👊🏾 🤶🏼 🐟 ग्रेजुएट छात्र ने आधी सदी पहले एक सामयिक समस्या को हल किया था 🛀🏾 👏 ♎️

प्रसिद्ध गणितज्ञ जॉन कॉनवे द्वारा पचास साल पहले खोजे गए एक अजीब नोड के बारे में पुराने प्रश्न का उत्तर खोजने के लिए एक सप्ताह से भी कम समय के लिए लिसा पिच्चिरिलो को लिया गया।

2018 की गर्मियों में, कम-आयामी टोपोलॉजी और ज्यामिति पर एक सम्मेलन में , लिसा पिच्चिरिलो ने एक छोटी गणितीय समस्या के बारे में सुना। वह कुछ तकनीकों के लिए एक अच्छा परीक्षण मैदान की तरह लग रहा था जो लिसा ऑस्टिन में टेक्सास विश्वविद्यालय में स्नातक छात्र के रूप में विकसित हुईं।

उसने कहा, "मैंने दिन के दौरान खुद को इस पर काम करने की अनुमति नहीं दी," क्योंकि मैंने इस कार्य को वास्तविक गणित नहीं माना। मैंने उसे होमवर्क समझा। "

सवाल यह था: कॉनवे गाँठ रस्सी का एक जटिल वेब है जो पचास साल पहले पौराणिक गणितज्ञ जॉन हॉर्टन कॉनवे द्वारा खोजा गया था - एक उच्च आयामी गाँठ का एक टुकड़ा। "स्लाइसिस" पहले प्राकृतिक प्रश्नों में से एक है जो विशेषज्ञों में हैगाँठ सिद्धांत उच्च-रिज़ॉल्यूशन रिक्त स्थान से समुद्री मील के बारे में पूछते हैं, और गणितज्ञ इसे कई हजारों समुद्री मील से अधिक 12 चौराहों के साथ जवाब देने में सक्षम थे - सभी लेकिन एक। कॉनवे नोड, जिसमें 11 चौराहे हैं, ने कई दशकों तक गणितज्ञों को छेड़ा है।

सप्ताह के अंत से पहले, पिचिरिल्लो जवाब देने के लिए तैयार था: कॉनवे नोड उल्लेखित खंड नहीं है। कुछ दिनों बाद, जब टेक्सास विश्वविद्यालय में प्रोफेसर, कैमरन गॉर्डन के साथ मुलाकात की, तो उसने अपने निर्णय का लापरवाही से उल्लेख किया।

"मैंने कहा कि?? हाँ, यह तुरंत इतिहास में जाना चाहिए! ” - गॉर्डन ने कहा, सबसे बड़ी गणितीय पत्रिकाओं में से एक, एनल्स ऑफ मैथमेटिक्स।

"वह चिल्लाने लगा: आप इस बारे में खुश क्यों नहीं हैं?" पिच्चिरिलो ने कहा, अब ब्रैंडिस विश्वविद्यालय में पोस्टडॉक है। "वह पागल जैसा है।"

"मुझे नहीं लगता कि उसे एहसास हुआ कि यह कार्य कितना पुराना और प्रसिद्ध था," गॉर्डन ने कहा।

सबूतPiccirillo फरवरी में गणित की पत्रिका जर्नल में दिखाई दिया। यह काम और उनकी अन्य उपलब्धियों ने उन्हें मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी में एक जगह प्रदान की, जहां वह अपने डॉक्टरेट का बचाव करने के 14 महीने बाद ही 1 जुलाई से काम करना शुरू कर देंगी।

यह सवाल कि क्या कॉनवे नोड कट-ऑफ से संबंधित था, न केवल इसलिए प्रसिद्ध था क्योंकि यह इतने लंबे समय तक अनुत्तरित रहा। कट ऑफ समुद्री मील गणितज्ञों को चार-आयामी स्थान की अजीब प्रकृति की जांच करने का अवसर देते हैं, जिसमें कभी-कभी दो आयामी गोले को एक गाँठ में इस तरह से ढंकना संभव होता है कि उन्हें चिकना नहीं किया जा सकता है। सोबरीटी "चार-आयामी टोपोलॉजी के कुछ गहरे मुद्दों से संबंधित है," चार्ल्स लिविंगस्टन ने कहा , इंडियाना विश्वविद्यालय में प्रोफेसर एमेरिटस।

बोस्टन कॉलेज के जोशुआ ग्रीन , स्नातक पर्यवेक्षक पिकिरिल्लो ने कहा, "कॉनवे नॉट शीयरनेस का मुद्दा नॉट थ्योरी के सामान्य पहलुओं से संबंधित कई आधुनिक विकासों की कसौटी रहा है ।" "यह देखकर बहुत अच्छा लगा कि कैसे एक आदमी जिसे मैं काफी समय से जानता था उसने अचानक एक पत्थर से इस तलवार को खींच लिया।"

जादू का क्षेत्र

हम में से अधिकांश गाँठ की कल्पना दो छोरों के साथ परस्पर रस्सी के एक टुकड़े के रूप में करते हैं। हालांकि, गणितज्ञ रस्सियों के साथ काम करते हैं, जिनके छोर आपस में जुड़े होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप गाँठ असंगत नहीं हो सकती है। पिछली शताब्दी में, इन नॉटेड लूप्स ने क्वांटम भौतिकी से डीएनए की संरचना के साथ-साथ तीन-आयामी स्थानों की टोपोलॉजी से विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों के सवालों का अध्ययन करने में मदद की है।

1990 के इस वीडियो में, जॉन कॉनवे बताते हैं कि कैसे, हाई स्कूल में, उन्होंने दिखाया कि दो नोड्स एक दूसरे को रद्द नहीं करते हैं।

हालांकि, अगर हम माप के रूप में खाते में समय लेते हैं, तो हमारी दुनिया चार-आयामी होगी, इसलिए नोड्स के एक उपयुक्त सिद्धांत के अस्तित्व के बारे में पूछना स्वाभाविक है। 4D। और इसका मतलब यह नहीं है कि हम सभी तीन-आयामी गांठों को ले सकते हैं और उन्हें चार-आयामी स्थान में ढाल सकते हैं: यदि आपके पास चार आयाम हैं, तो आप किसी भी लूप को खोल सकते हैं यदि आप चौथे आयाम में एक दूसरे के ऊपर रस्सी के टुकड़ों को उठाना शुरू करते हैं।

4D में एक गाँठ बाँधने के लिए, आपको दो-आयामी क्षेत्र की आवश्यकता है, न कि एक-आयामी लूप की। जैसे तीन आयाम लूप बांधने के लिए पर्याप्त जगह प्रदान करते हैं, लेकिन उन्हें एकजुट करने के लिए नहीं, चार आयाम बांधने वाले गोले के लिए एक जगह प्रदान करते हैं, जो गणितज्ञों ने पहली बार 1920 के दशक में किया था।

चार-आयामी अंतरिक्ष में एक बंधे हुए क्षेत्र की कल्पना करना मुश्किल है, लेकिन इसके लिए सबसे पहले 3 डी में एक सामान्य क्षेत्र की कल्पना करना उपयोगी है। यदि आप इसे काटते हैं, तो आप एक अनबाउंड लूप देखेंगे। लेकिन यदि आप 4 डी में जुड़े हुए गोले को काटते हैं, तो आपको एक जुड़ा हुआ लूप दिखाई देगा (या, संभवतः, एक असंबद्ध लूप, या एक दूसरे से जुड़े हुए कई लूप - यह इस बात पर निर्भर करता है कि कहां काटना है)। कनेक्टेड गोले को काटकर जो भी नोड प्राप्त किया जा सकता है उसे कट ऑफ माना जाता है। कुछ नोड्स काट नहीं हैं - उदाहरण के लिए, तीन चौराहों, ट्रिफोलियम के साथ एक नोड।

ग्रीन ने कहा कि नोड्स को काटें "गाँठ सिद्धांत की तीन-आयामी और चार-आयामी कहानियों को पुल करें।"

हालांकि, एक समस्या है जो चार-आयामी इतिहास की समृद्धि और विशिष्टता को प्रकट करती है: चार-आयामी टोपोलॉजी में, महंगाई के लिए दो अलग-अलग विकल्प हैं। 1980 के दशक की शुरुआत में (जिसके लिए माइकल फ्रीडमैन और साइमन डोनाल्डसन ने फील्ड्स पुरस्कार प्राप्त किया था) कई क्रांतिकारी कामों से पता चला कि चार-आयामी अंतरिक्ष में न केवल चिकनी गोले होते हैं जिनकी हम सहज रूप से कल्पना करते हैं। इसमें ऐसे गोले भी हैं, जिन्हें चिकना नहीं किया जा सकता। और गाँठ कट-ऑफ का प्रश्न इस बात पर निर्भर करता है कि इन टूटे हुए गोले पर विचार करना है या नहीं।

"ये बहुत, बहुत अजीब वस्तुएं हैं, लगभग जादुई हैं," शेली हार्वे ने कहाराइस यूनिवर्सिटी से (यह 2018 में हार्वे की रिपोर्ट से था कि पिकासीलो ने पहली बार कॉनवे के नोड के बारे में सीखा)।

ये अजीब क्षेत्र चार आयामी टोपोलॉजी की त्रुटि नहीं हैं, लेकिन इसकी ख़ासियत है। टोपोलॉजिकल कट-ऑफ, लेकिन "सुचारू रूप से कट" समुद्री मील नहीं है - अर्थात्, गांठें जो टूटे हुए गोले के स्लाइस हैं - गणितज्ञों को तथाकथित बनाने की अनुमति देते हैं सामान्य चार आयामी स्थान के "विदेशी" प्रकार। एक टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से, चार-आयामी अंतरिक्ष की ये प्रतियां हमेशा की तरह ही दिखती हैं, लेकिन साथ ही वे अप्रासंगिक रूप से उखड़ जाती हैं। ऐसे विदेशी स्थानों का अस्तित्व अन्य लोगों से चौथे आयाम को अलग करता है।

ग्रीन ने कहा कि इन विदेशी चार आयामी स्थानों के लिए कट-ऑफ मुद्दा "सबसे छोटी जांच" है।

अनुसंधान के वर्षों में, गणितज्ञों ने टॉपलेस रूप से कटे हुए नोड्स के एक पूरे सेट की खोज की है, लेकिन आसानी से नहीं। हालांकि, 12 तक के चौराहों की संख्या के साथ नोड्स के बीच, ऐसा लगता है, मनाया नहीं गया था - कॉनवे नोड के संभावित अपवाद के साथ। गणितज्ञ अन्य सभी नोड्स के कटऑफ को 12 से अधिक नहीं चौराहों की संख्या के साथ समझ सकते हैं, हालांकि, उन्हें किसी भी तरह से कॉनवे नोड नहीं दिया गया था।

कॉनवे, जो पिछले महीने कोरोनोवायरस के कारण मर गए थे, को गणित के कई क्षेत्रों में उनके महत्वपूर्ण योगदान के लिए जाना जाता था। वह 1950 के दशक में पहली बार नोड्स में रुचि रखते थे और 11 तक चौराहों की संख्या के साथ लगभग सभी नोड्स को सूचीबद्ध करने के लिए एक सरल तरीका आया (पिछली पूरी सूचियों में केवल 10 तक के चौराहों की संख्या के साथ नोड्स शामिल थे)।

लेकिन इस सूची में एक नोड अलग था। "मुझे लगता है कि कॉनवे ने महसूस किया कि यह नोड किसी तरह विशेष था," ग्रीन ने कहा।

कॉनवे नोड, जैसा कि बाद में कहा गया था, एक सामयिक अनुभाग है - गणितज्ञों ने इसे 1980 के दशक में क्रांतिकारी खोजों की एक श्रृंखला के हिस्से के रूप में समझा। हालांकि, वे यह पता नहीं लगा सके कि यह एक चिकनी कटौती थी। उन्हें संदेह था कि ऐसा नहीं था, क्योंकि उनके पास "रिबन" जैसी कोई विशेषता नहीं थी जो आमतौर पर चिकनी नोड्स में देखी जाती थी। हालांकि, इसकी एक और विशेषता ने यह दिखाने के सभी प्रयासों को मौका नहीं दिया कि यह कटौती चिकनी नहीं है।

अर्थात्, कॉनवे नोड में एक भ्रातृत्व नोड है, या, जैसा कि वे नोड्स के सिद्धांत में कहते हैं, एक उत्परिवर्तन। यदि आप कागज पर एक कॉनवे गाँठ खींचते हैं, तो उसके एक निश्चित हिस्से को काट लें, एक टुकड़े को फ्लिप करें और गाँठ को फिर से जोड़ दें , आपको एक और गाँठ मिलती है, जिसे किनोशिता - तेरसाकी गाँठ के रूप में जाना जाता है ।

यह साबित करने के लिए कि कॉनवे नोड एक चिकनी कटौती नहीं है, वैज्ञानिकों को किनोशिता - तेरसाकी नोड के समान होने से रोका गया था। लिसा पिच्चिरिलो को लगा कि कॉनवे नोड में एक नए, अधिक जटिल साथी को कैसे जोड़ा जाए।

समस्या यह है कि यह नया नोड एक सहज कटौती है। और चूंकि कॉनवे नोड एक चिकनी टुकड़ा की तरह है, इसलिए यह गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले सभी साधनों (इनवेरिएंट्स) के प्रभावों से बचता है ताकि नोड्स का निर्धारण न हो।

"जब एक नया आक्रमणकारी दिखाई दिया, तो हमने कॉनवे नोड पर इसका परीक्षण करने की कोशिश की," ग्रीन ने कहा। "और यह इस तरह का एक अनूठा जिद्दी उदाहरण है, जो कि, हमलावर की परवाह किए बिना, हमें यह नहीं बताया कि यह एक टुकड़ा है या नहीं।"

पिकाचिलो ने कहा कि कॉनवे की गाँठ "अंधा धब्बों के चौराहे पर गिरती है"।

एक गणितज्ञ, ब्रिघम यंग यूनिवर्सिटी के मार्क ह्यूजेस ने नोड इनवायर्स और अन्य जानकारी जैसे कि महंगाई का अनुमान लगाने के लिए एक तंत्रिका नेटवर्क बनाया। अधिकांश नोड्स के लिए, नेटवर्क स्पष्ट भविष्यवाणियां करता है। क्या आप जानते हैं कि उसने कॉनवे गाँठ के चिकने कट-ऑफ के बारे में क्या कहा था? 50-50.

"समय के साथ, यह गाँठ दूसरों के बीच में हमारे लिए नहीं के रूप में बाहर खड़ा करना शुरू किया," लिविंगस्टन ने कहा।

मुश्किल मोड़

पिचिरिलो गाँठ सिद्धांत से जुड़े दृश्य अंतर्ज्ञान को पसंद करता है, लेकिन उसे नहीं लगता कि वह मुख्य रूप से इस क्षेत्र में एक सिद्धांतवादी है। उन्होंने ईमेल में लिखा है, "मुझे त्रि-आयामी और चार-आयामी आंकड़ों में अधिक दिलचस्पी है, लेकिन उनका अध्ययन नोड्स के सिद्धांत के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है, इसलिए मैं इसे थोड़ा सा कर रहा हूं।"

जब उसने कॉलेज में गणित का अध्ययन करना शुरू किया, तो वह "गणित में एक मानक बच्चे के प्रति विलक्षणता" के रूप में बाहर नहीं खड़ी थी, उसने बोस्टन कॉलेज में पिचिरिलो के शिक्षकों में से एक एलिसेंडा ग्रिसबी कहा। ग्रिस्बी ने सबसे पहले पिचिरिल्लो के रचनात्मक स्वभाव पर ध्यान दिया। "वह हमेशा अपनी बात की शुद्धता पर विश्वास करती थी।"

कॉनवे के नोड से संबंधित सवाल पिचिचिरिलो के पास आया जब उसने सोचा कि क्या नोड्स को उत्परिवर्तन के अलावा किसी अन्य चीज से जोड़ा जा सकता है। प्रत्येक नोड का अपना तथाकथित है। एक चार-आयामी ट्रेस जिसे प्राप्त किया जा सकता है यदि आप चार-आयामी गेंद की सीमा पर गाँठ लगाते हैं और गाँठ के ऊपर एक हुड की तरह कुछ सीवे करते हैं। गॉर्डन ने कहा कि नोड का पदचिह्न "अपने नोड को काफी कठिन बनाता है"।

अलग-अलग नोड्स में समान चार-आयामी ट्रेस हो सकते हैं, और गणितज्ञों को पहले से ही पता था कि ऐसे, इसलिए बोलने के लिए, पटरियों में रिश्तेदारों को हमेशा एक ही कट की स्थिति होती है - या तो वे कट जाते हैं या नहीं। हालांकि, राइस यूनिवर्सिटी के पोस्टडॉक पिकासीलो और एलीसन मिलर ने दिखायाइस तरह के ट्रेस रिश्तेदारों के लिए जरूरी नहीं कि वे सभी आक्रमणकारियों के लिए समान दिखते थे जो महँगाई का अध्ययन करते थे।

इसने पिचिरिलो को उस रणनीति का मार्ग दिखाया जो यह साबित करने के लिए इस्तेमाल किया जाता है कि कॉनवे नोड एक कट नोड नहीं है: यदि वह इस नोड के लिए एक ट्रेस सापेक्ष बना सकती है, तो शायद वह कॉनवे नोड की तुलना में कट इन्वर्टर में से एक के साथ काम करने के लिए अधिक इच्छुक होगी।

इस तरह के रिश्तेदारों का निर्माण एक मुश्किल काम है, लेकिन पिचिरिल्लो इसमें एक विशेषज्ञ था। "मैं मूल रूप से यह कर रहा हूं," उसने कहा। "तो मैं बस घर गया और यह किया।"

एक सरल संयोजन का उपयोग करते हुए, पिच्चिरिल्लो एक जटिल नोड का निर्माण करने में सक्षम था जिसका कॉनवे नोड के समान निशान है। और इस नोड के लिए, एक उपकरण जिसे कहा जाता है
रासमुसेन के "सी-इनवेरिएंट" से पता चलता है कि यह सुचारू रूप से कटा हुआ नहीं है - इसलिए, कॉनवे नोड है।

"बहुत सुंदर सबूत," गॉर्डन ने कहा। उनके अनुसार, यह उम्मीद करने का कोई कारण नहीं था कि पिचिरिलो द्वारा बनाया गया नोड रासमुसेन सी-इनवेरियंट के आगे झुक जाएगा। "हालांकि, दृष्टिकोण ने काम किया, जो आश्चर्य की बात है।"

पिचिचिरिलो के साक्ष्य "मायावी परिणामों के छोटे और अप्रत्याशित सबूतों के साथ जाते हैं जो इस क्षेत्र के शोधकर्ता जल्दी से पचा सकते हैं, प्रशंसा कर सकते हैं और सामान्यीकरण करने की कोशिश कर सकते हैं - यह सोचकर उल्लेख नहीं करने के लिए कि कोई भी इतने लंबे समय तक क्यों नहीं सोच सकता है," ईमेल में ग्रीन द्वारा लिखा गया है।

ग्रीन ने कहा कि पैरों के निशान एक क्लासिक उपकरण है, जो कई दशकों से अस्तित्व में है, लेकिन पिचिरिल्लो ने इसे दूसरों से बेहतर समझा। उनके अनुसार, उनके काम ने टोपोलॉजिस्टों को दिखाया कि नोड्स के निशान को कम करके आंका गया है। "उसने कुछ धूल भरे उपकरण लिए," उन्होंने कहा। "और अब अन्य पहले से ही उसके उदाहरण का अनुसरण कर रहे हैं।"

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