ग्रेजुएट छात्र ने "कॉनवे नोड" की समस्या को हल किया, जिस पर उन्होंने दशकों तक लड़ाई लड़ी

पौराणिक जॉन कॉनवे द्वारा आधी सदी से अधिक समय पहले खोजी गई एक अजीब साइट के बारे में लंबे समय तक सवाल का जवाब देने के लिए एक सप्ताह से भी कम समय लगा।

2018 की गर्मियों में, कम-आयामी टोपोलॉजी और ज्यामिति पर एक सम्मेलन में, लिसा पिच्चिरिलो ने एक सुंदर गणितीय समस्या के बारे में सुना। यह ऑस्टिन में टेक्सास विश्वविद्यालय में स्नातक छात्र के रूप में विकसित किए गए कुछ तरीकों के लिए एक अच्छा परीक्षण मैदान जैसा दिखता था।

"मैंने इस दिन खुद को काम करने की अनुमति नहीं दी," उसने कहा, "क्योंकि मैंने इसे वास्तविक गणित नहीं माना। मुझे लगा कि यह मेरा होमवर्क है। ”

सवाल यह है कि क्या कॉनवे नोड - एक लीजेंड आधी सदी से अधिक पहले खोला गया था महान गणितज्ञ जॉन हॉर्टन कॉनवे - एक उच्च-आयामी नोड का एक टुकड़ा है। "स्लीसनेस" पहले प्राकृतिक प्रश्नों में से एक है जो गाँठ सिद्धांतकारों ने उच्च आयामों के साथ रिक्त स्थान में समुद्री मील के बारे में पूछा है, और गणितज्ञ 12 या उससे कम चौराहों के साथ सभी हजारों समुद्री मील के लिए इसका उत्तर देने में सक्षम थे, एक के अपवाद के साथ। कॉनवे नोड, जिसमें 11 चौराहे हैं, दशकों से गणितज्ञों को चिढ़ा रहे हैं।



लिसा पिच्चिरिलो द्वारा प्रस्तावित कॉनवे नोड की समस्या के समाधान ने उन्हें मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी में एक स्थायी स्थान दिलाने में मदद की।


एक हफ्ते से भी कम समय में, पिचिरिल्लो के पास पहले से ही जवाब था: कॉनवे नोड "स्लाइस" नहीं है। कुछ दिनों बाद, वह कैमरून गॉर्डन के साथ, ऑस्टिन विश्वविद्यालय में प्रोफेसर से मिलीं, और पासिंग में अपने फैसले का उल्लेख किया।

"क्या?! अभी यह अनाउंस हो रहा है! ” - गॉर्डन ने कहा, "गणित के इतिहास" का जिक्र करते हुए, इस विषय में सर्वश्रेष्ठ पत्रिकाओं में से एक है।

वह चिल्लाने लगा: "तुम खुशी के लिए कूद क्यों नहीं रहे हो?" पिच्चिरिलो कहते हैं, अब ब्रैंडिस यूनिवर्सिटी में स्नातक छात्र हैं। "वह भी थोड़ा डर गया।"

"मुझे नहीं लगता कि उसे समझ में आया कि यह एक पुरानी और प्रसिद्ध समस्या क्या है," गॉर्डन ने कहा।

पिकिरिलो प्रूफफरवरी में गणित के इतिहास में दिखाई दिया। यह लेख, उसके अन्य काम के साथ, उसे मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी में एक स्थायी नौकरी की पेशकश के साथ प्रदान किया, जो कि उसे डॉक्टरेट पूरा करने के ठीक 14 महीने बाद 1 जुलाई से शुरू होता है।

कॉनवे गाँठ के कट-ऑफ का सवाल न केवल इस कारण से जाना जाता था कि यह कितने समय तक अनसुलझा रहा। गांठों के स्लाइस गणितज्ञों को चार-आयामी अंतरिक्ष की अजीब प्रकृति का पता लगाने का अवसर देते हैं जिसमें दो-आयामी गोले को एक गाँठ में बांधा जा सकता है, कभी-कभी ऐसे ढहते हुए तरीके से कि उन्हें सुचारू नहीं किया जा सकता है। चार्ल्स लिविंगस्टन के अनुसार, इंडियाना यूनिवर्सिटी में प्रोफेसर एमेरिटस, शेर्नेस "अभी चार-आयामी टोपोलॉजी में कुछ गहरे मुद्दों से जुड़ी हुई हैं।"

"यह सवाल कि क्या कॉनवे की गाँठ एक टुकड़ा है, गाँठ सिद्धांत के सामान्य क्षेत्र में कई आधुनिक विकासों के लिए एक प्रकार का टूटना था," बोस्टन कॉलेज के जोशुआ ग्रीन ने कहा, जो अपने छात्र वर्षों के दौरान पिचिरिलो के स्नातक थीसिस का निरीक्षण करता है। "मुझे यह देखकर बहुत खुशी हुई कि जिस व्यक्ति को मैं इतने लंबे समय से जानता था, उसने अचानक एक पत्थर से तलवार खींच ली।"

जादुई गेंद

जबकि हम में से अधिकांश सोचते हैं कि एक गाँठ स्ट्रिंग के एक टुकड़े में दो छोरों के साथ मौजूद होती है, गणितज्ञ सोचते हैं कि ये दो छोर जुड़े हुए हैं, इसलिए गाँठ को अछूता नहीं रखा जा सकता है। पिछली शताब्दी में, इन नोडल चक्रों ने क्वांटम भौतिकी से डीएनए की संरचना के साथ-साथ तीन-आयामी अंतरिक्ष के टोपोलॉजी के विभिन्न विषयों को रोशन करने में मदद की है।


जॉन कॉनवे ने 1990 में बताया कि कैसे उन्होंने हाई स्कूल में दिखाया कि दो नोड एक दूसरे को संतुलित क्यों नहीं कर सकते।

लेकिन हमारी दुनिया चार आयामी है अगर हम समय को माप के रूप में शामिल करते हैं, तो यह पूछना स्वाभाविक है कि क्या 4 डी अंतरिक्ष में समुद्री मील का एक समान सिद्धांत है। यह केवल उन सभी नोड्स को लेने के बारे में नहीं है जो हमारे पास तीन-आयामी स्थान में हैं और उन्हें 4D अंतरिक्ष में विसर्जित कर रहे हैं: एक सर्कल में स्थानांतरित करने के लिए चार आयामों के साथ, किसी भी गाँठ वाले लूप को अप्रकाशित किया जा सकता है यदि धागे चौथे आयाम में एक दूसरे से ऊपर जाते हैं। ।

चार-आयामी स्थान में एक गाँठदार वस्तु बनाने के लिए, आपको दो-आयामी क्षेत्र की आवश्यकता होती है, न कि एक-आयामी लूप की। जिस प्रकार तीन आयाम नॉटेड लूप के निर्माण के लिए पर्याप्त स्थान प्रदान करते हैं, लेकिन उनके लिए पर्याप्त जगह नहीं है, चार आयाम नॉट किए गए गोले के लिए ऐसा वातावरण प्रदान करते हैं जो गणितज्ञों ने पहली बार 1920 के दशक में बनाया था।

4 डी स्पेस में नॉटेड गोले की कल्पना करना मुश्किल है, लेकिन यह पहले 3 डी स्पेस में एक रेगुलर गोले के बारे में सोचने में मदद करता है। यदि आप इसके माध्यम से काटते हैं, तो आपको एक ढीला लूप दिखाई देगा। लेकिन जब आप 4D स्पेस में एक नॉटेड गोले को काटते हैं, तो आप एक नॉटेड लूप (या, संभवतः, एक पहचानने योग्य लूप या कई लूप्स का लिंक देख सकते हैं, इसके बजाय, जहां आप काटते हैं) पर निर्भर करता है। किसी भी गोले को काटकर आप जो भी नोड बना सकते हैं उसे "स्लाइस" कहते हैं। कुछ नोड्स में कटौती नहीं की जाती है, उदाहरण के लिए, तीन-जंक्शन नोड, जिसे ट्रेफ़िल के रूप में जाना जाता है।

ग्रीन ने कहा कि नोड्स को काटें "नोड सिद्धांत के तीन आयामी और चार आयामी इतिहास के बीच एक पुल प्रदान करते हैं।"

लेकिन एक शिकन है जो चार-आयामी कहानी की समृद्धि और मौलिकता देती है: 4 डी टोपोलॉजी में दो अलग-अलग संस्करण हैं जो इसे काटने का मतलब है। 1980 के दशक की शुरुआत में क्रांतिकारी विकास की एक श्रृंखला में (जो माइकल फ्रीडमैन और साइमन डोनाल्डसन फील्ड्स के लिए पदक लाए थे), गणितज्ञों ने पाया कि 4 डी स्थान में न केवल चिकनी गोले होते हैं, जिन्हें हम सहज रूप से कल्पना करते हैं, बल्कि ऐसे क्षेत्रों में भी होते हैं जो इतने व्यापक रूप से crumpled हैं वे आसानी से इस्त्री नहीं कर सकते थे। यह सवाल कि कौन सा नोड्स एक स्लाइस है, इस पर निर्भर करता है कि आप इन टूटे हुए गोले को शामिल करने का निर्णय लेते हैं।

"ये बहुत, बहुत अजीब वस्तुएं हैं जो जादू के माध्यम से मौजूद हैं," राइस यूनिवर्सिटी के शेली हार्वे ने कहा। (यह 2018 में हार्वे के भाषण में था कि पच्चीरीलो ने सबसे पहले कॉनवे नोड की समस्या के बारे में सीखा।)

ये अजीब क्षेत्र चार आयामी टोपोलॉजी की गलती नहीं हैं, लेकिन एक विशेषता है। नोड्स जो "स्थैतिक रूप से कट" हैं, लेकिन "सुचारू रूप से कट" नहीं हैं - यह है, वे कुछ टूटे हुए गोले का एक कट हैं, लेकिन चिकनी नहीं हैं - गणितज्ञों को साधारण चार-आयामी अंतरिक्ष के तथाकथित "विदेशी" संस्करणों का निर्माण करने की अनुमति देते हैं। चार-आयामी अंतरिक्ष की ये प्रतियां एक सामयिक दृष्टिकोण से सामान्य स्थान के समान दिखती हैं, लेकिन अनियमित रूप से उखड़ जाती हैं। इन विदेशी स्थानों का अस्तित्व अन्य सभी आयामों से चौथे आयाम को अलग करता है।

ग्रीन ने कहा कि चिकनाई का मुद्दा इन विदेशी चार आयामी स्थानों का "सबसे कम आयामी सेंसर" है।

इन वर्षों में, गणितज्ञों ने कई नोड्स की खोज की है जो स्थैतिक रूप से थे, लेकिन आसानी से नहीं काटे गए। हालांकि, 12 या उससे कम चौराहों वाले नोड्स के बीच, कॉनवे नोड के संभावित अपवाद के साथ - कोई भी नहीं लग रहा था। गणितज्ञ 12 या उससे कम चौराहों के साथ अन्य सभी नोड्स के कटऑफ राज्य की गणना कर सकते हैं, लेकिन कॉनवे नोड ने उन्हें हटा दिया।

कॉनवे, जो पिछले महीने COVID -19 से मर गया, को एक के बाद एक गणित के एक क्षेत्र में प्रभावशाली योगदान देने के लिए जाना जाता था। वह पहली बार 1950 के दशक में अपनी किशोरावस्था में नोड्स में रुचि रखते थे और 11 चौराहों (पिछली पूरी सूचियां केवल 10 चौराहों तक) तक लगभग सभी नोड्स को सूचीबद्ध करने के लिए एक सरल तरीका के साथ आया था।

सूची में एक नोड था जो बाहर खड़ा था। ग्रीन ने कहा, "मुझे लगता है कि समझ में आया कि इस बारे में पूरी तरह से कुछ खास था।"

कॉनवे नोड, जैसा कि वे इसे कॉल करना शुरू करते हैं, को शीर्ष रूप से काट दिया जाता है - गणितज्ञों ने इसे 1980 के दशक की क्रांतिकारी खोजों की पृष्ठभूमि के खिलाफ समझा, लेकिन वे समझ नहीं पाए कि क्या यह आसानी से कट गया था। उन्हें संदेह था कि यह ऐसा नहीं था, क्योंकि उन्हें "रिबिंग" नामक एक फ़ंक्शन की कमी थी, जो कि सुचारू रूप से कटे हुए गांठों में आमतौर पर होता है। लेकिन उनके पास एक ऐसी विशेषता भी थी जो उन्हें यह दिखाने के लिए किसी भी प्रयास से प्रतिरक्षा करती थी कि वह आसानी से नहीं कट रही थी।

अर्थात्, कॉनवे नोड का एक प्रकार का रिश्तेदार है - तथाकथित उत्परिवर्ती। यदि आप कागज पर एक कॉनवे गाँठ खींचते हैं, तो कागज के एक विशिष्ट टुकड़े को काट लें, एक टुकड़े को पलट दें और फिर इसके स्वतंत्र छोरों को जोड़ दें, आपको एक और गाँठ मिलेगी, जिसे किनोशिता-तेरसाका गाँठ के रूप में जाना जाता है ।

परेशानी यह है कि यह नई इकाई आसानी से कट गई। और चूंकि कॉनवे नोड चिकनी कट नोड के साथ इतनी निकटता से जुड़ा हुआ है, इसलिए यह उन सभी साधनों (जिन्हें बुलाया जाता है) को धोखा देने का प्रबंधन करता है, जो गणितज्ञ कट के बिना नोड खोजने के लिए उपयोग करते हैं।

ग्रीन ने कहा, "जब भी कोई नया हमलावर दिखाई देता है, तो हम उसे कॉनवे नोड पर जांचने की कोशिश करते हैं।" यह सिर्फ एक जिद्दी उदाहरण है, जिसके बावजूद, आप जिस भी हमलावर के साथ आते हैं, वह आपको यह नहीं बताता है कि यह एक टुकड़ा है या नहीं। "।

पिवेरिलो ने कहा कि कॉनवे का नोड "इन विभिन्न उपकरणों के अंधे स्थानों के चौराहे पर स्थित है"।

एक गणितज्ञ, ब्रिघम यंग यूनिवर्सिटी के मार्क ह्यूजेस ने एक तंत्रिका नेटवर्क बनाया जो नोड इनवायर्स और अन्य जानकारी का उपयोग करता है जैसे कि महंगाई जैसी विशेषताओं की भविष्यवाणी करता है। अधिकांश नोड्स के लिए, नेटवर्क स्पष्ट भविष्यवाणियां करता है। लेकिन उसके बारे में क्या पता चलता है कि क्या कॉनवे की गाँठ आसानी से कट जाती है? समान।

"समय के साथ, यह एक गाँठ में बदल गया जिसे हम सामना नहीं कर सके," लिविंगस्टन ने कहा।

स्मार्ट ट्विस्ट और टर्न

पिकिरिल्लो दृश्य अंतर्ज्ञान का आनंद लेता है जो गाँठ सिद्धांत में प्रवेश करता है, लेकिन वह खुद को मुख्य रूप से गाँठ सिद्धांतकार नहीं मानता है। "ये वास्तव में [तीन-आयामी और चार-आयामी रूप] हैं जो मुझे उत्तेजित करते हैं, लेकिन इन चीजों का अध्ययन समुद्री मील के सिद्धांत के साथ गहराई से जुड़ा हुआ है, इसलिए मैं भी इसे थोड़ा सा करता हूं," उसने एक ईमेल में लिखा है।

"जब उसने पहली बार कॉलेज में गणित की पढ़ाई शुरू की थी, तब वह" मानक गोल्डन चाइल्ड मैथ कौतुक "के रूप में नहीं खड़ा था," बोस्टन कॉलेज में पिच्चिरिलो के प्रोफेसरों में से एक एलिसेंडा ग्रिग्बी ने कहा। सबसे अधिक संभावना है, यह रचनात्मकता थी पिचचिरिलो ने ग्रग्सबी का ध्यान आकर्षित किया। "वह वास्तव में उसकी बात पर विश्वास करती थी, और वह हमेशा से ऐसा रहा है।"

पिकेटिरिलो को कॉनवे नोड के सवाल का सामना करना पड़ा था जब वह एक उत्परिवर्तन के अलावा दो नोड्स को जोड़ने के एक अलग तरीके के बारे में सोच रहा था। प्रत्येक नोड में एक समान चार-आयामी आकृति होती है, जिसे इसके ट्रेस कहा जाता है, जो 4D गेंद की सीमा पर नोड को रखकर और उस पर नोड के साथ एक तरह की टोपी को सिलाई करके बनाया जाता है। गॉर्डन ने कहा कि नोड ट्रेस "इस नोड को बहुत मजबूती से एन्कोड करता है"।



पूर्व प्रोफेसरों में से एक, पिकासीलो ने रचनात्मकता को बुलाया - गणित के रूप में इसकी मुख्य ताकत में से एक।

अलग-अलग नोड्स में समान चार-आयामी ट्रेस हो सकते हैं, और गणितज्ञों को पहले से ही पता था कि ट्रेस के ये जुड़वां भाई, इसलिए बोलने के लिए, हमेशा एक ही स्लाइस की स्थिति होती है - या तो वे दोनों स्लाइस हैं या दोनों स्लाइस नहीं हैं। लेकिन राइस के स्नातक छात्र, पिकासीलो और एलीसन मिलर ने दिखाया है कि इन ट्रेस भाई-बहनों को सहजता से अध्ययन करने के लिए इस्तेमाल किए जाने वाले सभी गाँठ के आक्रमणकारियों के लिए समान रूप से नहीं दिखता है।

इसने पच्चीरीलो की यह साबित करने की रणनीति की ओर इशारा किया कि कॉनवे नोड एक टुकड़ा नहीं है: यदि यह कॉनवे नोड के लिए ट्रेस आत्मीयता का निर्माण कर सकता है, तो यह संभवत: कॉनवे नोड की तुलना में कटौती किए गए आक्रमणकारियों में से एक के साथ बेहतर काम करेगा।

ट्रेस भाइयों और बहनों को बनाना एक जटिल मामला है, लेकिन पिचिरिलो एक सच्चे विशेषज्ञ थे। "यह सिर्फ मेरा पेशा है," उसने कहा। "तो मैं बस घर गया और यह किया।"

सरल बारीकियों के संयोजन के लिए धन्यवाद, पिकिरिल्लो एक जटिल गाँठ का निर्माण करने में कामयाब रहा, जिसमें कॉनॉन गाँठ के समान ही पदचिह्न है। इस नोड के लिए, Rasmussen s-invariant नामक एक उपकरण दिखाता है कि यह एक चिकनी कटौती नहीं है - इसलिए कॉनवे नोड एक या दूसरे नहीं हो सकता है।

"यह वास्तव में महान सबूत है," गॉर्डन ने कहा। उनके अनुसार, यह उम्मीद करने का कोई कारण नहीं था कि पिचिरिलो द्वारा निर्मित नोड रासमुसेन के एस-इनवेरिएंट के लिए उपज होगा। "लेकिन यह काम किया ... किसी भी तरह आश्चर्यजनक।"

ग्रीनसी ने एक ईमेल में लिखा, "इस क्षेत्र के शोधकर्ता जल्दी से अवशोषित करने, प्रशंसा करने और सामान्यीकरण करने का प्रयास करने में सक्षम होने के कारण मायावी परिणामों के संक्षिप्त, अद्भुत सबूतों के रूप में फिट बैठता है - यह सोचकर उल्लेख नहीं किया गया कि इसमें इतना समय कैसे लगा," ग्रीन ने एक ईमेल में लिखा ।

"पैरों के निशान एक क्लासिक उपकरण है जो दशकों से आस-पास है, लेकिन पिचिरिल्लो ने किसी और की तुलना में अधिक गहराई से समझा," ग्रीन की प्रशंसा करते हैं। "उनके काम ने टोपोलॉजिस्टों को दिखाया कि पैरों के निशान को कम करके आंका गया है। उसने कुछ उपकरण उठाए, जिन पर, शायद, थोड़ी धूल भरी। अन्य अब उसके उदाहरण का अनुसरण कर रहे हैं। ”

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