cepat berubah menjadi tugas yang lebih mudah, pindah ke sisi lain.

Setelah Wiles muncul dengan buktinya, matematikawan lain mulai dengan antusias memperluas jembatan ini ke bagian yang lebih besar dari dua benua. Dan kemudian mereka menemui hambatan. Ada dua arah alami untuk memperluas jembatan ini, tetapi di keduanya metode Taylor-Wiles tampaknya menghadapi penghalang yang tidak dapat diatasi.


Ahli matematika Andrew Wiles, yang membuktikan Teorema Hebat Fermat dan menerima Hadiah Abel pada tahun 2016

"Orang sudah lama ingin melakukan ini," kata Anna Karayani dari Imperial College London. Tetapi “kita, secara umum, tidak berpikir bahwa ini pada prinsipnya mungkin.”

Sekarang dua karya - mewakili puncak dari karya lebih dari sepuluh ahli matematika - telah mengatasi penghalang ini, pada dasarnya menyelesaikan kedua masalah. Suatu hari, penemuan ini dapat membantu ahli matematika membuktikan Teorema Hebat Fermat untuk sistem numerik yang melampaui bilangan bulat positif.

Ini adalah "hasil teratas," kata Matthew Emerton dari University of Chicago. "Mereka mengungkapkan beberapa fenomena mendasar dari teori bilangan, dan kita baru mulai memahami apa itu."

Jarum dalam ruang hampa


Salah satu sisi jembatan Langlands terkonsentrasi pada hampir persamaan paling sederhana yang dapat dituliskan: ini adalah persamaan Diophantine, atau kombinasi variabel dengan eksponensial dan koefisien integer, misalnya, y = x 2 + 6x + 8, atau x 3 + y 3 = z 3 . Selama ribuan tahun, matematikawan telah mencoba untuk mencari tahu kombinasi bilangan bulat mana yang memenuhi persamaan Diophantine tertentu. Pada dasarnya, motivasi mereka didasarkan pada kesederhanaan dan kealamian masalah ini, tetapi baru-baru ini, bagian dari pekerjaan mereka telah menerima kelanjutan yang tidak terduga di berbagai bidang seperti kriptografi.

Sejak zaman Yunani kuno, matematikawan telah mengetahui cara untuk menemukan solusi integer dari persamaan Diophantine dengan hanya dua variabel dan tidak ada derajat lebih besar dari 2. Namun, dalam kasus derajat yang lebih tinggi, menemukan solusi integer bukanlah masalah yang sederhana - dimulai dengan kurva eliptik. Ini adalah persamaan di mana y 2 berada di sebelah kiri tanda sama dengan , dan di sebelah kanan adalah kombinasi istilah dengan tingkat maksimum 3, misalnya, x 3 + 4x + 7. Guy mengatakan bahwa dibandingkan dengan persamaan dengan derajat yang lebih rendah, ini adalah " masalah yang jauh lebih kompleks. "

Di sisi lain benda hidup jembatan disebut bentuk automorfik, yang mirip dengan ubin warna dengan tingkat simetri yang sangat tinggi. Dalam kasus yang dipelajari oleh Wiles, ubin mungkin menyerupai sesuatu yang mirip dengan mosaik Escher , di mana ikan atau malaikat dengan setan yang ditunjukkan pada disk berkurang ketika mereka mendekati perbatasan. Di alam semesta Langlands yang lebih umum, ubin dapat membuka bola tiga dimensi atau figur lain dalam dimensi yang lebih tinggi.

Kedua jenis objek matematika ini sangat berbeda satu sama lain. Namun demikian, pada pertengahan abad ke-20, matematikawan mulai mengungkapkan hubungan yang mendalam di antara mereka, dan pada awal tahun 1970-an, Robert Langlands dari Institute for Advanced Studies mengungkapkan hipotesis bahwa persamaan Diophantine dan bentuk otomorfik dapat dikorelasikan dengan cara tertentu satu sama lain.


Robert Langlands, yang mengemukakan hipotesis kepatuhan 50 tahun lalu, memberikan kuliah di Institute for Advanced Studies di Princeton, New Jersey, pada 2016.

Yaitu: baik dalam persamaan Diophantine dan dalam bentuk automorphic ada cara alami untuk menghasilkan urutan angka yang tak terbatas. Untuk persamaan Diophantine, jumlah solusi dalam aritmatika modular dapat dihitung (dapat direpresentasikan sebagai angka yang terletak di permukaan jam; misalnya, dalam kasus dial 12 jam, 10 + 4 = 2). Dan untuk bentuk otomorfik yang muncul sesuai dengan Langlands, Anda bisa mendapatkan daftar angka tak berujung yang serupa dengan tingkat energi kuantum.

Jika kita menggunakan aritmatika modular hanya berdasarkan pada bilangan prima, maka, menurut Langlands, kedua jenis sekuens ini akan bertepatan dalam berbagai kondisi yang berbeda. Dengan kata lain, untuk setiap bentuk otomorfik, tingkat energinya mengontrol urutan modular dari persamaan Diophantine, dan sebaliknya.

Koneksi ini "lebih aneh daripada telepati," kata Emerton. "Cara kedua belah pihak berkomunikasi satu sama lain tampak luar biasa dan sulit dipercaya bagi saya, meskipun saya telah mempelajari fenomena ini selama lebih dari 20 tahun."

Pada 1950-an dan 1960-an, matematikawan menemukan tanda-tanda pertama keberadaan jembatan ini di salah satu arah: bagaimana bergerak dari bentuk automorfik tertentu ke kurva eliptik dengan koefisien yang bilangan rasional (pecahan yang terdiri dari bilangan bulat). Kemudian, pada 1990-an, Wiles, dengan Taylor, menemukan arah lain untuk jembatan untuk keluarga kurva elips tertentu. Hasil mereka secara otomatis menghasilkan bukti Fermat's Great Theorem, karena matematikawan telah menunjukkan bahwa jika itu salah, maka setidaknya satu dari kurva eliptik ini tidak akan memiliki bentuk automorfik yang sesuai.

Teorema hebat Fermat jauh dari satu-satunya penemuan yang mengikuti dari pembangunan jembatan ini. Misalnya, matematikawan menggunakannya untuk membuktikanHipotesa Sato-Tate , masalah berusia puluhan tahun terkait dengan distribusi statistik jumlah solusi modular dari kurva eliptik, serta untuk membuktikan hipotesis mengenai tingkat energi bentuk automorfik, yang diungkapkan oleh ahli matematika legendaris awal abad ke-20 Srinivasa Ramanujan Iyengor .

Setelah Wiles dan Taylor mempublikasikan temuan mereka, menjadi jelas bahwa metode mereka masih penuh dengan kemungkinan. Segera, matematikawan menyadari bagaimana memperluasnya ke kurva elips dengan koefisien rasional. Kemudian, matematikawan menemukan cara untuk menutupi koefisien dengan bilangan irasional sederhana, seperti 3 + √2.

Tetapi apa yang mereka tidak berhasil adalah memperluas metode Taylor-Wiles ke kurva eliptik dengan koefisien kompleks, seperti i (√-1) atau 3 + i, atau √2i. Juga, mereka tidak bisa mengatasi persamaan diophantine dengan kekuatan lebih dari kurva eliptik. Persamaan dengan derajat 4 di sisi kanan tanda sama dengan bukannya 3 dengan mudah diselesaikan menggunakan metode Taylor-Wiles, tetapi begitu derajat meningkat menjadi 5, metode sudah berhenti bekerja.

Matematikawan secara bertahap mulai menyadari bahwa masalah dengan dua perpanjangan alami jembatan Langlands ini tidak hanya muncul dengan sedikit peningkatan pada metode Taylor-Wiles. Rupanya, kendala itu mendasar.

Ini adalah "hanya contoh-contoh berikut yang terjadi pada saya," kata Guy. "Tapi mereka bilang: Tidak, hal-hal ini sangat tidak terjangkau."

Masalahnya adalah bahwa metode Taylor-Wiles menemukan bentuk automorfik yang sesuai dengan persamaan Diophantine dengan secara berturut-turut memperkirakannya menggunakan bentuk automorfik lainnya. Namun, ketika bilangan kompleks atau kekuatan lebih tinggi dari 4 terjadi pada koefisien persamaan, ada sangat sedikit bentuk automorfik - sangat sedikit sehingga hampir semua bentuk automorfik kemungkinan besar tidak memiliki bentuk automorfik terdekat yang dapat digunakan untuk memperkirakannya.

Di bawah Wiles, bentuk automorfik yang kita butuhkan mirip dengan "jarum di tumpukan jerami, tetapi tumpukan ini memang ada," kata Emerton. "Dan ini dapat dibandingkan dengan setumpuk pengajuan logam, yang Anda bawa magnet - pengarsipan disejajarkan dan arahkan ke jarum yang Anda butuhkan."

Namun, dalam kasus koefisien kompleks atau derajat tatanan yang lebih tinggi, menurutnya, itu lebih "menyerupai jarum dalam ruang hampa."

Terbang ke bulan


Banyak ahli teori angka hari ini tumbuh pada saat Wiles datang dengan buktinya. “Ini adalah satu-satunya contoh matematika yang saya lihat di halaman depan surat kabar,” kenang Guy, yang saat itu berusia 13 tahun. "Ini menginspirasi banyak orang, mereka ingin mengetahuinya, dan sebagai hasilnya, untuk alasan inilah mereka mulai bekerja di bidang ini."

Karena itu, ketika pada 2012 dua matematikawan - Frank Kalegari dari University of Chicago dan David Gerati (sekarang peneliti Facebook) - mengusulkan cara untuk mengatasi hambatan yang tidak memungkinkan memperluas metode Taylor-Wiles, ide ini memicu sambutan hangat dari generasi baru sejumlah pakar teori.

Pekerjaan mereka menunjukkan bahwa “hambatan mendasar yang menghambat kemajuan kami bukanlah hambatan sama sekali,” kata Guy. Dia menjelaskan bahwa, pada kenyataannya, keterbatasan nyata dari metode Taylor-Wiles menunjukkan bahwa "Anda hanya merasakan bayang-bayang metode nyata dan lebih umum yang diberikan kepada kami oleh Calegari dan Gerati."


David Geraty di Boston University pada 2015

Dalam kasus di mana hambatan tiba-tiba muncul, bentuk automorfik hidup pada ubin dengan dimensi yang lebih tinggi daripada ubin Esher dua dimensi yang dipelajari Wiles. Dalam dunia dimensi yang lebih tinggi ini, tidak nyaman bahwa bentuk automorfik sangat jarang. Tetapi ubin dengan dimensi lebih tinggi sering memberikan struktur yang lebih kaya daripada yang ditawarkan dua dimensi. Kalegari dan Gerati datang dengan ide untuk menggunakan struktur yang kaya ini untuk mengkompensasi kurangnya bentuk automorfik.

Lebih tepatnya, untuk setiap bentuk automorfik tertentu, Anda dapat menggunakan "pewarnaan" ubinnya sebagai alat ukur yang dapat menghitung warna rata-rata setiap bagian ubin yang Anda pilih. Dalam situasi dua dimensi, bentuk automorfik, pada kenyataannya, adalah satu-satunya alat pengukur yang tersedia. Tetapi ubin dimensi yang lebih tinggi memiliki alat baru, yang disebut kelas puntir, dan dengan bantuan mereka, setiap bagian petak dapat ditetapkan bukan warna rata-rata, tetapi nomor dari aritmatika modular. Dan kelas torsi seperti itu adalah selusin sepeser pun.

Kalegari dan Gerati menyarankan bahwa untuk beberapa persamaan Diophantine mungkin berubah untuk menemukan bentuk automorfik yang sesuai melalui pendekatan bukan dengan bentuk automorfik lain, tetapi dengan memutar kelas. "Gagasan mereka ini ternyata fantastis," kata Karajani.

Kalegari dan Gerati mempresentasikan skema untuk membangun jembatan yang jauh lebih luas dari persamaan Diophantine ke bentuk automorfik dibandingkan dengan apa yang dibangun Wiles dan Taylor. Namun, ide mereka tidak dapat dianggap sebagai jembatan yang lengkap. Untuk membuatnya bekerja, pertama-tama perlu untuk membuktikan tiga teorema besar. Menurut Kalegari, ini dapat dibandingkan dengan fakta bahwa pekerjaan mereka dengan Gerati menggambarkan skema penerbangan ke bulan, jika hanya orang yang menginginkannya akan memiliki pesawat ruang angkasa, bahan bakar roket dan pakaian antariksa. Dan ketiga teorema ini "sempurna di luar jangkauan kita," kata Kalegari.

Secara khusus, metode Calegari dan Gerati menuntut adanya jembatan siap pakai yang bergerak ke arah lain, dari bentuk automorfik hingga persamaan diofantin. Dan jembatan ini seharusnya menggabungkan tidak hanya bentuk automorfik, tetapi juga kelas memutar. "Saya pikir banyak orang menganggap ini tugas yang sia-sia ketika Calegari dan Gerati pertama kali menggambarkan program mereka," kata Taylor, sekarang di Universitas Stanford.

Kurang dari setahun setelah penerbitan karya Kalegari dan Gerati, Peter Scholze adalah seorang jenius muda dari Universitas Bonn yang menerima Hadiah Lapangan, penghargaan tertinggi untuk matematika, membuat kagum spesialis dalam teori bilangan, mencari tahu bagaimana beralih dari kelas bengkok ke sisi persamaan Diophantine dalam kasus kurva eliptik, yang koefisiennya bilangan kompleks sederhana seperti 3 + 2i atau 4 - i5i. "Dia melakukan banyak hal luar biasa, tetapi ini mungkin pencapaiannya yang paling menakjubkan," kata Taylor.


Ahli matematika Peter Scholze

Scholze membuktikan yang pertama dari tiga teorema Calegari dan Gerati. Dan pasangan kerja bersama berikutnya oleh Scholze dan Karayani nyaris membuktikan teorema kedua, menunjukkan keberadaan properti yang benar di jembatan yang ditemukan oleh Scholze.

Ada perasaan bahwa program ini dapat dengan mudah dikuasai, sehingga pada musim gugur 2016, Karajani dan Taylor mengorganisir, menurut Kalegari, "bengkel rahasia" di Institute for Advanced Studies, yang bertujuan untuk mencapai kemajuan lebih lanjut. "Kami menempati satu audiensi di sana dan tidak membiarkan siapa pun masuk," kata Kalegari.

Setelah beberapa hari percakapan persiapan, para peserta lokakarya mulai memahami bagaimana secara bersamaan menangani teorema kedua dan menyiasati yang ketiga. “Dan mungkin dalam satu hari setelah merumuskan semua tugas, kita semua menyelesaikannya,” kata Guy, salah satu peserta proyek.

Sisa minggu ini, para peserta mengabdikan diri untuk studi rinci dari berbagai aspek bukti, dan selama dua tahun ke depan meresmikan penemuan mereka dalam pekerjaan.kepengarangan sepuluh orang - jumlah seperti itu tidak pernah terdengar untuk karya-karya tentang teori bilangan. Bahkan, pekerjaan mereka menetapkan keberadaan jembatan Langlands untuk kurva elips dengan koefisien dari sistem bilangan apa pun yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional dan bilangan kompleks sederhana.


Anna Karayani dan Richard Taylor

"Lokakarya ini diselenggarakan terutama untuk memahami seberapa dekat Anda dengan solusi," kata Guy. "Kurasa tidak ada di antara kita yang mengharapkan kita untuk membuktikan segalanya."

Kelanjutan jembatan


Sementara itu, cerita lain sedang berlangsung terkait dengan kelanjutan jembatan di luar kurva elips. Calegari dan Guy bekerja dengan George Boxer (sekarang bekerja di Higher Normal School di Lyon, Prancis) pada kasus di mana tingkat tertinggi persamaan Diophantine adalah 5 atau 6 (daripada 3 dan 4, seperti kasus yang sudah diketahui). Namun, tiga ahli matematika terjebak pada titik kunci dalam bukti mereka.

Dan kemudian, akhir pekan berikutnya, setelah mengadakan "bengkel rahasia," Vincent Pilloni dari Sekolah Normal Tinggi menerbitkan sebuah makalah yang menunjukkan bagaimana cara mengatasi rintangan yang sangat ini. "Sekarang kita perlu memperlambat pekerjaan kita dan memulai kerja sama dengan Pilloni!" - Jadi, menurut Kalegari, tiga peneliti segera saling memberi tahu.

Dalam beberapa minggu, empat matematikawan menyelesaikan masalah ini, walaupun butuh beberapa tahun kerja dan hampir 300 halaman uraian ide yang terperinci. Karya mereka , serta karya kepengarangan 10 orang, diterbitkan di Internet pada bulan Desember 2018, dengan perbedaan empat hari.


Frank Calegari, Toby Guy dan Vincent Pilloni

"Ini adalah pencapaian yang sangat serius," komentar Emerton pada dua karya ini. Dia menyebut mereka dan balok-balok bangunan yang mendahului mereka sebagai "karya seni."

Meskipun kedua karya ini, pada kenyataannya, membuktikan bahwa hubungan telepati misterius antara persamaan Diophantine dan bentuk automorfik ditransfer ke kondisi baru, ada satu tangkapan: mereka tidak membangun jembatan yang ideal antara dua pantai matematika. Karya-karya itu hanya menyatakan "potensi kehadiran automorfisme". Ini berarti bahwa setiap persamaan Diophantine memiliki bentuk automorfik yang sesuai, tetapi kita tidak tahu pasti apakah bentuk automorfik ini hidup di bagian benua itu di mana, menurut para ilmuwan, ia harus ditempatkan. Namun, automorfisme potensial cukup untuk banyak aplikasi - misalnya, untuk hipotesis Sato-Tate tentang statistik solusi modular persamaan Diophantine, yang operabilitasnya pada lanskap yang jauh lebih luas daripada sebelumnya, dapat dibuktikan oleh sepuluh penulis.

Matematikawan sudah mulai memahami bagaimana meningkatkan hasil ini dengan potensi otomorfisme. Pada bulan Oktober, tiga ahli matematika - Patrick Allen dari University of Illinois di Urbana-Campaign, Chandrasekar Hare dari University of California di Los Angeles dan Jack Thorne dari University of Cambridge - membuktikan bahwa bagian penting dari kurva elips yang dipertimbangkan dalam pekerjaan dengan 10 penulis memiliki jembatan datang tepat ke tempat yang tepat.

Jembatan dengan akurasi yang lebih tinggi di masa depan memungkinkan ahli matematika untuk membuktikan sejumlah teorema baru, termasuk generalisasi dari Teorema Besar Fermat seabad yang lalu. Yang terakhir mengklaim bahwa persamaan teorema ini masih akan tidak memiliki solusi, bahkan ketika bukan x, y dan z kita akan menggantikan tidak hanya nilai integer, tetapi kombinasi integer dan unit imajiner .

Dua pekerjaan di bawah program Calegari-Gerati memberikan bukti penting dari konsep yang sedang operasional, kata Michael Harris dari Universitas Columbia. Mereka, katanya, "menunjukkan bahwa metode ini dapat diterapkan dalam jangkauan luas."

Dan meskipun pekerjaan baru menghubungkan jembatan ke bagian yang lebih luas di benua Langlands daripada sebelumnya, mereka masih membiarkan wilayah yang luas belum dipetakan. Dari sisi persamaan Diophantine, persamaan ini mencakup semua persamaan dengan derajat lebih besar dari 6, serta persamaan dengan lebih dari dua variabel. Di sisi lain, wilayah yang belum dipetakan milik bentuk automorfik yang hidup di ruang simetris yang lebih kompleks daripada yang dipelajari hingga hari ini.

"Hari ini, karya ini merupakan puncak kesuksesan," kata Emerton. "Tetapi pada titik tertentu mereka akan dianggap sebagai salah satu langkah menuju pencapaian tujuan."

Langlands sendiri tidak pernah berpikir tentang memelintir, mempelajari bentuk-bentuk automorfik, jadi salah satu tugas yang sulit bagi matematikawan adalah menemukan pandangan terpadu dari dua pendekatan berbeda ini. "Kami memperluas jangkauan kami," kata Taylor. "Kami keluar dari jalan dengan Langlands dan kami tidak tahu ke mana kami pergi."

More articles:


All Articles