Peluang empiris

(bingkai dari acara TV Monty Hall: tamu tidak dapat dengan benar menghitung probabilitas, jadi dia memenangkan llama yang terkejut alih-alih mobil).

Mari kita bahas apa yang kita maksudkan ketika kita mengucapkan kata " probabilitas ". Saya meminta Anda untuk mencoba menjawab pertanyaan ini bukan dari perspektif siswa atau ahli matematika "murni", tetapi dalam cara seorang insinyur, peneliti terapan, atau orang lain yang harus membuat keputusan berdasarkan data empiris harus memahaminya.

Pendekatan naif

Adapun saya secara pribadi, misalnya, pepatah: "koin simetris dengan probabilitas 50% jatuh ke atas rajawali," Saya mengerti sebagai berikut:

"Jika Anda melempar koin berkali- kali, maka dalam sekitar setengah kasing akan jatuh sehingga elang berada di atas ".

Lebih tepatnya, saya biasanya menggunakan aturan six-sigma yang disederhanakan, yang menurutnya dalam serangkaian, misalnya, dari 100 kali lemparan, jumlah elang yang jatuh akan ditentukan oleh rumus:

$$

$$100\ast\frac{1}{2}\pm\sqrt{100\ast\frac{1}{2}\ast\left(1-\frac{1}{2}\right)}$$

yaitu, terletak di antara 35 dan 65.

Tanpa keraguan, pernyataan saya mengandung kesalahan logis dan secara teoritis, menurut hasil percobaan, jumlah elang bisa kurang dari 35, atau lebih dari 65. Namun, jika dalam praktiknya dalam seratus pertama melemparkan jumlah elang benar-benar melampaui batas yang ditentukan, saya akan sangat terkejut dengan keadaan ini.

Perspektif Sains Akademik

Kontradiksi dan kesalahan tidak terlalu baik, meskipun jarang muncul. Mungkin ada beberapa cara yang lebih baik untuk memberi makna pada konsep probabilitas, metode tanpa kesalahan logis dan tidak bertentangan dengan pengalaman? Mari kita beralih ke sains untuk meminta nasihat - cobalah untuk mengingat program universitas!

Jika kita membatasi diri pada kasus-kasus ketika percobaan hanya memiliki sejumlah kemungkinan hasil yang terbatas , maka menurut program universitas tradisional, konsep probabilitas akan dikurangi untuk menetapkan setiap hasil dengan bobot non-negatif tertentu , dan persyaratan tambahan bahwa jumlah semua bobot sama dengan satu.

Disajikan dalam bentuk ini, teori probabilitas memang bebas dari kontradiksi (ia memiliki model) dan memungkinkan seseorang untuk secara resmi membuktikan banyak hasil yang menarik, seperti Hukum Angka Besar atau Teorema Batas Pusat. Namun, untuk pelaku percobaan, semua hasil ini tetap murni formal dan tidak memiliki arti sampai ia menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Bagaimana memilih bobot yang tepat untuk hasil percobaan tertentu?
2. Jika bobot ditetapkan secara tidak benar, dapatkah ini dipahami dari pengamatan?
3. Jika bobot ditetapkan dengan benar, prediksi apa yang dapat dibuat mengenai eksperimen di masa mendatang?

Teori abstrak

Pada titik ini saya ingin berhenti dan membuat komentar kecil tentang teori - teori abstrak dalam pengertian modern mereka. Menurut ahli matematika "murni", untuk membuat teori abstrak (urutan pertama), Anda hanya perlu melakukan tiga hal:

• Cadangan kata (string karakter) yang akan menunjukkan variabel formal

• Cadangan kata-kata yang akan menunjukkan hubungan formal (satu, dua, tiga ... lokal) antara variabel formal
• Dengan menggunakan hubungan formal antara variabel formal sebagai pernyataan atom, tuliskan sejumlah rumus logis yang akan berfungsi sebagai aksioma formal dari teori abstrak Anda.

Biarkan saya memberi Anda sebuah contoh sederhana.

Kami mencadangkan semua huruf kecil dari alfabet Latin sebagai nama variabel formal.

Kami mencadangkan dua kata: "is_direct" dan "is_point" - untuk hubungan formal tunggal dan dua kata lagi: "milik" dan "coincides_s" - untuk hubungan ganda dari teori kami.

Sebagai aksioma, kita mengambil pernyataan logis berikut:

i) Untuk semua a , b : jika [ a is_direct] dan [ b is_direct] dan bukan- [ a coincides_ with b ], maka ada d sedemikian sehingga: [ d is_point] dan [ d milik a ] dan [d milik b ] dan (untuk setiap c : jika [ c milik suatu titik ] dan [ c milik a ] dan [ c milik b ], maka [ c cocok_ ke d ])

ii) Untuk semua a , b : jika [ a adalah titik] dan [ b is_point] dan bukan- [ a_ cocok dengan b ], maka ada d sedemikian rupa sehingga: [ d is_direct] dan [ a milik d ] dan [ b milikd ] dan (untuk semua c : jika [ c yavlyaetsya_pryamoy] dan [ a anggota c ] dan [ b milik c ], maka [ c sovpadaet_s d ])

(Garis paralel berpotongan. Ilustrasi diambil dari robinurton.com)

Demi keterbacaan, saya lampirkan pernyataan atom dalam tanda kurung siku. Jika Anda mempelajari geometri projektif, Anda mungkin belajar dalam contoh ini aksioma bidang projektif abstrak. Diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia, aksioma i) mengatakan bahwa setiap dua garis lurus yang berbeda berpotongan tepat pada satu titik, dan aksioma ii) - bahwa setiap garis lurus melewati dua titik yang berbeda.

Perlu diingat di sini bahwa variabel formal dan hubungan formal hanyalah urutan karakter yang dicetak atau tulisan tangan. Ketika Anda membuat teori abstrak, bahkan tidak perlu untuk mengasumsikan bahwa variabel formal dalam kenyataan dapat berarti beberapa hal, dan hubungan formal adalah hubungan nyata antara hal-hal ini. Dengan demikian, makna dalam pernyataan formal pada awalnya tidak ada.

Menggunakan hubungan formal antara pernyataan formal sebagai rumus atom, selain aksioma, Anda dapat membuat pernyataan logis formal lainnya. Jika salah satu dari pernyataan ini dapat disimpulkan dari aksioma teori sesuai dengan aturan logika simbolik, maka itu akan menjadi teorema (formal) untuk teori ini. Sama seperti aksioma formal, teorema formal pada awalnya tidak membawa makna apa pun dan tidak mengungkapkan sifat dunia di sekitar kita.

Lalu mengapa teori abstrak dibuat?

Model dan Interpretasi

Ambil beberapa saran dari pidato kita sehari-hari, misalnya: "Seekor kucing hitam duduk di jendela." Kalimat yang sama dapat ditulis secara berbeda: "Ada x dan y sedemikian rupa sehingga: [ x yavlyaetsya_koshkoy] dan [ x imeet_chernyy_okras] dan [ y yavlyaetsya_oknom] dan [ x sidit_na y ]».

Seperti yang Anda lihat, kalimat komik kami di entri kedua memiliki beberapa kesamaan dengan pernyataan logis formal. Namun, perlu dicatat bahwa ada perbedaan penting di antara mereka. Sementara variabel formal dan hubungan formal yang membentuk pernyataan formal tidak ada artinya, variabel x dan ydalam contoh terakhir, objek empiris ditetapkan: kucing dan jendela tertentu, dan masing-masing hubungan: "menjadi kucing", "menjadi jendela", "have_black_color", "sit_on" - mengacu pada kualitas empiris individu atau timbal balik yang saling ditentukan dari objek-objek ini.

Yang dimaksud dengan "empiris" adalah konsep apa pun yang dapat didefinisikan semata-mata dalam hal data empiris, dan di samping itu, ada algoritma untuk memahami apakah konsep itu ada pada data eksperimen atau tidak. Semua konsep yang digunakan dalam fisika makroskopik begitu panjang, massa, kekuatan saat ini, atau jumlah energi adalah empiris, dan konsep "dewa" dan "kebenaran" tidak dianggap seperti itu saat ini.

Variabel yang menunjukkan objek empiris, dan hubungan yang memanggil properti empiris, masuk akal untuk memanggil materi. Jadi, jika semua pernyataan atom dari formula logis tertentu adalah hubungan material antara variabel material, maka semua pernyataan atom dan formula logis ini secara keseluruhan menjadi bermakna, yaitu, mereka memperoleh makna dan signifikansi. Makna mereka adalah dalam pernyataan properti tertentu dari dunia sekitarnya, dan artinya adalah kebenaran atau salah.

Cara paling sederhana adalah memastikan bahwa beberapa pernyataan logis yang bermakna benar, berulang kali ditetapkan eksperimen atau pengamatan jangka panjang dunia. Misalnya, untuk menganggap pernyataan itu benar: "Anda tidak dapat memasukkan gajah ke dalam kotak dari bawah korek api", Anda hanya perlu mencoba mendorongnya ke sana berkali-kali.

Menjadi makhluk yang pintar secara alami, orang dengan cepat menyadari bahwa untuk memverifikasi setiap pernyataan secara empiris adalah panjang dan tidak selalu aman untuk kehidupan. Karena itu, mereka dengan cepat menemukan cara lain. Sebenarnya, ternyata melakukan manipulasi tertentu pada set pernyataan benar, orang bisa mendapatkan banyak pernyataan logis baru dan semuanya secara ajaib ternyata benar.

Kejutan besar adalah bahwa jenis manipulasi yang disebutkan dan aturan untuk penggunaannya sama sekali tidak memerlukan pengetahuan tentang makna dari pernyataan, tetapi hanya bergantung pada cara menulis formula logis mereka. Misalnya, apa pun pernyataan bermakna A dan B , atau jika pernyataan " A " dan "Jika A , maka B " keduanya benar, maka pernyataan " B " juga ternyata benar .

Jadi, untuk memahami apakah pernyataan itu benar, tidak perlu lagi tahu maknanya. Sebagai hasilnya, sekarang siapa pun dapat mengambil daftar formula logis yang sewenang-wenang, dan menganggapnya “benar” secara kondisional (dengan kata lain, aksioma formal), menggunakan serangkaian manipulasi tertentu (aturan inferensi formal), mendapatkan formula logis lain, yang “benar” kondisional.

Manfaat dari latihan yang tampaknya tidak berarti seperti itu hanya dapat muncul ketika orang lain yang berurusan dengan eksperimen memutuskan untuk beberapa alasan menggunakan variabel formal dan hubungan formal sebagai nama untuk objek nyata dan sifat empiris timbal balik mereka. Solusi semacam itu sendiri berarti bahwa teori formal memiliki interpretasi yang bermaknadan setiap pernyataan dalam bahasanya menjadi bermakna dan mendapatkan makna.

Jika teori ditafsirkan sedemikian rupa bahwa semua aksioma yang berubah menjadi benar, maka semua teorema yang akan menjadi kenyataan, interpretasi itu sendiri dianggap konsisten untuk teori ini dan berfungsi sebagai (bahan) yang Model .

Contoh
Mari kita kembali ke teori abstrak dari bidang proyektif dan dengan tiga cara "menghirup" makna ke dalamnya.

1. . :
   «_» ;
   «_» — , , ;
   «» — ;
   «» «» «» — .
   
2. .
   «» , - ;
   «» — , , , ;
   «» «» — , , .
   
3. : , .
   «». , ;
   «» — , ;
   «» — ( );
   «» — .
   

Interpretasi pada 1) bukan model. Memang, pada lembaran Whatman yang datar beberapa garis akan sejajar dan tidak berpotongan, meskipun lembaran itu besar tanpa batas. Dua sisanya berfungsi sebagai model untuk pesawat proyektif.

Pemeriksaan kesalahan

Apa yang terjadi jika seorang eksperimen, yang mencoba menjelaskan pengamatannya, memilih teori "salah"? Sebagai aturan, dalam kasus seperti itu, pelaku eksperimen akan dengan cepat menemukan perbedaan antara apa yang diprediksi teori dan apa yang sebenarnya terjadi.

(Ketika ada sesuatu yang salah dengan model dunia Anda)

Ambil, misalnya, seorang surveyor. Selama dia berurusan dengan plot datar kecil, keakuratan alat ukur yang digunakan olehnya tidak memungkinkan untuk mendeteksi pelanggaran aksioma atau teorema geometri Euclidean. Namun, layak bagi surveyor tanah untuk melakukan pekerjaan pada skala planet, ketika garis lurus berpotongan dua kali ditemukan, dalam segitiga besar jumlah sudut berubah, dan keliling berhenti sama dengan π r. Perbedaan antara prediksi dan data eksperimen harus memaksa surveyor untuk mengambil beberapa geometri lainnya sebagai model.

Contoh lain adalah seorang fisikawan. Selama pengamatannya berhubungan dengan benda yang bergerak lambat, ia dapat dengan aman menerapkan aturan Galilea untuk menambah kecepatan dan dinamika Newton: dalam akurasi yang diperlukan, prediksi teoritis akan bertepatan dengan hasil eksperimen. Namun, jika seorang fisikawan mencoba menerapkan teori yang sama (pada dasarnya abstrak) untuk memprediksi lintasan elektron dalam akselerator partikel elementer, itu akan mengalami kegagalan yang menghancurkan: hukum dunia Lorentzian berlaku di sini.

Reaksi kontradiksi untuk penggunaan yang tidak tepat adalah fitur "sopan" dari hampir semua teori ilmiah-alami. Jika mereka tidak memilikinya, maka, seperti yang akan Anda lihat nanti, berdasarkan data empiris yang sama, para peneliti dapat membuat kesimpulan yang valid, tetapi bertentangan.

Jadi, kembali ke topik utama kita. Cobalah untuk menggambar di imajinasi Anda tiga matematikawan yang meminta pejalan kaki acak melemparkan salah satu koin yang ia miliki seratus kali berturut-turut.

Matematikawan pertama menyarankan bahwa koin tersebut akan dijelaskan oleh teori tes Bernoull dengan bobot 1/2 untuk elang dan ekor. Yang kedua pernah membaca bahwa teknologi koin melanggar simetri koin, jadi dia memilih teori uji Bernoulevsky, di mana ekor memiliki bobot 1/3, dan elang memiliki berat 2/3. Matematikawan ketiga menyukai filosofi dan, demi eksperimen eksistensial, menetapkan bobot 1 untuk elang dan ekor 0. Sebagai hasilnya, ketiga matematikawan dipilih menurut teori abstrak, dengan bantuan mereka akan melihat hasilnya.

Dalam empat puluh tujuh dari seratus lemparan, koin jatuh elang.

Ahli matematika pertama menyatakan bahwa hasilnya menyimpang dari rata-rata yang dihitung olehnya kurang dari "tiga sigma", dan tidak ada kontradiksi antara interpretasi dan pengalamannya.

Ahli matematika kedua menyatakan bahwa hasilnya menyimpang dari rata-rata yang dihitung olehnya lebih dari "tiga sigma", bahwa bobot total hasil tersebut kurang dari 5/1000 dan tidak ada kontradiksi antara interpretasi dan pengalamannya.

Filsuf itu menyatakan bahwa menurut perhitungannya, bobot urutan yang diperoleh dalam percobaan adalah nol, bobot total semua urutan termasuk setidaknya satu kisi juga nol, dan tidak ada kontradiksi antara interpretasi dan pengalamannya.

Rupanya, kita harus mengakui bahwa masing-masing ahli matematika itu benar. Lalu apa arti dari timbangan yang ditugaskan?

Bukti

Seperti yang telah disebutkan, dengan memilih teori yang sesuai dan membangun interpretasinya, peneliti diberi kesempatan untuk membuktikan kebenaran hipotesis menggunakan prosedur derivasi formal saja. Keyakinan akan kebenaran pernyataan yang berasal dari aksioma hanya ditentukan oleh kepercayaan sehubungan dengan kebenaran aksioma itu sendiri dalam pengertian yang ditafsirkan.

Penggunaan metode deduktif tidak melarang mencari pola secara langsung dalam data dan mencoba membenarkannya secara eksperimental. Selain itu, kedua pendekatan ini tidak setara: fakta bahwa suatu hipotesis memiliki justifikasi eksperimental tidak berarti bahwa adalah mungkin untuk membuktikan hipotesis ini secara formal, seperti halnya sebaliknya. Sebagai contoh, berkat pengalaman pribadi, saya hampir yakin bahwa semua gagak berwarna hitam, dan berkat teorema geometri, bahwa area lingkaran dengan jari-jari satu kilometer adalah π kilometer persegi. Pada saat yang sama, saya tidak punya teori untuk secara formal membuktikan pernyataan pertama, dan tidak ada pengalaman untuk secara eksperimental mendukung pernyataan kedua.

Dalam kasus di mana hipotesis keteraturan empiris memiliki justifikasi eksperimental dan dapat secara resmi dibuktikan dalam kerangka teori yang diterima, dikatakan bahwa keteraturan ini menerima penjelasan teoretis . Misalnya, pola yang ditemukan oleh Kepler dalam bentuk orbit benda langit memiliki penjelasan teoretis dalam kerangka teori gravitasi Newton.

Jika Anda memikirkannya, pola apa pun adalah batasan tertentu dari kemungkinan hasil pengamatan: gagak hanya bisa berwarna hitam, area lingkaran tidak boleh lebih besar atau lebih kecil dari π r ² , planet tidak dapat bergerak kecuali dalam elips.

Juga harus secara intuitif jelas bahwa metode inferensi formal tidak memiliki hak untuk memperkenalkan batasan tambahan apa pun dibandingkan dengan yang diberlakukan oleh nilai aksioma yang bermakna. Memang, seandainya sebaliknya, sebuah situasi akan muncul ketika aksioma itu "benar" dan salah satu teorema bertentangan dengan pengamatan.

Faktanya, pernyataan substantif dari teorema hanyalah rumusan yang mudah dari batasan “aksioma” agregat yang diterapkan pada beberapa keadaan tertentu. Sebagai contoh, eliptisitas dari orbit adalah konsekuensi dari Hukum gravitasi dan tiga hukum dinamis Newton dalam keadaan ketika salah satu dari dua benda langit adalah satu yang berat dan "tidak bergerak", dan yang kedua ringan dan tidak bergerak terlalu "cepat".

Kesimpulan untuk paragraf ini adalah pernyataan berikut: "Pembatasan yang diberlakukan oleh aksioma teori harus, secara agregat, tidak lebih lemah daripada pembatasan yang diberlakukan oleh hukum empiris yang akan dijelaskan oleh eksperimen oleh ahli teori ini.

Raja Telanjang

“Di ibu kota raja ini, hidup sangat ceria; hampir setiap hari tamu asing datang, dan sekarang dua penyesat muncul. Mereka berpura-pura menjadi penenun dan mengatakan bahwa mereka dapat membuat kain yang begitu indah sehingga tidak mungkin untuk membayangkan sesuatu yang lebih baik: selain dari pola dan warna yang luar biasa indah, ia juga memiliki properti yang luar biasa - menjadi tidak terlihat oleh orang yang tidak berada di tempat atau bodoh yang tak dapat ditembus secara bodoh. . "
.................................................. ........................ Hans Christian Anderson "Gaun Baru Raja"


(siswa Perancis menuntut filsafat sains baru. Sumber: salamancartvaldia.es)

Mari kita kembali ke teori probabilitas dan tiga matematika dengan koin.

Bagaimana menurut Anda, jika matematikawan mencoba mengulangi percobaan mereka berkali-kali, akankah mereka menemukan hukum empiris? Dengan kata lain, akankah mereka dapat membuat kesimpulan yang valid bahwa beberapa jenis rangkaian dalam percobaan mereka tidak dapat diamati?

Dan pertanyaan kedua: jika ada hukum empiris, lalu mana di antara mereka yang bisa dijelaskan dalam kerangka teori probabilitas yang diterima secara umum?

Saya takut mengecewakan Anda, tetapi jawaban untuk pertanyaan kedua sangat sederhana: "Tidak ada."

Memang, semua makna yang bermakna dari aksioma probabilitas mensyaratkan bahwa bobot yang diberikan pada elang dan ekor tidak bersifat negatif dan, secara keseluruhan, memberikan kesatuan. Ketika persyaratan ini dipenuhi, setiap urutan elang dan ekor diperbolehkan dalam pengamatan, karena tidak mengubah bobot yang ditetapkan dan dengan demikian tidak menciptakan kontradiksi dengan aksioma. Ini mengarah pada kesimpulan: dalam nilainya yang berarti, aksioma teori probabilitas tidak memaksakan dengan tepat segala pembatasan pada hasil pengamatan yang mungkin dan oleh karena itu, dalam pengertian logis yang ketat, tidak dapat menjelaskan pola apa pun dalam data.

Berkenaan dengan pertanyaan tentang keberadaan hukum empiris, pendapat ganda dimungkinkan di sini.

Di satu sisi, jika koin tidak dibuat dengan trik khusus, maka dalam setiap percobaan dapat jatuh, baik dengan elang dan ekor, sehingga percobaan dapat berakhir dengan urutan apa pun dari mereka, yang berarti hukum empiris, dalam definisi yang ketat dari konsep ini, - tidak.

Di sisi lain, bahkan mencurahkan seluruh hidup untuk percobaan pada koin simetris, tidak mungkin untuk dapat melihat setidaknya satu seri 100 kali lemparan, di mana tidak akan ada lebih dari 10 elang (dalam satu seri, peluangnya kurang dari 1 dalam 10 ¹⁵⁾) Yang terakhir berarti bahwa pelaku eksperimen, dengan hati nurani yang jelas, memiliki hak untuk menerima pernyataan: "Dalam serangkaian 100 lemparan, koin simetris akan jatuh ke atas dengan elang setidaknya 11 kali" sebagai keteraturan empiris yang beralasan.

Di sini kita dengan jelas sampai pada kontradiksi antara filsafat sains dan akal sehat, manakah yang mengikuti?

Ketika sampai pada keputusan tertentu, kita harus bertindak tegas: menyerang - atau membela, mengoperasikan - atau terus memperlakukan secara medis, membuat kesepakatan - atau menolak tawaran itu. Dalam keadaan seperti itu, Anda tidak akan dapat menggunakan teori probabilitas dengan cara apa pun tanpa terlebih dahulu membuat kesalahan dalam menafsirkannya. Dalam beberapa kasus, kejadian yang tidak biasa harus dianggap tidak mungkin, dalam kasus lain, perlu untuk mengganti probabilitas dengan frekuensi atau memikirkan ekspektasi matematis sebagai nilai rata-rata untuk serangkaian eksperimen terbatas.

Alasan untuk situasi aneh ini hampir tidak layak dicari dalam cacat dari teori probabilitas abstrak: ada setiap alasan untuk percaya bahwa disiplin matematika ini hanya konsisten. Adalah masalah lain bahwa teori apa pun yang didasarkan pada filosofi “Ya” dan “Tidak” yang jelas, “Kebenaran” absolut dan “Realitas obyektif” tidak mungkin sesuai dengan pemahaman intuitif kita tentang “probabilitas” dan bagaimana mengukurnya. Bahkan tidak ada kepastian yang lengkap bahwa konsep ini nyata, dan bukan penyederhanaan dari beberapa konsep yang belum ditemukan (Seperti dulu dengan "Ruang Surgawi" atau "Angin Semangat").

Jika sebuah teori tidak sepenuhnya dikembangkan, dan interpretasinya sering bertentangan, apakah ada baiknya mempraktikkan teori ini? Dalam kasus-kasus ketika hasilnya tidak jauh berbeda dari akal sehat - mungkin sepadan! Sebagai contoh, Leibniz, Euler, Lagrange, Fourier dan banyak orang sezaman mereka berhasil menggunakan "Analisis Infinitesimal" jauh sebelum mereka berhasil menciptakan setidaknya beberapa teori bilangan real.
Jangan mengambil ilmu terlalu ketat!

Sebagai lelucon April Mop yang terlambat.
Sergey Kovalenko. Magnolia@bk.ru

tahun 2020 (penulis: Alexas_Fotos)