Hukum Faraday atau bagaimana magnet terjebak dalam pipa tembaga

Gambar diambil dari situs Popular Mechanics.Banyak yang

telah melihat pengalaman dengan magnet permanen, yang tampaknya terjebak di dalam tabung tembaga berdinding tebal. Pada artikel ini kita akan memahami fisika prosesnya.
Pertama, kita menulis rumus medan magnet dari magnet permanen, dan menghitung fluks magnet mana yang melewati penampang pipa, kemudian membuat magnet bergerak dan mencari tahu apa yang diinduksi arus listrik yang timbul dalam logam, berapa daya listrik yang dihamburkan, menulis dan menyelesaikan persamaan gerak dari magnet permanen.

Dan jika Anda membaca di tempat ini dan tidak takut, selamat datang di kat - maka akan lebih menarik!

Saya sendiri sudah lama berpikir untuk benar-benar memahami masalah ini. Dan baru-baru ini, percakapan dengan seorang rekan kerja dimulai. Anaknya diminta untuk melakukan demonstrasi ilmiah di sekolah, di mana ayah mendapat sepotong pipa tembaga dan magnet neodymium-besi-boron. Anak itu mengerti, menunjukkan pengalaman di depan kelas, memberikan penjelasan, tetapi baik kelas maupun gurunya tidak terlalu terkesan. Pada sebuah kompetisi percobaan ilmiah, sebuah gunung berapi (!) Dari soda dan asam sitrat menang =) Rekan saya dan saya melihat sekilas dan menyadari bahwa itu jelas, bahwa itu gelap. Dan dalam literatur tidak banyak yang ditulis tentang topik ini. Percakapan ini dan memotivasi saya untuk mencoba melewati hutan. Dalam artikel ini saya menulis apa yang saya lakukan.

Deskripsi percobaan

Mari kita mulai dengan menonton video yang menunjukkan pengalaman. Sebelum menggali teori, akan berguna untuk menyajikan gambaran tentang apa yang terjadi secara umum. Di Internet, pengalaman ini telah dijelaskan dan ditunjukkan di video berkali-kali. Tapi saya juga perlu menggambarkannya di sini, sehingga nanti jelas dari apa kita menolak.

Eksperimen menempatkan magnet permanen dalam bentuk bola kecil di pipa tembaga, yang dipegangnya secara vertikal. Berlawanan dengan harapan, bola tidak jatuh melalui pipa dengan percepatan gravitasi, tetapi bergerak di dalam pipa jauh lebih lambat.

Jadi, dalam pengalaman kami mengamati bagaimana magnet permanen bergerak di dalam pipa tembaga berongga dengan kecepatan konstan. Kami memperbaiki titik sembarang di tubuh tabung tembaga dan secara mental menggambar penampang. Fluks magnet yang dihasilkan oleh magnet permanen melewati bagian pipa tembaga ini. Karena fakta bahwa magnet bergerak sepanjang pipa, sebuah variabelfluks magnet, naik atau turun tergantung pada apakah magnet mendekati atau bergerak menjauh dari titik di mana kita secara mental melakukan bagian tersebut. Menurut persamaan Maxwell, fluks magnet bolak-balik menghasilkan medan listrik pusaran, secara umum, di seluruh ruang. Namun, hanya jika ada konduktor, apakah medan listrik ini diatur dalam muatan bebas gerak yang terletak di dalam konduktor - apakah arus listrik melingkar muncul, yang telah menciptakan medan magnetnya sendiri dan berinteraksi dengan medan magnet dari magnet permanen yang bergerak. Sederhananya, arus listrik melingkar menciptakan medan magnet dengan tanda yang sama dengan magnet permanen, dan gaya disipatif tertentu bekerja pada magnet, dan khususnya gaya gesekan. Pembaca dapat mengajukan pertanyaan dengan tepat:"Gesekan bagaimana dengan apa?" Gesekan terjadi antara medan magnet dipol dan konduktor. Ya, gesekan ini bukan mekanis. Sebaliknya, tubuh tidak menyentuh. Baiklah, biarkan! Masih ada gesekan!

Secara umum, dalam kata-kata semuanya terlihat lebih atau kurang kompleks, tetapi dapatkah ini dijelaskan dalam bahasa matematika? Mari kita mulai ...

Deskripsi matematis

Hal pertama yang pertama, kita membutuhkan model matematika dari magnet permanen. Menurut pendapat saya, akan lebih mudah untuk membayangkan magnet permanen sebagai dipol magnetik.

$$

$$\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\frac{3(\vec{p}_m\cdot\vec{r})\vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{p}_m}{r^3}\right)$$

Notasi diterima di sini. $$$\vec{r}=(r,z)$ Apakah vektor jari-jari dari pusat dipol ke titik pengamatan, $$$\vec{p}_m$Apakah vektor momen dipol.

Selanjutnya, kita perlu menulis$$$z$- komponen vektor induksi magnetik untuk menghitung fluks magnet yang ditangkap pada penampang logam pipa tembaga. Kami menulis$$$z$-komponen medan magnet di sini

$$

$$B_z(r,z) = \frac{\mu_0\,p_m}{4\pi}\frac{2z^2 - r^2}{\left(r^2 + z^2\right)^\frac{5}{2}}$$

Sekarang kita menulis ekspresi untuk fluks magnet melalui area yang dicakup oleh lingkaran jari-jari $$$r$ pada jarak $$$z$ dari dipol.

$$

$$\Phi(r,z) = \int_0^{2\pi}\int_0^r B_z(r',z)\,r'\,dr'\,d\varphi = 2\pi\int_0^r \frac{\mu_0\,p_m}{4\pi}\frac{2z^2 - r'^2}{\left(r'^2 + z^2\right)^\frac{5}{2}}\,r'\,dr'$$

Anda tidak akan mempercayainya, tetapi integral ini diambil. Saya tidak akan membosankan. Jawabannya sangat indah

$$

$$\Phi(r,z) = \frac{\mu_0\,p_m}{2}\frac{r^2}{\left(r^2 + z^2\right)^\frac{3}{2}}$$

Karena kenyataan bahwa dipol bergerak di sepanjang sumbu $$$z$ dengan kecepatan $$$v$, Anda juga harus melakukan pencarian standar $$$\Phi(r, z)\rightarrow \Phi(r, z - v t)$
Tampaknya sudah waktunya untuk meminta bantuan salah satu persamaan Maxwell yang hebat, yaitu persamaan yang menggambarkan hukum Faraday :

Perubahan fluks magnet melewati permukaan terbuka $$$S$diambil dengan tanda yang berlawanan sebanding dengan sirkulasi medan listrik dalam loop tertutup $$$L$yang merupakan batas permukaan $$$S$

$$

$$\oint_L \vec{E}\,dl = -\frac{\partial}{\partial t}\int_S \vec{B}\,d\vec{s}$$

Atau, hal yang sama

$$

$$2\pi r E_\varphi = -\frac{\partial}{\partial t}\Phi(r,z - v t)$$

Di sini kami menggunakan simetri aksial dari masalah sehubungan dengan sumbu $$$z$, dan juga memperhitungkan bahwa medan listrik yang diinduksi hanya memiliki komponen azimut $$$\vec{E} = E_\varphi \vec{e}_\varphi$.
Dari sini orang dapat menemukan komponen azimut dari medan listrik yang disebabkan oleh magnet.

$$

$$E_\varphi(r,z) = -\frac{1}{2\pi r}\frac{\partial}{\partial t}\Phi(r, z - v t)=-\frac{3\mu_0\,p_m}{4\pi}\frac{rv(z-v t)}{\left(r^2 + (z-v t)^2\right)^\frac{5}{2}}$$

Sekarang kita memiliki ekspresi untuk medan listrik, kita dapat mengingat kembali pipa itu. Seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas, jari-jari bagian dalam pipa adalah$$$a$dan eksternal - $$$b$. Bahan pipa adalah tembaga. Saat ini, kita hanya perlu konduktivitas listrik tembaga. Kami menyatakan konduktivitas oleh$$$\sigma$.
Medan listrik di dalam konduktor menyebabkan arus listrik. Oleh karena itu, kita dapat menulis hukum Ohm dalam bentuk diferensial

$$

$$\vec{j} = \sigma \vec{E}$$

Arus listrik, pada gilirannya, menyebabkan kerugian ohmik di dalam konduktor. Dengan kata lain, energi dihamburkan di dalam konduktor dan masuk ke dalam bentuk panas, dalam kasus kami, dalam seluruh volume konduktor.
Kepadatan daya volume kerugian ohmik menurut definisi sama dengan

$$

$$w = \vec{j}\cdot\vec{E} = \sigma E^2$$

Di sisi lain, ketika magnet bergerak dari atas ke bawah, energi potensial magnet di medan gravitasi bumi berkurang, namun, kecepatan gerak tetap konstan, yaitu, tidak tumbuh , seperti yang terjadi dengan jatuh bebas. Ini berarti hanya satu hal: energi potensial magnet dihamburkan di dalam konduktor. Dan dari sudut pandang gaya yang bekerja pada magnet, gaya gesekan bekerja padanya, yang memperlambatnya dan menghilangkan energi potensial magnet menjadi panas.
Kami sekarang menulis keseimbangan daya dalam masalah: laju penurunan energi potensial sama dengan kekuatan kerugian ohmik dalam konduktor.

$$

$$\frac{dE_p}{dt} = P$$

$$

$$-mg\dot{z} = \int_V w\,dV$$

$$

$$mgv = \int_{-\infty}^{\infty}\int_0^{2\pi}\int_a^b \sigma E^2\,r\,dr\,d\varphi\,dz$$

Perlu dicatat di sini bahwa energi potensial dalam koordinat yang ditunjukkan pada gambar di atas akan sama dengan $$$E_p = - mgz$, dan untuk menemukan kekuatan total kerugian ohmik, perlu untuk diintegrasikan $$$w$di seluruh volume konduktor. Kami menganggap panjang pipa tidak terbatas. Ini tidak jauh dari kebenaran, mengingat bahwa dalam percobaan dari video, diameter magnet jauh lebih kecil daripada panjang pipa.

Tiga integral terakhir terlihat sangat rumit. Dan begitulah adanya! Tapi, pertama, integrasi azimut$$$\varphi$ dapat diganti hanya dengan mengalikan dengan $$$2\pi$karena simetri aksial dari masalah. Kedua, tatanan integrasi dalam integral khusus ini dapat diubah dan pertama-tama diintegrasikan$$$z$dan setelah itu $$$r$. Ketiga, saat berintegrasi$$$z$ melebihi batas tak terbatas, kita dapat dengan aman membuang istilah tersebut $$$-vt$. Integral yang tersisa diambil oleh mesin.

$$

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{z^2\,dz}{\left(r^2 + z^2\right)^5} = \frac{5\pi}{128r^7}$$

Hasilnya adalah jawaban untuk kekuatan penuh dari kerugian ohmik

$$

$$P = \frac{15}{1024}\,\mu_0^2\,p_m^2\,\sigma\left(\frac{1}{a^3} - \frac{1}{b^3}\right)v^2 = k\,v^2$$

Di sini, setelah tanda sama dengan kedua, kami menetapkan koefisien gesekan

$$

$$k = \frac{15}{1024}\,\mu_0^2\,p_m^2\,\sigma\left(\frac{1}{a^3} - \frac{1}{b^3}\right)$$

Perhatikan bahwa koefisien gesekan $$$k$ hanya bergantung pada magnetisasi magnet $$$p_m$, sifat bahan konduktor $$$\sigma$ dan dimensi geometris pipa $$$a$ dan $$$b$- yaitu, itu hanya bergantung pada parameter magnet dan pipa dan tidak tergantung, misalnya, pada kecepatan atau waktu. Ini adalah pertanda baik bagi kami dan kredit kecil untuk formula yang ditemukan! Dari sini menjadi jelas mengapa pipa tembaga dipilih untuk menunjukkan pengalaman, dan bukan, katakanlah, pipa baja. Gesekan linear tergantung pada konduktivitas$$$\sigma$, dan dalam baja konduktivitas adalah urutan besarnya lebih rendah.



Sekarang bisa merekam

$$

$$mgv=kv^2\\mg = kv$$

Dan tiba-tiba (!), Di hadapan kita adalah hukum ketiga Newton! Kekuatan aksi sama dengan kekuatan reaksi. Kita dapat menemukan kecepatan magnet yang stabil

$$

$$v_s = \frac{mg}{k}$$

Persamaan gerak

Itu adalah pergantian persamaan gerak. Menggunakan hukum kedua Newton, ini akan ditulis dengan sangat sederhana

$$

$$ma=mg - kv\\ m\ddot{z} + k\dot{z} = mg$$

Selesaikan persamaan untuk $$$z(t)$tidak menarik, karena well, hanya koordinat yang berubah dengan kecepatan konstan. Jauh lebih bermanfaat untuk mengetahui seberapa cepat jatuhnya stabil, yang sama dengan jatuhnya tingkat steady state. Secara umum, Anda perlu menyelesaikan persamaan ini untuk kecepatan

$$

$$\dot{v} + \frac{k}{m} v = g$$

Dan solusinya akan menjadi

$$

$$v(t) = v_0\,e^{-\alpha t} + v_s\left(1 - e^{-\alpha t}\right)$$

Sini $$$\alpha = k/m$- koefisien atenuasi. Waktu karakteristik untuk mencapai mode jatuh stabil adalah$$$\tau = \alpha^{-1}$. Kecepatan mulai -$$$v_0$, kecepatan stabil - $$$v_s$.

Secara umum, ini adalah persamaan dari skydiver. Ini mungkin mengapa artikel Popular Mechanics disebut "Magnetic Parachute".

Eksperimen numerik

Dan sekarang akan ada sesuatu yang semua ini dipahami. Anda membawa teori di sini, Anda tahu. Apa yang dia mampu? Tiba-tiba saja itu seperti bayangan di pagar pial? Atau tidak berfungsi sama sekali ...

Pertama, Anda harus berurusan dengan geometri masalah. Video dari MIT, oleh karena itu, adalah Amerika. Saya akan mencoba menebak ukuran instalasi demo mereka dalam inci (mereka juga suka mengukur semuanya dalam inci). Ukuran magnetnya hampir sama$$$d = 1/2$berdiameter inci. Ini adalah salah satu yang dijual. Maka massa dari magnet tersebut akan menjadi sekitar$$$m = 8$ d Panjang pipa tembaga mirip dengan $$$l = 12$ inci (1 kaki), dan diameter dalam dan luar pipa kemungkinan besar $$$2a = 3/4$ inci $$$2b = 3/2$inci.

Dengan geometri, semacam diurutkan. Sekarang sifat fisiknya. Konduktivitas tembaga$$$59.5\times 10^6$S / m

Sebelumnya telah ditulis di sini bahwa saya tidak dapat menghubungkan magnetisasi residual dari magnet neodymium dengan momen magnet yang setara. Tetapi ada orang-orang baik di komentar. PenggunaDenishwsumber yang disarankan (lihat paragraf 5 dalam daftar referensi) tempat Anda dapat membaca, membantu membuat perhitungan yang diperlukan, dan bahkan memeriksanya pada simulator FEMM.


Perhitungan medan magnet bola dari NdFeB pada simulator FEMM. Gambar disediakan oleh penggunaDenishw

Jadi, apa yang ditemukan. Magnet NdFeB termasuk dalam kelas paramagnet, karena di bawah pengaruh medan eksternal, medan internal diperkuat. Selain itu, paduan NdFeB mampu mempertahankan bidang internal setelah penghentian bidang eksternal. Fakta ini mengklasifikasikan NdFeB sebagai ferromagnet. Jika kita menyatakan induksi medan internal magnet oleh$$$B$, dan medan magnet luar $$$H$lalu persamaan

$$

$$B = \mu \mu_0 H = (1 + \chi)\mu_0 H = \mu_0(H + I)$$

Sini $$$\chi$ - kerentanan magnetik zat, dan $$$I$Adalah vektor magnetisasi zat.

Ketika sebuah magnet dibuat di sebuah pabrik, magnet itu bermagnet oleh medan eksternal.$$$H$dan kemudian medan eksternal dimatikan, dan magnet mempertahankan beberapa magnetisasi residual $$$B_r$. Diketahui bahwa untuk magnet neodymium, magnetisasi remanen adalah sekitar$$$B_r = 1\,..\,1.3$ T. Sekarang, jika Anda mengecualikan bidang eksternal $$$H$ dari persamaan sebelumnya, kita dapatkan

$$

$$B_r = \mu_0I$$

Di mana kita menemukan momen magnetik per satuan volume material $$$I$ sebagai

$$

$$I = \frac{B_r}{\mu_0}$$

Untuk menemukan momen magnet magnet secara keseluruhan, Anda perlu mengalikannya $$$I$ per volume bola $$$V$

$$

$$p_m=IV=I\cdot\frac{4}{3}\pi\left(\frac{d}{2}\right)^3$$

Untuk sisa magnetisasi $$$B_r = 1$ T diperoleh $$$p_m = 0.853$Am².
Di bawah ini adalah grafik$$$z$- komponen medan magnet tergantung pada koordinat radial dalam masalah kami pada jarak setengah diameter bola.


$$$z$-komponen medan magnet di dekat permukaan magnet permanen

Setelah dimungkinkan untuk mengukur dengan perangkat. Bidang langsung pada permukaan magnet tersebut biasanya kurang dari magnetisasi residual dan jumlahnya sekitar beberapa ribu gauss. Apa yang saya ukur untuk magnet persegi panjang adalah sekitar 4.500 Gs. Oleh karena itu, kami memiliki hasil yang sangat realistis pada plot medan magnet.

Sekarang kita akan menggunakan solusi persamaan gerak untuk memplot kecepatan magnet. Untuk semua parameter yang dipilih di atas, koefisien gesek sama dengan$$$k = 1.015$ N / (m / s), kecepatan tetap - $$$v_s = 7.77$cm / s - hanya sekitar 3 inci per detik! Dalam video, bola melewati pipa 12 inci dalam waktu sekitar 4 detik.


Grafik untuk menyelesaikan persamaan gerak magnet dalam pipa tembaga


Dan kami melanjutkan. Disipasi daya sekitar$$$P \approx 6$ mW, dan waktu karakteristik untuk mencapai kondisi mapan adalah $$$\tau \approx 8$MS Di bawah ini adalah grafik.$$$v(t)$ untuk dua kecepatan awal yang berbeda: nol, dan $$$v_0 = 15$cm / s.

Dan di samping itu, penggunavashu1dengan tepat mengatakan bahwa akan menyenangkan mengetahui arus yang diinduksi dalam pipa tembaga. Yah, dan itu mungkin. Mengintegrasikan

$$

$$J = \int_{0}^{\infty}\int_a^b \sigma E(r,z)\,dr\, dz = \frac{\sigma\, v\,\mu_0\, p_m}{4\pi}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$$

Diintegrasikan oleh $$$z$perlu menurut batas semi-tak terbatas, karena di bagian lain dari pipa arus mengalir ke arah yang berlawanan. Saya mendapat jawabannya$$$J = 20$A. Sejujurnya, saya tidak berharap mendapatkan arus besar. Di penggunavashu1ternyata 50 A, yang ternyata juga tidak jauh dari kenyataan. kupikirvashu1Saya menghitung jumlah arus di seluruh pipa, yang, karena alasan kekuatan, juga masuk akal.

Inilah studi semacam itu. Harapan itu menarik. Tinggalkan komentar anda Saya akan mencoba menjawab semua orang. Jika Anda menyukai artikel ini, dukung penulis suka atau plus dalam karma. Terima kasih sudah membaca.

literatur

1. Jackson, J. Elektrodinamika klasik: Per. dari bahasa Inggris Dunia, 1965.
2. Landau, L.D., & Lifshitz, E.M. (1941). Teori medan. Moskow; Leningrad: Gedung Penerbitan Negara literatur teknis dan teoritis.
3. Sivukhin, D. V. “Kursus umum fisika. Volume 3. Listrik. " Moskow, penerbit "Science", edisi utama literatur fisik dan matematika (1977).
4. Yavorsky, B. M., dan A. A. Detlaf. "Buku Pegangan Fisika." (1990).
5. Kirichenko N.A. Listrik dan magnet. Tutorial - M.: MIPT, 2011 .-- 420 hal.