Get best of the week

Tentang matematika dan pandemi

Penafian 1

Saya seorang ahli matematika, BUKAN DOKTER, dan saya bukan spesialis khusus dalam epidemiologi, dan saya menulis karya ilmiah terakhir saya pada topik pemodelan epidemi hampir 20 tahun yang lalu. Untuk semua masalah kesehatan, coronavirus dan makna kehidupan, konsultasikan dengan dokter Anda, jangan menjadi orang bodoh.
Penafian 2

Di bawah ini akan ada sejumlah grafik. Sebelum membangunnya, saya sengaja mengkalibrasi dan menyederhanakan model, memisahkan diri dari parameter COVID-19. Grafik ini menunjukkan perkembangan epidemi virus bersyarat pada populasi bersyarat dalam waktu bersyarat. Jangan membuat prediksi tentang perjalanan pandemi saat ini, mengandalkan gambar-gambar saya, jangan menjadi orang bodoh.
Nah, sekarang ayo pergi! Untuk alasan yang jelas, sekarang minat terhadap pandemi apa pun telah cukup banyak melonjak, dan semua jenis model matematika dan tidak terlalu matematika berkeliaran di jejaring sosial dalam paket. Jumlah ahli epidemiologi dan spesialis dalam sistem persamaan diferensial sepenuhnya melampaui semua batas yang mungkin. Namun demikian, dalam semua kerusuhan informasi ini, perkolasi, imitasi stokastik, model anehnya diabaikan. Kami akan segera memperbaiki kekurangan ini. Ngomong-ngomong, untuk pertama kalinya tentang model seperti itu (dan juga banyak hal lainnya) saya membaca dalam sebuah buku yang luar biasa oleh Gould dan Tobochnik "Pemodelan komputer dalam fisika".

Menit Perawatan UFO


Pandemi COVID-19, infeksi pernafasan akut yang berpotensi parah yang disebabkan oleh coronavirus SARS-CoV-2 (2019-nCoV), telah secara resmi diumumkan di dunia. Ada banyak informasi tentang Habré tentang topik ini - selalu ingat bahwa Habré dapat diandalkan / bermanfaat, dan sebaliknya.

Kami mendesak Anda untuk kritis terhadap informasi apa pun yang dipublikasikan.


Sumber resmi

, .

Cuci tangan, rawat orang yang Anda cintai, tinggal di rumah kapan saja memungkinkan dan bekerja dari jarak jauh.

Baca publikasi tentang: coronavirus | kerja jarak jauh

Model perkolasi tampak sederhana. Untuk mulai dengan, kami menciptakan model komputer umum dari individu yang berpartisipasi dalam epidemi. Sesuatu yang tidak terlalu rumit: sehat, sakit, sembuh, mati, dan kondisi untuk transisi antar kondisi. Berdasarkan data statistik pada populasi yang diteliti, setiap contoh spesifik dianugerahi secara acak dengan karakteristik tertentu, à la usia, jenis kelamin (jika ini penting), kekuatan imunitas, dll. Setelah melakukan beberapa contoh instantiated seperti itu, kami menempatkannya di puncak grafik tertentu yang meniru koneksi sosial. Setelah ini, tetap menetapkan kondisi untuk penularan infeksi antara individu, menginfeksi beberapa yang beruntung pertama dan memulai epidemi.

Keuntungan besar dari pendekatan ini adalah kemudahan modifikasi dan kebebasan dari berbagai asumsi a priori, memungkinkan Anda untuk dengan cepat menjalankan model untuk berbagai skenario, bahkan eksotis. Kita akan melihat contoh di bawah ini. Sisi lain dari metode ini adalah bahwa deskripsi matematis yang ketat dan analisis efek yang timbul dalam sistem seperti itu seringkali sangat rumit (untuk membuatnya lebih sederhana). Namun, ini tidak ada salahnya kita bereksperimen.

Cukup bicara langsung ke pokok permasalahan! Ambil 16 juta patsak dan letakkan secara merata di hypersphere. Hubungkan tetangga di grafik dengan beberapa pola reguler. Ini adalah penyederhanaan yang adil untuk grafik sosial, tetapi, syukurlah, kami bukan Kementerian Kesehatan. Kami akan menyebarkan infeksi setiap hari dalam dua cara. Pertama, pada setiap langkah, patsak mungkin akan terinfeksi oleh tetangga yang sakit. Kedua, dengan beberapa kemungkinan lain, ia dapat terinfeksi pada setiap langkah dari patsaka yang tidak disengaja yang tidak termasuk dalam lingkungannya (efek dari "angkutan umum"). Dan akhirnya, penyakit itu sendiri. Kami mengambil periode pengangkutan tanpa gejala 10 langkah panjang, setelah itu patsak menunjukkan gejala dan tidak terlibat dalam penyebaran lagi. 10 langkah berikutnya, ia sakit, karena pada setiap langkah memiliki kesempatan untuk menumpuk. Setelah itu, dia pulih (jika dia selamat,tentu saja) dan memperoleh kekebalan persisten. Penaburan awal akan membutuhkan 100 patsaks.

Dalam kondisi ini, kita mendapatkan gambar berikut:



Violet menunjukkan persentase patsaks yang tidak terinfeksi, sakit kuning, hijau pulih, hitam - Anda mengerti.

Mari kita perhatikan lebih dekat pasien:



Di sini, di setiap langkah, persentase patsaks yang sakit, tetapi masih asimtomatik ditunjukkan dalam warna merah, dan dalam gejala biru yang menunjukkan.

Sekarang kembali ke jadwal pertama dan lihat lebih dekat pada fase awal epidemi (legenda adalah sama):



Ya ya. Ini adalah peserta pameran yang telah dimakan media sepanjang jalan. Jika dengan jari, maka asal dari eksponen yang sama ini adalah sebagai berikut: dalam kondisi ketika jumlah pembawa kecil, dan kehidupan sosial memasok pembawa dengan patsak acak baru yang tidak terinfeksi, jumlah infeksi baru berbanding lurus dengan jumlah pembawa. Secara matematis, ini ditulis sebagai persamaan diferensial



solusinya adalah, Anda tidak akan percaya, seorang peserta pameran. Hal semacam itu ditemukan di banyak tempat di alam, khususnya, salah satu contoh paling cemerlang, dalam segala hal, adalah reaksi berantai yang tidak terkendali. Kemudian, dengan peningkatan jumlah pembawa, hybriol untuk agen infeksi berakhir, tetapi dalam kerangka pandemi saat ini, misalnya, fase ini belum berlalu. Jika persamaan di atas sedikit rumit dan bengkok, untuk memperhitungkan kelengkapan sumber daya untuk reproduksi, maka kita mendapatkan persamaan Verhulst klasik (alias persamaan logistik):



landasan dinamika populasi. Jika Anda pernah mendengar tentang r-strategi dan K-strategi reproduksi, ini dinamai berdasarkan koefisien dari persamaan di atas. Solusi dari persamaan logistik oleh mata benar-benar tidak dapat dibedakan dari grafik dari gambar pertama (yang tidak terlalu mengejutkan), jadi saya tidak akan memberikannya secara terpisah. Sayangnya, persamaan Verhulst untuk masalah kita adalah penyederhanaan yang berlebihan, jadi kami mengucapkan selamat tinggal padanya dan melanjutkan.

Ayo ambil tindakan sekarang, katakanlah, kami akan mengirim patsaks untuk akhir pekan dan menutup transportasi umum dan acara sampai akhir epidemi. Dalam kerangka model, ini berarti bahwa infeksi sekarang hanya menyebar di sepanjang tepi grafik sosial, dari relatif ke relatif, dari teman ke teman. Ya, jelas, Chatlane tidak segera menyusul, jadi kami akan mengambil tindakan ketika 1000 patsaks sakit.

Pada skala waktu yang sama:



Dan



perhatikan, dalam percobaan terakhir, epidemi berhasil keluar tanpa "tindakan pembatasan", dan di sini bahkan tumbuh hingga puncaknya.

Mari kita lihat keseluruhan epidemi:



Seperti yang Anda lihat, waktu epidemi telah membentang berkali-kali.

Jadwal langkah demi langkah sangat penting:



Ukuran yang diambil adalah urutan besarnyamengurangi jumlah orang sakit pada saat yang sama. Mengapa ini penting akan dilihat di bawah ini.

Mungkin grafiknya tidak begitu terlihat, tetapi efek utamanya adalah bahwa setelah mengambil tindakan, peningkatan eksponensial dalam jumlah kasus hampir secara instan berubah menjadi hukum-kekuasaan. Secara kasar, ini dapat dijelaskan sebagai berikut: setiap pasien baru menjadi sumber infeksi itu sendiri dan mulai menginfeksi semua orang di sekitarnya (semacam prinsip infeksi Huygens). Tapi "sekitar" ini hanya dibatasi oleh beberapa tetangga yang tidak terinfeksi yang, ketika terinfeksi sendiri, menularkan infeksi lebih lanjut. Dengan demikian, "gelombang depan" terbentuk di sekitar wabah, yang menyebar dengan kecepatan konstan di semua arah (yang mengatakan "eikonal" adalah sesama yang baik), dan jumlah orang yang terinfeksi adalah volume "ruang" yang ditandai oleh gelombang depan, yang (geometri murni) sebanding dengan beberapa derajat jarak yang ditempuh oleh bagian depan.

Nah, percobaan terakhir untuk hari ini. Kami akan bermurah hati dengan sistem perawatan kesehatan, tetapi pada saat yang sama menambahkan realisme. Biarkan ambang saturasi menjadi 10% dari populasi sekaligus (ini jelas jauh lebih keren dari kenyataan) dan biarkan kemungkinan menempelkan sirip untuk patsaka yang tidak mendapatkan tempat tidur meningkat 10 kali lipat. Biarkan, akhirnya, Chatlanes tidak mengurus liburan untuk patsaks (tidak ada gunanya menghitung skenario seperti itu untuk liburan, Kementerian Kesehatan akan memiliki margin keamanan tiga kali lipat pada saat puncak). Lalu kita dapatkan:



Titik jenuh tercapai di wilayah langkah 75, tepat di atas huruf i. Agar Anda tidak tiba-tiba berpikir bahwa "Kementerian Kesehatan tidak diperlukan", berikut adalah beberapa jadwal untuk kasus ketika obat tidak cukup untuk menjadi terlalu jenuh, tetapi awalnya tidak (selamat datang di Abad Pertengahan):



Begitu seterusnya. Jangan sakit!

Bersambung.

More articles:


All Articles