📧 🛅 🚱 Matematika diskrit dalam ujian di ShAD 👼🏻 ♿️ 🐩

Halo! Nama saya Azat, saya membuat kursus untuk mempersiapkan ujian di SHAD. Baru-baru ini, kami meluncurkan kursus tentang matematika diskrit, sehingga tim kami secara aktif memecahkan masalah pada topik yang relevan. Setelah memeriksa ujian di SHAD 2019, kami melihat minat besar pengguna Habr dalam menghibur tugas dari ujian. Oleh karena itu, kami posting di sini 4 favorit dalam matematika diskrit. Bersenang senang lah!

Masalah 1 (26 Mei 2018, No. 5)

Nilai acak $X$ , 1 2, $\{1, 2, \ldots, n\}$ . , $X = 0$ . $X$ .

Bahkan, tugasnya lebih pada kombinatorik daripada pada theorver. Menurut definisi, distribusi $X$ Apakah nilainya $P(X = k)$ untuk semua kemungkinan $k$ . — , $k$ , , $n!$

. . (1 2), $k - 2$ $n - 2$ , $C_{n - 2}^{k - 2}$ . , , , $(n - k)!$ . , . , , . $a$ — $a_1 = b$ , $a_b$ , 1 $b$ ( ). , , $(k -1)!$ . :

P (X = k) = \frac{C_{n - 2}^{k - 2} \cdot (n - k)! \cdot (k - 1)!}{n!} = \frac{k - 1}{n (n - 1)}

$P(X = k) = \frac{C_{n - 2}^{k - 2} \cdot (n - k)! \cdot (k - 1)!}{n!} = \frac{k - 1}{n(n - 1)}$

, $k = 0$ $k = 1$ . $k = 1$ , , ( $P(X = 1) = 0$ , .. , ). , $k > n$ , $P(X = k) = 0$ ( ). , $P(X = 0)$ :

P (X = 0) = 1 - \sum_{k = 1}^{n} \frac{k - 1}{n (n - 1)} = 1 - \frac{1}{n (n - 1)} \cdot \frac{n (n - 1)}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

$P(X = 0) = 1 - \sum_{k = 1}^n \frac{k - 1}{n(n - 1)} = 1 - \frac{1}{n(n - 1)} \cdot \frac{n(n - 1)}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$X$ , :

E (X) = \sum_{k = 1}^{n} k \cdot \frac{k - 1}{n (n - 1)} = \frac{1}{n (n - 1)} (\sum_{k = 1}^{n} k^{2} - \sum_{k = 1}^{n} k) =

$E(X) = \sum_{k = 1}^n k \cdot \frac{k - 1}{n(n - 1)} = \frac{1}{n(n - 1)} \left( \sum_{k = 1}^n k^2 - \sum_{k = 1}^n k \right) =$

= \frac{1}{n (n - 1)} \cdot (\frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) - \frac{1}{2} n (n + 1)) = \frac{n + 1}{3}

$= \frac{1}{n(n - 1)} \cdot \left( \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1) - \frac{1}{2}n(n + 1) \right) = \frac{n + 1}{3}$

2 (4 2016, №3)

$X$ $Y$ $cov(X, Y) = 0$ . , .

, , , .

: 0 1, $P(X = 1) = p$ , $P(Y = 1) = q$ , $P(X = 1, Y = 1) = r$ . , $r = pq$ . , $E(X) = P(X = 0) \cdot 0 + P(X = 1) \cdot 1 = P(X = 1) = p$ , $E(Y) = P(Y = 0) \cdot 0 + P(Y = 1) \cdot 1 = P(Y = 1) = q$ , $E(XY) = P(X = 1, Y = 1) = r$ . $cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0$ , $E(XY) = E(X)E(Y)$ $r = pq$ .

, $X$ $Y$ : , ( , : $P(X = 1, Y = 0) = P(X = 1) - P(X = 1, Y = 1) = p - r$ , $P(X = 0, Y = 1) = P(Y = 1) - P(X = 1, Y = 1) = q - r$ , $P(X = 0, Y = 0) = 1 - P(X = 1, Y = 1) - P(X = 0, Y = 1) - P(X = 1, Y = 0)$ ). , , .

$P(X = a) = p, \ P(X = b) = 1 - p, \ P(Y = c) = q, \ P(Y = d) = 1 - q$ , $a < b$ $c < d$ . $X' = \dfrac{X - a}{b - a}$ $Y' = \dfrac{Y - c}{d - c}$ . , $X$ $a$ $b$ , $X'$ 0 1 , $Y$ . , $cov(X', Y') = 0$ , .

E (X^{'}) = \frac{E (X) - a}{b - a} E (Y^{'}) = \frac{E (Y) - c}{d - c}

$E(X') = \frac{E(X) - a}{b - a} \ \ \ E(Y') = \frac{E(Y) - c}{d - c}$

E (X^{'} Y^{'}) = E (\frac{X - a}{b - a} \cdot \frac{Y - c}{d - c}) = \frac{E (X Y) - c E (X) - a E (Y) + a c}{(b - a) (d - c)}

$E(X'Y') = E\left( \frac{X - a}{b - a} \cdot \frac{Y - c}{d - c} \right) = \frac{E(XY) - cE(X) - aE(Y) + ac}{(b - a)(d - c)}$

c o v (X^{'}, Y^{'}) = E (X^{'} Y^{'}) - E (X^{'}) E (Y^{'}) = \frac{E (X Y) - E (X) E (Y)}{(b - a) (d - c)} = \frac{c o v (X, Y)}{(b - a) (d - c)}

$cov(X', Y') = E(X'Y') - E(X')E(Y') = \frac{E(XY) - E(X)E(Y)}{(b - a)(d - c)} = \frac{cov(X, Y)}{(b - a)(d - c)}$

$cov(X, Y) = 0$ , $cov(X', Y') = 0$ , ...

3 (26 2018, №8)

100 , . , 90 . , 11 , .

, — , — . , 91 , 8 . , , , .

( , ). , , , , .., . . 1 9 , , $\lfloor \frac{100}{9} \rfloor = 11$ , .

4 (3 2017, №4)

Di Tyndex, setiap karyawan memiliki setidaknya 50 kenalan. Ternyata ada dua karyawan yang akrab satu sama lain hanya setelah 9 jabat tangan (yaitu, rantai penghubung terpendek dari orang-orang yang dikenal berpasangan berisi 8 orang menengah). Buktikan bahwa perusahaan ini memiliki sedikitnya 200 karyawan.

Keputusan

, 10 . $A_i$ $i$ - , $\forall i \ |A_i| \geq 50$ .

, $A_1, \ A_4, \ A_7, \ A_{10}$ . , . , $|A_1 \cup A_4 \cup A_7 \cup A_{10}| = |A_1| + |A_4| + |A_7| + |A_{10}| \geq 200$ , ...

Jika Anda memiliki ide lain untuk menyelesaikan masalah atau komentar, jangan ragu untuk menulis kepada saya di telegrams @ Azatik1000. Selalu senang menjawab!

Azat Kalmykov, kurator di ShAD Helper

Matematika diskrit dalam ujian di ShAD

Masalah 1 (26 Mei 2018, No. 5)

2 (4 2016, №3)

3 (26 2018, №8)

4 (3 2017, №4)

More articles: