Tentang satu indikator yang berlaku untuk penilaian visual fungsi yang berkembang pesat

Untuk banyak model epidemi - SIR, SEIR, dan sejenisnya (untuk perincian deskripsi matematis lihat, misalnya, di www.idmod.org/docs/hiv/model-compartments.html ) pernyataan berikut ini benar: pada tahap awal epidemi, ketika jumlah orang yang terinfeksi (I ) jauh lebih kecil dari ukuran populasi, tingkat pertumbuhan jumlah kasus sebanding dengan jumlah kasus:

$$$∂I/∂t=βI$di mana β adalah koefisien yang mencirikan tingkat infeksi.

Solusi untuk persamaan ini adalah fungsi eksponensial. Untuk fungsi eksponensial$$$f(t)=a^t$ Persamaan fungsional berikut berlaku:

$$

$$f(t+log_a⁡2 )=2f(t)$$

UNTUK. jumlah$$$log_a⁡2$ adalah periode penggandaan untuk suatu fungsi $$$f(t)=a^t$. Menurut definisi, jika periode penggandaan untuk fungsi halus yang tidak menurun adalah konstan, maka fungsi tersebut eksponensial.

Seperti banyak orang lain pada waktu yang menarik ini, saya mengikuti tingkat pertumbuhan tingkat kejadian yang dipublikasikan, misalnya, di situs .

Untuk beberapa waktu sekarang, grafik mulai menyerupai sesuatu yang mirip dengan bumerang atau tongkat hoki:


Gambar 1

Grafik yang sama pada skala logaritmik memberikan sedikit informasi lebih lanjut:


Gambar 2

Dapat dilihat bahwa laju pertumbuhan cenderung melambat, karena kemiringan logaritma dari fungsi yang sesuai menurun, tetapi semua tetapi ada ketidakpuasan dari kurangnya pemahaman tentang seberapa efektif tindakan yang diambil untuk mengatasi epidemi tetap efektif.

Dinamika nyata dari jumlah yang terinfeksi bahkan dalam kondisi penerapan perkiraan $$$∂I/∂t=βI$berbeda dari eksponensial, yang terutama disebabkan oleh langkah-langkah untuk menahan epidemi, yang mengarah pada fakta bahwa $$$β$berhenti menjadi konstan dan menjadi fungsi waktu yang menurun (jika tindakan efektif, tentu saja ).

Sehubungan dengan hal tersebut di atas, diusulkan untuk menggunakan periode penggandaan sebagai indikator yang berlaku untuk penilaian visual dari fungsi yang mirip dengan yang indikatif. Dalam kasus umum, untuk fungsi yang meningkat secara monoton$$$f(t)$ periode penggandaan $$$D(t)$dapat ditentukan dari persamaan fungsional berikut:

$$

$$f(t+D(t))=2f(t)$$

Perbedaan $$$D(t)$dari konstanta menunjukkan perbedaan $$$f(t)$dari peserta pameran. Sehubungan dengan dinamika tingkat kejadian, pertumbuhan$$$D(t)$(idealnya - hingga tak terbatas) menunjukkan efektivitas tindakan yang diambil untuk mengatasi epidemi.

Dalam hal fungsi didefinisikan dalam bentuk tabel pada set diskrit, misalnya, dalam bentuk tabel ketergantungan jumlah kasus pada tanggal, ada kesewenang-wenangan dalam menentukan$$$D(t)$. Sebagai cara termudah untuk menentukan$$$D(t)$kita dapat mengusulkan yang berikut:

Biarkan t∈ {0; 1; ...; N} menjadi waktu diskrit, I (t) adalah jumlah kasus tergantung pada waktu t. Maka



juga dimungkinkan untuk menentukan periode penggandaan "pesimistis"



"Pesimisme" dalam kasus ini adalah karena fakta bahwa perbandingan I (t) selalu dibuat dengan I (o), yaitu. dengan "rendah" dengan basis definisi. Tetapi apakah kita berasumsi bahwa situasinya akan membaik seiring waktu? Untuk optimis, ada definisi:



Menurut definisi di atas



Berikut ini adalah contoh penggunaan indikator di atas:


Gambar 3


Gambar 4

Data di Spanyol, dijelaskan dalam pers sebagai contoh sakit kepala


Gambar 5

Meskipun pusing pada tahap awal, Spanyol masih terlihat putus asa.

Dan sebagai kesimpulan - penat asli.Gambar


6 Sangat

menyenangkan bahwa di Rospotrebnadzor tingkat pertumbuhan kejadian COVID-19 di Federasi Rusia dianggap lambat .

File dengan sumber data, rumus dan grafik dapat diambil di sini.

Pekerjaan rumah:

1. Putuskan$$$D(t)$ persamaan $$$f(t+D(t))=2f(t)$untuk fungsi-fungsi berikut

$$$f(t)=t^t$
$$$f(t)=Γ(t)$dimana $$$Γ(t)$- fungsi gamma
$$$f(t)=t^n$
$$$f(t)=ln⁡(t)$
Juga untuk $$$f(t)=ln⁡(t)$memecahkan persamaan $$$f(t+D(t))=mf(t)$

2. Jawab pertanyaan: bagaimana terkait periode penggandaan fungsi dan turunan logaritmik dari fungsi tersebut?

Saya meminta pembaca untuk tidak mengirim keputusan dalam komentar dalam waktu seminggu.