Get best of the week

Aliran penemuan konstan terkait dengan persamaan fluida

Penemuan eksperimental yang luar biasa terkait dengan perilaku cairan memicu gelombang bukti matematika



Aliran cairan yang kompleks dalam secangkir teh mengilhami para ilmuwan untuk beberapa bukti penting

. Para peneliti mulai menangani beberapa masalah, dan kemudian menjatuhkannya. Hasil tidak lagi menginspirasi. Butuh beberapa dekade untuk membentuk teori.

Tetapi kadang-kadang akumulasi pengetahuan ilmiah berjalan langsung, dan satu penemuan memunculkan yang lain, seolah-olah jatuh domino.

Hal serupa baru-baru ini terjadi di bidang matematika yang mempelajari mekanika fluida. Penemuan eksperimental yang luar biasa pada tahun 2013 meluncurkan serangkaian bukti matematika yang menghancurkan ide-ide lama berabad-abad.

"Itu adalah kisah yang sangat dinamis dan menakjubkan," kata Alexander Kiselev, seorang ahli matematika di Duke University, salah satu penulis salah satu bukti.

Penemuan ini didasarkan pada persamaan Euler yang dirumuskan oleh Leonard Euler pada 1757. Matematikawan dan fisikawan menggunakannya untuk mensimulasikan perilaku cairan dari waktu ke waktu. Jika Anda melempar batu ke kolam, bagaimana cairan akan bergerak dalam lima detik? Persamaan Euler membantu menjawab pertanyaan ini.

Tetapi tidak secara harfiah. Persamaan Euler menggambarkan dunia ideal di mana fluida memiliki beberapa sifat yang tidak ditemukan dalam kenyataan. Sebagai contoh, persamaan mengasumsikan tidak adanya viskositas dalam cairan (aliran internal tidak menciptakan gesekan), dan juga tidak dapat dimampatkan (tidak mungkin untuk mendorong cairan ke dalam volume yang lebih kecil daripada yang dibutuhkan sebelumnya).

Dalam dunia ideal ini, persamaan ini menggunakan hukum gerak Newton untuk memprediksi keadaan fluida di masa depan. Matematikawan yang mempelajari persamaan Euler pada akhirnya perlu memahami apakah mereka selalu bekerja. Apakah ada skenario yang menyebabkan persamaan tersebut rusak dan mencegah mereka menggambarkan perilaku fluida di masa depan?

Pada 2013, beberapa ahli matematika memutuskan untuk menemukan skenario seperti itu. Thomas Howe dari Institut Teknologi California dan Guo Luo dari Universitas Kota Hong Kong mempraktikkan simulasi digital pada komputer. Mereka memberikan deskripsi numerik dari keadaan awal fluida dan menginstruksikan komputer untuk menerapkan persamaan Euler untuk menentukan pergerakan fluida ini di masa depan.

Howe dan Luo berkonsentrasi pada skenario tertentu, yang dapat diulang hampir persis di rumah. Sebelum membahas cara-cara rumit yang bisa membuat cairan bergerak, mari kita lakukan percobaan yang dapat diulang oleh semua orang.

Bayangkan sebuah cangkir berbentuk silinder dengan alas datar di mana teh dituang. Beberapa daun teh beristirahat di bagian bawah. Aduk teh searah jarum jam. Pertama, semua cairan akan mulai berputar secara keseluruhan, dan akan mengambil daun teh.

Namun, beberapa saat setelah dimulainya gerakan, gaya sentrifugal dari cairan yang berputar akan mulai berinteraksi dengan dinding cangkir, menciptakan, seperti dikatakan oleh fisikawan, "aliran sekunder" - gerakan yang lebih kompleks yang terjadi sebagai respons terhadap pengadukan awal. Aliran sekunder ini, turun di sepanjang dinding silinder dan naik di tengah, mendemonstrasikan daun teh dengan baik: mereka berkumpul di tengah di bagian bawah cangkir dan praktis tidak bergerak, terlepas dari kenyataan bahwa teh terus berputar di sekitar mereka.

Fenomena ini, yang telah diamati selama berabad-abad, disebut " paradoks daun teh ." Pada tahun 1926, Albert Einstein memberikan penjelasan matematika pertama tentang perilaku ini.

. , , . , . : . , . , , , , . , , , , . , , , . , .
- Albert Einstein (dari laporan pada pertemuan Akademi Ilmu Pengetahuan Prusia pada 7 Januari 1926)




Script yang diulas oleh Howe dan Luo sedikit lebih rumit. Bayangkan cairan di dalam silinder lagi. Tapi sekarang cairan di bagian atas silinder berputar searah jarum jam, seperti dalam secangkir teh, dan di bagian bawah - berlawanan arah jarum jam. Gerakan ini menciptakan beberapa aliran sekunder. Pusaran air muncul, bergerak naik dan turun di sepanjang dinding silinder.

"Dari atas, cairan itu berputar ke bawah, dan dari bawah itu berputar ke arah yang berlawanan," kata Howe.

Memulai simulasi numerik, Howe dan Luo melihat sesuatu yang tak terduga terjadi di tengah-tengah piala, di mana aliran yang saling bertentangan bertemu. Persamaan Euler menunjukkan bahwa vortisitas cairan di tempat ini meningkat sangat. Simulasi mereka menunjukkan bahwa, menurut persamaan Euler, vortisitas di tempat ini tumbuh begitu cepat sehingga menjadi tak terbatas dalam waktu yang terbatas.



Nilai tak terbatas seperti itu disebut singularitas. Jika persamaan Euler memberikan singularitas, mereka pecah - atau, seperti yang dikatakan oleh ahli matematika, "meledak" - dan tidak bisa lagi menggambarkan pergerakan fluida di masa depan. Persamaan tidak dapat dihitung dengan nilai tak terbatas.

Pembukaan Hou dan Luo menimbulkan sensasi. Selama lebih dari 200 tahun, matematikawan telah memburu skenario yang memecahkan persamaan Euler. Banyak yang melakukan simulasi numerik, yang, menurut pendapat mereka, seharusnya mengarah pada singularitas, tetapi tidak satupun dari mereka lulus ujian pada komputer cepat. Hou dan Luo tampaknya akhirnya menemukan skenario seperti itu.

"Banyak peneliti menganggap skenario ini untuk mendapatkan singularitas yang paling meyakinkan dari semuanya," kata Vladimir Sverak dari University of Minnesota.

Namun, simulasi komputer hanyalah bukti. Ini bukan bukti.

"Komputer terbatas dalam arti bahwa mereka tidak dapat beroperasi dengan jumlah yang sangat kecil," kata Kiselev. "Hasilnya mungkin terlihat meyakinkan, tetapi kita tidak bisa memastikannya." Mungkin jika Anda mengambil superkomputer yang lebih baik, Anda dapat melihat bagaimana semuanya runtuh. "

Oleh karena itu, ahli matematika bergegas untuk memeriksa apakah mungkin untuk membuktikan bahwa hasil Hou dan Luo benar dari sudut pandang matematika.


Thomas Howe, seorang ahli matematika di Institut Teknologi California

Kiselev dan Sverak belajar tentang simulasi ini pada tahun 2013 selama presentasi Howe di konferensi musim panasdi Stanford. Hal ini mendorong mereka untuk mulai mengerjakan salah satu masalah penting yang belum terpecahkan mengenai tingkat pertumbuhan vortisitas dalam cairan dua dimensi. Mereka berhasil membuktikan hipotesis jangka panjang mengenai sifat-sifat tingkat pertumbuhan dengan mempertimbangkan skenario yang digunakan Howe dan Luo dalam simulasi mereka.

"Seolah-olah kita memiliki tujuan yang bisa kita perjuangkan," kata Kiselev. - Itu satu hal ketika Anda berburu dan tidak melihat target. Dan itu sangat berbeda ketika Anda tahu di mana dia berada. "

Bukti selanjutnya memperluas pemahaman matematis tentang pembentukan singularitas dalam persamaan Euler. Pada 2019, Tarek Elgindi dari University of California, San Diego menerbitkan dua buktimenggambarkan kondisi di mana persamaan Euler memberikan singularitas. Dan karya awal Kiselev dan Sverak adalah salah satu titik awalnya.

Bukti Elgindi menggunakan kondisi khusus, dan mereka tidak memberikan pemahaman lengkap tentang pembentukan singularitas dalam persamaan Euler yang dibutuhkan matematikawan. Namun demikian, ini adalah beberapa hasil terkuat yang dicapai di bidang ini.
Ketika pusaran air dalam aliran mengubah sifat-sifatnya, maka karya Elgindi mendorong para ilmuwan ke gelombang baru penemuan matematika. Pada Oktober 2019, Hou dan Jiajie Chen mengadaptasi beberapa metode Elgindi untuk menciptakan bukti matematika yang ketat.skenario yang terkait erat dengan apa yang digunakan dalam eksperimen 2013. Mereka membuktikan bahwa dalam versi skenario yang sedikit dimodifikasi, singularitas dalam persamaan Euler memang muncul.
"Mereka mengambil ide Elgindi dan menerapkannya pada skenario 2013," kata Sverak. Lingkaran ditutup.

Tentu saja masih banyak pekerjaan. Fitur teknis tertentu dari bukti baru Howe tidak memungkinkannya untuk menentukan keberadaan singularitas tepat dalam situasi yang ia modelkan pada 2013. Tetapi setelah periode kerja enam tahun yang luar biasa dan dengan dukungan baru, Howe percaya bahwa ia akan segera dapat mengatasi kesulitan-kesulitan ini. "Sepertinya saya sudah sangat dekat," katanya.

Source: https://habr.com/ru/post/undefined/

More articles:


All Articles