Get best of the week

Hukum alam dan matematika elegan: masalah dan solusi

Jika matematika dapat memberi kita penjelasan elegan tentang banyak fenomena fisik, kadang-kadang dalam situasi nyata kita perlu mengarungi setumpuk data numerik




Sejak zaman Pythagoras, orang-orang percaya pada kemampuan khusus matematika yang indah untuk mengungkapkan kepada kita semua rahasia dunia. Kami menggunakan artikel terkenal oleh Eugene Wigner " Efektivitas Matematika yang Tidak Beralasan dalam Ilmu Pengetahuan Alam " untuk membahas topik ini dengan pembaca dan memecahkan beberapa masalah yang berkaitan dengannya. Tugasnya adalah untuk menunjukkan bahwa, meskipun matematika benar-benar sangat berguna untuk membuat model ideal dan penjelasan elegan dari banyak fenomena fisik, dalam situasi nyata kadang-kadang perlu untuk mengarungi setumpuk data numerik.

Skenario 1: Kesederhanaan dan keseragaman


A) Objek meluncur di atas permukaan yang homogen, memiliki kecepatan awal 1. Untuk setiap unit jarak, kecepatannya berkurang 1/10 dari nilai yang dimilikinya sebelum mulai melewati segmen khusus ini. Seberapa jauh suatu objek dapat berjalan sebelum benar-benar berhenti? Apa rumus umum untuk menghitungnya?

Tugas ini memiliki tangkapan. Pada pandangan pertama, ia mengingat paradoks Zeno dari Achilles dan kura-kura, yang menghasilkan deret geometri tak terhingga 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... untuk waktu dan jarak. Meskipun urutan ini tidak terbatas, ia menyatu, dan karena itu dimungkinkan untuk menghitung jumlah totalnya (dalam hal ini, 2). Oleh karena itu, dalam hal ini, jarak terbatas tercakup dalam waktu terbatas [orang dapat berargumen: di sini kita tidak berbicara tentang model matematika, tetapi tentang gerakan nyata, dan oleh karena itu tidak masuk akal untuk membatasi analisis paradoks ke matematika - karena Zenon hanya mempertanyakan penerapan yang diidealkan pada gerakan nyata konsep matematika / kira-kira. diterjemahkan.].

Teks tersembunyi
, , , . , () , . , , , . , , , . , , . D T – , ( ):

D=log⁡(T9+1)log⁡109



, , – . ? , ! , , , , , , , , , , , , . , , , , . , . - , . : « , ; , ». , , , . , , , .

, , , , , , , . , .


B) Mesin dapat bergerak maju dan menyamping, dengan kemudahan yang sama. Kecepatan jelajah normal ke segala arah adalah 1 unit pada permukaan yang halus. Gambar tersebut menunjukkan bahwa dia perlu mengatasi 10 strip terrain, yang masing-masing memiliki panjang 10 unit dan lebar 1 unit. Panjang strip tegak lurus terhadap arah di mana mesin perlu bergerak. Mesin ini terletak di tengah-tengah strip pertama, yang halus (garis-garis halus ditandai dengan abu-abu). Setelah itu, garis-garis tidak beraturan (ungu) dan halus berganti.



Namun, penyimpangan pada garis tidak rata tidak sama. Setiap strip terdiri dari 10 bagian persegi, yang bisa kita bayangkan dalam bentuk penyimpangan jalan buatan. Kekasaran berdiri berdampingan, ukuran masing-masing adalah 1x1. Properti mereka bervariasi. Penyimpangan dapat memperlambat kecepatan jelajah mesin dengan nilai dari 50% menjadi 95%, dan nilai ini diubah dalam langkah 5%. Masing-masing garis yang tidak rata terdiri dari 10 jenis penyimpangan, dengan urutan acak (strip ungu pertama menunjukkan salah satu opsi yang memungkinkan untuk distribusi penyimpangan). Mesin dapat membaca kekasaran area yang terletak tepat di depannya (tetapi hanya satu), dan dapat bergerak menyamping dengan kecepatan jelajahnya sama dengan 1, sehingga, jika diinginkan, kekasaran lain akan bergerak, yang akan memperlambatnya tidak terlalu banyak. Untuk ini, tentu saja,waktu akan berlalu, dan jika dia bergerak ke samping dengan beberapa kotak, lebih banyak waktu akan dihabiskan. Setelah mengatasi setiap strip magenta, kecepatan jelajah meningkat kembali ke 1. Strategi apa yang harus diadopsi mobil untuk jalan tercepat melalui seluruh wilayah? Itu akan makan waktu berapa lama?

, . , , : 2, 2.22, 2.5, 2.86, 3.33, 4, 5, 6.67, 10 20 . 1 . , 85% , , 1; 90% 95%. , , . 80% – 1 , 75%. , , . , , , . 10 , , , . , . , 80%, . .

– 85% 80%, 80%, 75%? , . 30 , . , : 80%, 75% . 3,39 , – 21,95.

, , .


2:


Pertimbangkan objek padat hipotetis dalam bentuk segitiga persegi panjang, dengan semua massanya terkonsentrasi pada simpul. Untuk kesederhanaan, bayangkan objek ini dua dimensi - tidak memiliki ketebalan. Setiap dhuwur adalah titik dengan massa 1 unit, dan massa total objek adalah 3 unit. Dasar segitiga adalah 4 unit, kaki vertikal 3 unit, dan sisi miring 5 unit. Bayangkan bahwa segitiga yang sama terletak di dekatnya, berorientasi dengan cara yang persis sama, dan median dari kedua segitiga (segmen yang menghubungkan bagian tengah sisi miring dengan titik yang berlawanan) terletak pada satu garis lurus, dan simpul sudut kanan berjarak 4 unit. Apa yang akan menjadi daya tarik yang menimpa mereka? Apakah hukum gaya tarik gravitasi bekerja jika diterapkan pada dua segitiga sebagai objek terpisah? Apa,jika segitiga terletak pada jarak 8 unit panjang dari satu sama lain, dan berorientasi dengan cara yang sama? Dalam situasi seperti itu, apakah formula untuk gaya tarik gravitasi lebih baik?

gambar

Teks tersembunyi
, , . , , 3 , 4 . , Maple, , . , 68,3% , . 8 , 94,3%. [ ].

, , , .


Jadi apakah hukum alam membutuhkan matematika yang elegan? Dan apa yang membuat matematika elegan begitu mampu dan berlaku dalam berbagai masalah? Di antara kelebihan matematika,

satu pembaca mendaftar abstraksi, pemeriksaan bawaan untuk konsistensi, kesinambungan, bekerja dengan tak terhingga, umpan balik dari fisika dan simetri. Yang lain mengutip kisah berikut ini dari kehidupan:

Beberapa minggu yang lalu saya berbicara dengan Don Lincoln, seorang ahli fisika dari Fermilab. Saya bertanya kepadanya: "Mengapa matematika begitu bagus dalam menggambarkan alam semesta?" Dia menjawab bahwa sistem matematika dapat dirumuskan dalam jumlah cara yang tak terbatas, jadi untuk setiap alam semesta yang memiliki hubungan sebab akibat, Anda selalu dapat menemukan platform matematika yang menggambarkan fisika-nya.

Pembaca lain telah menggambarkan pengamatan serupa. Menurut saya matematika itu sendiri adalah seperangkat hukum dan teknik yang besar, karena abstraknya, dapat menemukan aplikasi di banyak bidang yang tidak saling berhubungan, memiliki struktur dan dinamika yang sama, atau interaksi timbal balik dari jenis yang berbeda. Kami juga beruntung hidup di alam semesta di mana matematika yang elegan bermanfaat. Seperti yang dicatat oleh seorang pembaca: "Matematika dan hukum Newton akan agak tidak praktis jika kita hidup di alam semesta dengan entropi mendekati maksimum."

Tetapi seberapa penuhkah matematika elegan dapat menggambarkan alam? Saya akan mengutip komentar dari salah satu pembaca secara penuh:

Seseorang tidak perlu masuk lebih jauh ke dalam biologi untuk menemukan bahwa banyak representasi matematis menjadi kurang lengkap: kimia, ilmu material, fisika benda terkondensasi. Sebagai contoh, sebuah molekul air tidak dapat dideskripsikan secara analitik menggunakan alat mekanika kuantum karena alasan yang sama bahwa masalah tiga benda tidak tersedia bagi kita dalam mekanika selestial. Seluruh bidang sains, seperti termodinamika dan mekanika statistik, ada karena beberapa sistem fisik, seperti es batu dalam air, terlalu rumit untuk menggambarkan secara matematis setiap molekul air dalam es dan dalam kapasitas, belum lagi kondensat Bose -Einstein atau superfluiditas. Hukum Ohm adalah versi elektromagnetik dari jumlah statistik kotor, dan hukum dan ketegangan tensor Hooke adalah versi elastis dari jumlah statistik kotor,dan keduanya menolak untuk bekerja pada waktu tertentu atau setelah batas tertentu karena ketergantungan arus listrik pada suhu dan material, dan efek deformasi yang tidak dapat diubah dalam benda fisik di bawah beban berat.

Alasan untuk kesederhanaan sebagian besar matematika yang digunakan dalam fisika adalah bahwa itu adalah jumlah statistik kasar atau penyederhanaan serius dari fenomena fisik.

Mengapa kita begitu menyukai matematika elegan?


Salah satu pembaca berhak komentarnya "keanggunan adalah pengeluaran energi paling sedikit dari otak" dan menulis:

Perasaan "eureka!", Pengurangan kompleksitas tinggi dengan prinsip sederhana pengorganisasian neuron, atau "hukum matematika" dalam banyak masalah adalah contoh penyederhanaan yang memberikan perasaan euforia bahwa hemat energi. Prinsip ini mungkin terkait dengan prinsip KISS (Keep It Simple, Stupid), serta pernyataan Einstein: "Segala sesuatu perlu direduksi menjadi bentuk yang paling sederhana, tetapi tidak perlu disederhanakan lebih lanjut."

Kesadaran oleh otak kita bahwa ada banyak fenomena yang terhubung satu sama lain di alam memunculkan simetri sedemikian rupa sehingga pengorganisasian diri dari neuron kita anggap sebagai cara menyimpan informasi dengan konsumsi energi minimal.

Seperti yang saya tulis dalam artikel saya tentang hal ini, pisau cukur dan sensasi menyenangkan Occam pada saat "Eureka!" terdaftar dengan kuat di otak kita dan merupakan manifestasi dari hubungan kognitif-emosional yang unik yang membuat kita rasional. Saya kira setiap kali di kepala kita jumlah yang saya sebut "entropi psikis" berkurang, kita mendapat hadiah. Entropi psikis ini bukan hanya kekompakan, tetapi juga organisasi koneksi yang tidak terlihat hingga saat ini, dan perasaan bahwa semuanya digabungkan menjadi satu kesatuan. Evolusi telah membuat kita cerdas, memberikan imbalan internal kecil setelah menyelesaikan setiap teka-teki - strategi yang sangat efektif.

Jadi, apakah Wigner benar?


Iya dan tidak. Dia benar bahwa dalam deskripsi matematika dari beberapa masalah fisik ada pola dan simetri abstrak, dan kemudian matematika menunjukkan semua kekuatannya. Namun, ada bidang-bidang seperti itu, baik dalam fisika maupun dalam ilmu kompleks lainnya, ketika ini tidak berhasil. Mungkin Wigner sedikit mistik, atau "patriot matematika," dan agak melebih-lebihkan masalah dalam esainya.

Source: https://habr.com/ru/post/undefined/

More articles:


All Articles