Get best of the week

Matematikawan telah membuktikan hukum turbulensi universal

Menggunakan proses acak, tiga matematikawan telah membuktikan hukum elegan yang mendasari gerakan kacau sistem turbulen




Bayangkan sungai yang tenang. Sekarang bayangkan aliran air berbusa yang cepat. Apa perbedaan di antara mereka? Untuk ahli matematika dan fisika, terdiri dari fakta bahwa sungai yang tenang mengalir dalam satu arah, dan aliran badai mengalir dalam beberapa arah sekaligus.

Sistem fisik dengan gerakan tidak sistematis semacam itu disebut turbulen . Karena kenyataan bahwa gerakan mereka memiliki banyak karakteristik pada saat yang sama, sangat sulit untuk mempelajarinya secara matematis. Lebih dari satu generasi ahli matematika akan berubah sampai para peneliti belajar menggambarkan sungai yang bergejolak dengan ekspresi matematika yang tepat.

Namun bukti barumengatakan bahwa meskipun beberapa sistem turbulen tampaknya memberontak, pada kenyataannya mereka mematuhi satu hukum universal. Makalah ini memberikan salah satu deskripsi turbulensi paling keras yang pernah diberikan oleh matematika. Dan itu muncul berkat serangkaian metode baru yang dengan sendirinya mengubah proses para peneliti yang mempelajari fenomena yang sampai saat ini tidak patuh ini.

"Mungkin ini adalah pendekatan turbulensi yang paling menjanjikan," kata Vladimir Sverak , seorang ahli matematika di University of Minnesota, seorang ahli turbulensi.

Pekerjaan baru menyediakan cara untuk menggambarkan pola yang muncul dalam cairan yang bergerak. Mereka dapat dengan jelas terlihat pada contoh fluktuasi tajam suhu di titik-titik tetangga samudera atau gambar-gambar memukau yang diperoleh dengan mencampurkan warna hitam dan putih. Pada tahun 1959, ahli matematika Australia George Batchelor meramalkan bahwa pola-pola ini memiliki perilaku yang akurat dan teratur. Bukti baru mengkonfirmasi kebenaran "Hukum Batchelor," sebagaimana prediksi ini disebut.

"Hukum Batchelor dapat dilihat di mana-mana," kata Jacob Bedrossian, seorang ahli matematika di University of Maryland di College Park, co-penulis bukti dengan Alex Blumenthal dan Samuel Panshon Smith . "Dengan membuktikan hukum ini, kami lebih mampu mewujudkan universalitasnya."

Turbulensi dari atas ke bawah


Dan meskipun bukti baru tidak menggambarkan proses yang persis sama yang terjadi di jalur turbulen sungai, mereka terkait erat dengan mereka dan cukup akrab bagi kita. Oleh karena itu, mari kita bayangkan dulu sebelum beralih ke jenis turbulensi khusus yang telah dianalisis oleh matematikawan.

Bayangkan wastafel dapur penuh air. Air mulai berputar di wastafel hampir seperti satu massa. Jika kita meningkatkan cairan dan mengukur kecepatannya dalam skala yang lebih kecil, kita akan melihat hal yang sama - setiap bagian mikroskopis dari cairan bergerak sesuai dengan yang lain.

"Gerakan ini sebagian besar terkait dengan skala seluruh keong," kata Blumenthal, seorang postdoc dari University of Maryland di College Park.


Alex Blumenthal, seorang postdoc dari Maryland University College Park

Sekarang bayangkan bahwa alih-alih membiarkan air mengalir dengan menarik keluar gabus, Anda menambahkan jet air ke wastafel, memutarnya seperti di jacuzzi. Dengan mata telanjang Anda bisa menangkap banyak pusaran air yang muncul di air. Pilih salah satu dari mereka dan tingkatkan skalanya. Jika Anda seorang ahli matematika yang mencoba menganalisis aliran kerang yang bergolak, Anda bisa berharap bahwa setiap partikel air dalam pusaran air yang dipilih bergerak ke arah yang sama. Ini akan sangat memudahkan kerja pemodelan cairan.

Tetapi, sayangnya, Anda akan menemukan bahwa pusaran air itu sendiri terdiri dari banyak pusaran air kecil, yang masing-masing bergerak dengan cara khusus. Perbesar gambarnya, dan Anda akan melihatnya lagi, pada gilirannya, terdiri dari berbagai pusaran air, dan seterusnya, hingga skala terkecil, hingga efek gesekan internal (atau viskositas) cairan mengambil dan memuluskan aliran.

Ini adalah tanda yang jelas dari sistem turbulen - perilaku berbeda dari subsistem yang tertanam satu sama lain pada skala yang berbeda. Untuk sepenuhnya menggambarkan gerakan sistem turbulen, perlu untuk menggambarkan apa yang terjadi pada semua skala ini pada waktu tertentu. Tak satu pun dari mereka yang bisa diabaikan.

Ini adalah persyaratan serius - mirip dengan memodelkan lintasan pergerakan bola bilyar, dengan mempertimbangkan segalanya sepenuhnya, dari pergerakan Bumi melalui Galaksi, hingga interaksi molekul gas dengan bola.

"Saya harus memperhitungkan semuanya sekaligus, yang membuat tugas ini sangat sulit untuk dimodelkan," kata Jean-Luc Tiffo dari University of Wisconsin, yang mempelajari turbulensi.

Akibatnya, matematikawan telah berusaha selama beberapa dekade untuk membuat deskripsi turbulensi yang secara akurat menggambarkan apa yang terjadi di setiap titik sistem turbulen pada waktu tertentu. Dan tidak berhasil.

"Turbulensi terlalu kompleks untuk menyerang di dahi," kata Tiffo. Ini berlaku untuk sungai yang bergolak dan tenggelam dengan cairan bocor. Ini juga berlaku untuk versi khusus turbulensi yang digunakan dalam bukti baru.

Aduk


Cangkang dan sungai adalah contoh turbulensi hidrodinamik. Mereka bergolak dalam arti bahwa vektor kecepatan fluida - arah dan kecepatan partikel - sangat bervariasi dari titik ke titik. Karya baru ini menggambarkan sifat-sifat lain dari cairan kecuali vektor kecepatan yang dapat diukur pada setiap titiknya. Untuk memahami apa artinya ini, bayangkan perpaduan warna.

Mari kita mulai dengan kaleng cat putih. Kami akan menambahkan hitam satu tetes per detik, aduk cat. Tetesan pertama akan jatuh ke cat putih dan akan menonjol seperti pulau. Namun segera akan mulai larut dalam cat putih, membentang menjadi garis-garis yang semakin tipis. Tetesan cat hitam berikutnya akan berada pada tahap yang berbeda dari transformasi yang sama: meregangkan, memperpanjang, menuangkan ke dalam cat, yang secara bertahap berubah menjadi abu-abu.

d2r55xnwy6nx47.cloudfront.net/uploads/2020/02/Saintillan-simulation_600x600.mp4

Saat vektor kecepatan berubah dari titik ke titik di wastafel di mana air dicampur, konsentrasi cat hitam putih akan berubah dari titik ke titik dengan pencampuran: pada beberapa di tempat-tempat konsentrasinya akan lebih besar (garis-garis lebih tebal), di beberapa kurang.

Opsi ini adalah contoh dari "turbulensi skalar pasif". Ini terjadi ketika satu cairan, "skalar pasif" disuntikkan, dan susu ditambahkan ke yang lain dalam kopi, cat hitam putih.

Turbulensi skalar pasif juga menggambarkan banyak fenomena alam - perubahan mendadak suhu antara titik-titik dekat lautan. Dalam lingkungan seperti itu, arus lautan "mencampur" suhu dengan cara yang sama seperti warna hitam dan putih bercampur.

Hukum Batchelor memprediksi rasio jumlah fenomena skala besar (pusaran tebal cat atau aliran air laut dengan suhu yang sama) dengan jumlah fenomena pada skala yang lebih kecil (garis tipis cat) saat mencampur cairan. Ini disebut hukum karena fisikawan telah mengamati fenomena ini dalam percobaan selama bertahun-tahun.

"Dari sudut pandang fisika, ini sudah cukup untuk menyebutnya hukum," kata Panshon Smith, ahli matematika di Brown University. Namun, sebelum pekerjaan ini tidak ada bukti matematis dari kinerja yang sangat diperlukan.


Hukum Batchelor memprediksi rasio jumlah fenomena skala besar (pusaran tebal cat atau aliran air laut dengan suhu yang sama) dengan jumlah fenomena pada skala yang lebih kecil (garis tipis cat) saat mencampur cairan. Rasio ini tetap tidak berubah saat diperbesar, karena boneka bersarang kecil menjaga proporsinya besar.

Untuk mewujudkan gagasan Batchelor, kembalilah ke cat. Bayangkan Anda melanjutkan percobaan ini sebentar, menambahkan tetes cat hitam dan aduk. Sekarang hentikan waktu. Anda akan melihat strip tebal cat hitam (paling sedikit diuleni), strip lebih tipis (mereka diuleni lebih lama), dan bahkan lebih tipis (mereka diuleni lebih lama).

Hukum Batchelor memperkirakan bahwa jumlah strip tebal, strip lebih tipis dan sangat tipis mematuhi proporsi yang tepat - sesuatu seperti boneka mematuhi proporsi yang sama.

"Potongan-potongan sisik yang berbeda terlihat dalam pecahan cairan yang diberikan, karena sebagian tetesan baru saja mulai bercampur, dan beberapa telah dicampur untuk beberapa waktu," kata Blumenthal. "Hukum Batchelor menjelaskan distribusi ukuran strip cat hitam." Sulit untuk menggambarkan proporsi yang tepat secara singkat, tetapi lebih banyak strip tipis yang diperoleh daripada yang tebal, dan beberapa kali tertentu.

Undang-undang memperkirakan bahwa proporsinya tetap dipertahankan bahkan jika Anda melihat fragmen cairan dengan peningkatan. Strip dengan berbagai ketebalan, baik di area kecil cairan dan di seluruh bank, akan memiliki rasio kuantitas yang persis sama; dan memperkecil, kita akan melihat rasio yang sama. Polanya sama pada semua skala, seperti pada turbulensi hidrodinamik, di mana di setiap pusaran air ada pusaran air kecil.

Prediksi yang agak berani, yang, apalagi, sulit untuk dimodelkan secara matematis. Bersarangnya fenomena yang kompleks pada skala yang berbeda membuat mustahil untuk secara akurat menggambarkan penampilan hukum Batchelor dalam aliran cairan tunggal.

Tetapi penulis karya menemukan cara untuk mengatasi kompleksitas ini dan membuktikannya.

Pendekatan acak


Bedrossian, Blumenthal dan Punchon Smith telah mengadopsi pendekatan yang mempertimbangkan perilaku rata-rata cairan di semua sistem turbulen. Matematikawan telah mencoba strategi ini sebelumnya, tetapi tidak ada yang berhasil menerapkannya.

Pendekatan ini berhasil karena keacakan kadang-kadang memungkinkan prediksi yang akurat dari perilaku sistem. Bayangkan sebuah papan vertikal bertabur paku. Letakkan koin di atasnya dari atas, dan akan memantul paku sampai menyentuh salah satu slot di bawah. Sulit untuk memprediksi di mana koin tertentu akan jatuh - terlalu banyak faktor yang mempengaruhi di mana ia akan memantul setelah setiap tabrakan.


Samuel Punchon Smith

Sebagai gantinya, Anda dapat menganggap sistem sebagai acak - dan untuk setiap paku ada kemungkinan koin akan memantul ke kanan dan kiri. Jika probabilitas dihitung dengan benar, maka akan mungkin untuk membuat prediksi yang akurat tentang perilaku sistem secara keseluruhan. Misalnya, Anda mungkin menemukan bahwa koin lebih cenderung jatuh ke dalam slot tertentu.

"Apa yang baik dengan keacakan adalah kemampuan untuk melakukan rata-rata," kata Tiffo. "Rata-rata adalah ide yang sangat andal, dalam arti bahwa banyak detail kecil tidak menyentuhnya."

Apa artinya ini untuk turbulensi dan pencampuran warna? Karena pernyataan yang tepat dan deterministik berada di luar ruang lingkup matematika, akan lebih berguna untuk membayangkan bahwa kekuatan acak tertentu bertindak pada cat - kadang-kadang mengganggu di sini, kadang di sana, tanpa keteraturan. Pendekatan ini disebut acak, atau stokastik. Ini memungkinkan matematikawan untuk menggunakan perhitungan statistik tingkat tinggi dan mempelajari apa yang terjadi dalam sistem secara keseluruhan, tanpa mengubur diri mereka dalam spesifikasi setiap detail.

"Sedikit kebetulan memungkinkan kita untuk mengatasi kesulitan," kata Punchon Smith.

Ini, akhirnya, memungkinkan tiga matematikawan untuk membuktikan hukum Batchelor.

Memahami campuran


Salah satu cara untuk membuktikan hukum fisik adalah dengan membayangkan kondisi yang akan membatalkannya. Jika dapat dibuktikan bahwa kondisi tersebut tidak muncul, maka akan membuktikan bahwa hukum selalu berfungsi. Tim menyadari bahwa untuk menghindari hukum yang diprediksi oleh hukum Batchelor, menguleni harus memiliki karakteristik yang sangat spesifik.

Bukti hukum dibagi menjadi empat karya yang diterbitkan secara online antara September 2018 dan November 2019. Tiga yang pertama berfokus pada memahami gerakan tertentu dari campuran cat yang tidak memungkinkan hukum Batchelor untuk bekerja dan mengecualikan gerakan tersebut. Mereka membuktikan bahwa bahkan jika Anda mengambil cairan yang diformulasikan khusus untuk mengalahkan hukum Batchelor, polanya tetap akan muncul di dalamnya.

"Hal utama yang perlu Anda pahami adalah cairan itu tidak bisa mengandung apa pun yang melawan Anda," kata Bedrossian.


Jacob Bedrossian

Misalnya, hukum Batchelor tidak akan berfungsi jika proses pencampuran menghasilkan pusaran air yang terus-menerus, atau corong, pada cat. Corong semacam itu akan menahan beberapa tetes cat hitam di satu tempat - seperti serpihan di tepi sungai - dan cat tersebut tidak akan bercampur.

“Dalam pusaran air seperti itu, jalur partikel tidak akan kacau; mereka tidak terpisah dengan cepat, tetapi berputar bersama, ”kata Bedrossian. "Jika sistem Anda tidak mencampur cat dengan kecepatan yang tepat, hukum Batchelor tidak akan terwujud."

Dalam karya pertama, matematikawan fokus pada apa yang terjadi selama proses pencampuran dengan dua titik tinta hitam yang semula bersebelahan. Mereka membuktikan bahwa titik mengikuti jalur acak dan menyimpang ke arah yang berbeda. Dengan kata lain, titik-titik yang berjarak dekat tidak bisa terjebak dalam pusaran air yang akan membuat mereka tetap bersama sepanjang waktu.

"Awalnya, partikel bergerak bersama," kata Blumenthal, "tetapi pada akhirnya mereka terpisah dan menyimpang ke arah yang sama sekali berbeda."

Dalam karya kedua dan ketiga, mereka tampak lebih luas pada proses pencampuran. Mereka membuktikan bahwa dalam cairan yang kacau, dalam kasus umum, cat hitam dan putih bercampur secepat mungkin. Kemudian mereka menentukan bahwa ketidaksempurnaan lokal (pusaran air) tidak akan terbentuk dalam cairan turbulen, yang dapat mengganggu penampilan gambar global yang elegan yang dijelaskan oleh hukum Batchelor.

Dalam tiga karya pertama, penulis melakukan perhitungan matematika yang rumit yang diperlukan untuk membuktikan bahwa cat tersebut bercampur secara menyeluruh dan acak. Di keempat, mereka menunjukkan bahwa dalam cairan dengan sifat pencampuran seperti itu, hukum Batchelor muncul sebagai konsekuensi yang diperlukan.

Ini adalah salah satu pernyataan matematis terkuat tentang sistem turbulen. Lebih penting lagi, ini memberi kita peluang untuk aliran ide matematika baru. Turbulensi adalah fenomena kacau, hampir acak dalam gerakannya. Tiga ahli matematika menemukan cara untuk menangani keacakan menggunakan keacakan. Spesialis lain di bidang ini hampir pasti akan mengikuti mereka.

"Kontribusi terbesar mereka adalah menyediakan platform bagi kami untuk membangun bukti," kata Tiffo. "Saya pikir kebetulan adalah salah satu dari beberapa cara untuk membangun model turbulensi yang secara matematis dapat kita pahami."

More articles:


All Articles