🎄 🔠 👼 Fraktal di pasir, atau Lebih dari tiga tidak berkumpul 🤶🏼 🌽 💅

Kita akan berbicara tentang model tumpukan pasir. Pasir (tidak nyata, model), mengalir, menciptakan gambar-gambar ini:

Tumpukan pasir dapat ditambahkan (ini mudah jika Anda terbiasa melipat segala macam barang) dan dikurangi (tetapi ini sudah tidak sepele).

Anda juga dapat menggunakan hal ini sebagai Hello world alih-alih game Life.

Tumpukan pasir

Ambil bidang kotak-kotak. Butir-butir pasir dapat terletak di setiap sel bidang ini. Sebagai contoh, mungkin terlihat seperti ini:

Sekarang tambahkan satu butir pasir ke sel di mana ada tiga dari mereka:

Dan sekarang perhatian adalah aturan yang paling penting:

Jika empat butir pasir di dalam sel, mereka didistribusikan ke empat sel tetangga.

Seperti yang mereka katakan, ada keruntuhan (terguling). Seperti ini:

Aturan yang sangat alami. Meskipun tidak terlihat seperti pasir sama sekali, itu lebih cenderung untuk mengikuti aturan "jangan berkumpul bersama selama lebih dari tiga": jika empat orang dalam satu kandang berhasil berkumpul, mereka tersebar ke arah yang berbeda.

Dengan cara ini, kaskade tanah longsor dapat terjadi - ketika tumpukan pasir menumpuk, akan runtuh sampai ada sel yang tidak stabil dengan 4 butir pasir atau lebih, yaitu, sampai tumpukan pasir stabil diperoleh :

Ini sudah menyerupai mekanisme wabah penyakit pada pandemi. ", Meskipun jarak jauh.

Dan jika di beberapa sel pada saat yang sama ada 4 butir pasir atau lebih, lalu apa? Bagaimana cara membuat tanah longsor? Jawab: itu tidak masalah.

Bukti

, - , ( , ):

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{1}, \dots, y_{k}

$y_1,\ldots,y_k$ (

x_{1}

$x_1$ . . , ).

x_{1}

$x_1$ , , . . -

y_{j} = x_{1}

$y_j=x_1$ . , — , , , — .

y_{j}

$y_j$ , , :

y_{j}, y_{1}, \dots, y_{j - 1}, y_{j + 1}, \dots, y_{k}

$y_j,y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1},\ldots,y_k$ .

y_{j} = x_{1}

$y_j=x_1$ , , ,

x_{1}

$x_1$ ,

x_{2}, \dots, x_{n}

$x_2,\ldots,x_n$

y_{1}, \dots, y_{j - 1}, y_{j + 1}, \dots, y_{k}

$y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1},\ldots,y_k$ . , — , , , .

Jika Anda membuang banyak, banyak butiran pasir ke dalam satu sel bidang tak berujung dan membiarkannya hancur, Anda mendapatkan mandala seperti itu:

Di sini, "banyak, banyak" adalah 30 juta, dan sel dengan 0, 1 , 2 , 3 butir pasir ditandai dengan piksel putih, hijau, ungu dan warna emas. Ada video di YouTube , Anda dapat melihat tampilannya dalam dinamika.

Tambah dan Kurangi

Karena kenyataan bahwa urutan tanah longsor tidak penting, adalah mungkin untuk menentukan operasi penambahan tumpukan pasir yang stabil: kami menempatkan satu di atas yang lain, menumpuk butiran pasir dari sel yang sesuai, dan membiarkannya hancur. Pada bidang yang tak terbatas, maka Anda harus berhati-hati memperkenalkan koordinat terkoordinasi pada kedua istilah tumpukan. Itu dapat dirawat dan tumpukan pasir di bidang kotak-kotak akhir - ketika butiran pasir hancur di tepi, mereka hilang selamanya (mereka mengatakan bahwa tepi lapangan terletak kletki tenggelam (tenggelam), atau satu kletischa besar, tidak masalah). Di bawah ini adalah contoh penambahan dua tumpukan pasir di bidang 3 × 3. Seperti yang Anda lihat, dua urutan runtuh yang berbeda mengarah ke hasil yang sama.

Mungkin juga pada torus, tetapi di dalamnya Anda masih harus membuat setidaknya satu sel pembuangan sehingga pasir bisa mengalir, jika tidak, urutan tanah longsor bisa tak terbatas.

Ternyata set tumpukan pasir stabil pada bidang tertentu (terbatas atau tak terbatas) memiliki struktur monoid komutatif : mereka dapat ditumpuk bersama (apalagi, penambahan ini bersifat komutatif dan asosiatif), dan bidang kosong tanpa sebutir pasir tunggal memainkan peran nol. Anda tidak bisa mengurangi tumpukan dengan begitu mudah: Anda bisa mendapatkan jumlah butir pasir yang negatif. Namun, kami juga akan membuat analog pengurangan, tetapi tidak untuk semua tumpukan, tetapi hanya untuk elit.

Sedikit aljabar. Idealdalam monoid komutatif disebut subsetnya yang invarian sehubungan dengan penambahan unsur-unsur monoid ini, termasuk bukan dari yang ideal. Artinya, jika Anda milik cita-cita, maka Anda tidak akan keluar darinya, apa pun yang Anda tambahkan ke diri sendiri. Misalnya, himpunan bilangan alami juga merupakan monoid komutatif, hanya berkenaan dengan perkalian, dan yang ideal di dalamnya adalah, misalnya, himpunan bilangan genap: yang bilangan genapnya tidak berlipat ganda, Anda selalu mendapatkan bilangan genap. Ideal minimum adalah titik temu semua (nonempty) ideal, itu sendiri juga ideal. Dalam contoh dengan bilangan asli, persimpangan semua cita-cita kosong adalah seperangkat kosong. Namun, dalam kasus monoida komutatif yang terbatas ini tidak demikian. Ada teorema tentang ideal minimal dalam monoid komutatif terbatas, yang sesuai dengannyaoleh grup (sehubungan dengan operasi yang sama yang ditentukan pada monoid): ada elemen netral (analog dari nol), dan setiap elemen memiliki kebalikan, yaitu, pengurangan ditentukan bersama dengan penambahan. Dalam kasus umum, ini terbukti membosankan, tetapi kami hanya tertarik pada tumpukan pasir.

Ambil tumpukan di bidang terakhir sehingga set tumpukan stabil terbatas. Perhatikan bahwa tumpukan pasir dengan jumlah maksimum butir pasir di setiap sel (yaitu, 3; sebut saja "tumpukan 3") milik setiap ideal di monoid tumpukan pasir stabil, karena Anda dapat menambahkan tumpukan stabil terpilih lainnya ke tumpukan stabil banyak untuk mendapatkan sekelompok 3 (tanah longsor tidak perlu dilakukan). Karenanya, ideal minimal dihasilkantumpukan 3: untuk mendapatkannya, Anda harus mengambil tumpukan 3 dan menambahkannya pada gilirannya semua jenis tumpukan pasir stabil. Ini akan menghasilkan subset tertentu dari set semua tumpukan stabil; itu tidak mengandung, misalnya, bidang kosong. Tumpukan pasir dari subset ini disebut berulang (recurrent).

Jadi, aljabar umum memberi tahu kita bahwa banyak tumpukan pasir adalah sebuah kelompok. Oleh karena itu, ia memiliki elemen terbalik dan netral. Elemen netral ( elemen identitas) adalah tumpukan kembali yang, ketika ditambahkan ke tumpukan kembali lainnya, tidak mengubahnya. Ngomong-ngomong, penambahan elemen netral hanya ditunjukkan dalam ilustrasi penambahan tumpukan.

Untuk mendapatkan elemen netral, Anda perlu membuang setiap sel dua kali lebih banyak dari jumlah maksimum butir pasir (mis. 6), biarkan hancur, lalu kurangi jumlah butiran pasir di setiap sel dari 6, biarkan hasilnya hancur.

Mengapa?

() 6 6, , , °, ( ) . : I = (6−6°)° , R (R+I)° = R. R , R = (3+S)° - S.

(R+I)° = ((3+S)°+(6−6°)°)° = (3+S+6−6°)° — - , . , , . : (3+S+6−6°)° = ((3−6°)+6+S)° = ((3−6°)+6°+S)° = (3+S)° = R, !

, 6 A (R+(A−A°)°)° = R. 6 , A−A° 3 , . . . — , , .

Bagaimana cara mengurangi?

I = (6−6°)° — , , R R⁻¹ — , R I: (R⁻¹+R)° = I. (2×(6−6°)−R)°, 2× .

Ini adalah bagaimana elemen netral dari kelompok tumpukan pasir (kembali) terlihat di bidang 1024 × 1024; sel-sel dengan 0, 1 , 2 , 3 butir pasir dalam sel diwarnai hitam, hijau, ungu dan emas.

Pada KDPV - sama untuk bidang 1000 × 500, dan ilustrasi penambahan tumpukan 3 × 3 juga menunjukkan elemen netral lokal.

Itu kamu mengerti. Grup berbeda, tetapi elemen netral di dalamnya biasanya terlihat sangat netral. Dalam kelompok beberapa angka penjumlahan, elemen netral adalah angka 0, dalam kelompok angka nol nyata atau kompleks dalam perkalian angkanya adalah 1, dalam kelompok vektor penjumlahan, vektor nol, dalam kelompok permutasi, permutasi adalah "semua yang ada di tempatnya", dalam grup gerakan - "jangan menyentuh apa pun." Dan di sini - keindahannya! Coba yang masih menghitung.

Pola

Baik di elemen netral dan di tumpukan yang hancur dari banyak butiran pasir dalam satu sel, klaim kesamaan diri terlihat. Selain itu, meskipun detail berubah ketika ukuran bidang diubah, gambar secara keseluruhan - seolah-olah peta fraktal area yang diisi dengan pola periodik sederhana yang dijahit dari serbet Sierpinski - tetap tidak berubah dan hanya detail saat bidang diperbesar.

Moritz Lang, CC BY-SA 4.0

Tampaknya tidak ada bukti fakta ini khusus untuk elemen netral pada kotak persegi. Tetapi untuk tumpukan yang hancur dari banyak partikel dalam satu sel, keberadaan ( pracetak , artikel ) dan fraktur ( pracetak , artikel ) terbukti) dari gambar yang dihasilkan dari kecenderungan jumlah butir pasir hingga tak terbatas dengan penyesuaian skala secara simultan.

Selain itu, keberadaan dan fraktur tumpukan pasir di bidang persegi terbatas (lebih tepatnya, batasnya untuk jumlah sel dalam bidang cenderung ∞), yang merupakan elemen netral dengan menambahkan 1 butir pasir di setiap sel (dengan peluruhan berikutnya, seperti biasa), telah terbukti.

Para penulis bukti ( pracetak , artikel ) dengan ramah menyediakan algoritma yang menggambarkan angka yang sesuai, yang, dengan implementasi yang disederhanakan, memberikan gambar seperti itu - bandingkan dengan gambar di atas:

Kode untuk Wolfram Mathematica

4- . , a_sk R , , -. 8 — L-, . , Clear[a].

qc = {{3, 0, 0}, {1 - I, 1 + I, 1}, {1 + I, 1, 1 - I}} / 3;
r = {{0, 1, 0}, {0, 0, 1}, {1, 0, 0}};
a[{}] = {0, -1, I};
a[{s___, k_}] := a[{s, k}] = qc.MatrixPower[r, k].a[{s}];
Graphics[Polygon /@ Table[ReIm @ a[s], {s, Tuples[Range[3], 8]}]]

Dalam segitiga melengkung membentuk gambar seperti fraktal, tidak hanya pola periodik homogen yang lebih atau kurang terlihat (terutama pada KDPV), tetapi juga "cacat" percabangan satu dimensi. Ini tampaknya merupakan kurva tropis . Dalam kasus apa pun, diketahui ( pracetak , artikel ) bahwa jika beberapa butir pasir yang terpisah dilemparkan pada bidang terakhir dengan 3 butir pasir di setiap sel, gambar grafik terbentuk sebagai hasil penumpahan, yang merupakan kurva tropis yang melewati butiran pasir butiran.

Variasi dan generalisasi

Para ahli otomasi seluler yang canggih telah memikirkannya: kita juga dapat mempertimbangkan tetangga sel dan mereka yang hanya memiliki sudut pandang yang sama dengannya ("daerah Moore"). Keruntuhan dalam hal ini harus terjadi ketika 8 butir pasir di kandang tercapai. Nah, 5 juta butir pasir di sel pusat berubah menjadi sosok seperti itu (warna: 0 - putih, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ):

Tentu saja, Anda dapat mempertimbangkan tidak hanya sel kuadrat, tetapi juga struktur reguler lainnya . Gambar-gambar yang sesuai ada di galeri di halaman salah satu penulis artikel di atas.

Selain itu, pasir dapat tersebar secara umum pada grafik apa pun, termasuk yang berorientasi: butiran pasir dikumpulkan pada titik, dan keruntuhan terjadi ketika jumlah butiran pasir di titik mencapai titik keluar dari titik (jumlah tepi yang berasal dari itu). Tetapi jika Anda ingin mempertimbangkan sekelompok tumpukan pasir pada grafik ini, maka itu harus terbatas, itu harus memiliki puncak wastafel, dan harus mungkin untuk mencapai itu dari titik mana pun. Namun, jika Anda membaca paragraf ini sama sekali, Anda mungkin sudah menemukan jawabannya.

Kode

Gim "Life" selalu menjadi salah satu tugas favorit saya saat mempelajari bahasa pemrograman baru. Tapi dia sudah mulai repot, jadi ketika saya membaca tentang tumpukan pasir, saya memutuskan bahwa ini adalah tugas yang bagus, cocok untuk berlatih dalam satu bahasa yang bagus, dan masih sedikit diketahui (seperti yang saya pikir) - mungkin saya akan menjadi yang pertama siapa itu Raste akan memprogram! Ya, schaz. Ada tumpukan pasir bahkan di Google Play - satu , dua . Jadi pada Rust, beberapa implementasi pada Github ditemukan; tetapi mereka tidak terlalu baik. Implementasi saya ada di github.com/colt-browning/sandpile. Anda dapat menggunakannya langsung pada baris perintah (walaupun, saya khawatir sistem dengan penulisan argumen Polandia ternyata rumit), Anda dapat menggunakannya sebagai perpustakaan. Penumpahan umumnya dilakukan dengan cara yang cukup mudah, tetapi prosedur yang dioptimalkan disediakan untuk kasus khusus yang penting.

Pertanyaan jawaban

Mengapa semua ini perlu?

Jawaban umum Sudah waktunya untuk menyebutkan model Buck - Than - Wiesenfeld. Kadang-kadang dicampur dengan model tumpukan pasir, tetapi akan lebih akurat untuk mengatakan bahwa ini adalah add-on atas kerangka pasir: kita mengambil tumpukan pasir di bidang persegi dan melemparkan satu butir pasir ke dalam sel-sel acak, mengawasi setiap kali bagaimana penumpahan terjadi dan berapa banyak sel yang akan mempengaruhi longsoran salju tanah longsor ( video) Dengan konfigurasi apa pun yang kita mulai, cepat atau lambat kita akan kembali untuk mengembalikan tumpukan. Eksperimen numerik menunjukkan bahwa distribusi ukuran longsoran adalah hukum kekuatan. Dalam sistem alami, respons terhadap fluktuasi biasanya meluruh secara eksponensial, dan distribusi kuasa-hukum terjadi di negara-negara yang disebut kritis - misalnya, dekat fase transisi. Namun, untuk masuk ke fase transisi, biasanya perlu "menyempurnakan" parameter sistem (suhu dan tekanan, misalnya, atau ada kemungkinan sisi dalam grafik jika kita berbicara tentang masalah perkolasi pada kisi atau Erdos - model Renyi.- ada juga transisi fase di sana). Dan dalam model BTV, kekuatan hukum muncul dengan sendirinya, tanpa penyesuaian. Ini disebut kritik terorganisir diri. BTV tidak hanya menghasilkan model tumpukan pasir, tetapi dari pekerjaan mereka, pasir dengan kokoh ditegakkan dalam sains di bawah bendera kekritisan yang terorganisir sendiri: kata mereka, jika kita memahami bagaimana kekritisan pengorganisasian muncul di pasir, itu akan membantu memahami dari mana asalnya dari prinsip. alam (dan dalam hukum kekuatan alam yang tidak jelas asalnya juga terjadi). Tampaknya hukum kekuatan untuk model BTV pada kotak persegi belum sepenuhnya ditetapkan, tetapi ada banyak hasil teoritis yang dekat (di sini adalah hasil yang lebih baru) dan, tentu saja, percobaan numerik dan bahkan skala penuh.

Jawaban jujur Ya, Anda hanya melihat gambar-gambarnya, sungguh indah!

Anda menghapus semua ini dari Wikipedia, dan mengunduh gambar dari sana

Saya tidak menulis dan mengunduh dari, tetapi menulis dan mengunggah ke.

Di mana lagi membaca tentang pasir?

Pertumbuhan Laplacian, timbunan pasir, dan batas skala - Ulasan 2017.
Model pasir - catatan dari program Summer School "Contemporary Mathematics" dari rekan penulis hasil tentang kurva tropis.

Fraktal di pasir, atau Lebih dari tiga tidak berkumpul