सात बार मापें - एक बार काटें, या अभ्यास में कहावत का उपयोग करें

मैं कौरसेरा कोर्स पर बैठ गया। पाठ्यक्रम जावा में शुरुआती के उद्देश्य से था, और वीडियो ट्यूटोरियल में से एक में विषय 7 समस्याओं को सुलझाने के लिए कदम उठाए गए थे ।

मैंने स्पष्ट विवेक के साथ, वीडियो ट्यूटोरियल की बात सुनी, खुद से सोचा, यह व्यवसाय लंबे समय तक और लंबे समय तक चला है।

बाकी कोर्स आसान था, सुकून भरा था। लेकिन, विश्वविद्यालय में एक विषय पर, तथाकथित "वैज्ञानिक प्रोग्रामिंग" में, निम्नलिखित कार्य दिखाई दिए:

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें $$$Ax=b$मैट्रिक्स के निम्नलिखित विस्तार का उपयोग करके एक एक्स = बी$$$A$ :

$$

$$A = LU,$$

कहाँ पे $$$L$निम्न त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, और$$$U$ ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स है।

रैखिक बीजगणित का विषय, जिसे हमने 1 पाठ्यक्रम पर लिया था। सच कहूँ तो मुझे मैट्रिस, वैक्टर और होली के पवित्र के साथ संचालन के सामान्य सिद्धांत याद थे - गॉस विधि। यदि आप इसे दिमाग के साथ खत्म करते हैं, तो हमने किसी भी एलयू अपघटन का अध्ययन नहीं किया है, लेकिन "Google" विधि हमेशा मदद करती है। बचाया, इस बिंदु तक।

मुझे मैट्रिसेस खोजने के लिए एक सामान्य एल्गोरिदम मिला $$$L$और$$$U$ , लेकिन सुबह साढ़े तीन बजे किसी भी कॉफी ने मुझे इसे ठीक से लागू करने का अवसर नहीं दिया (यह देखते हुए कि हमने ऑक्टेव पर वहां कोड किया था)। अंत में, मैं बाहर जम गया, और फिर भी चतुराई से कहावत का नाम सुनने का फैसला किया।

1. हाथ से समस्या का वर्णन करें

जीवन में आपके पास जो कमी है, वह यह समझना है कि वास्तव में समस्या क्या है। आइए उपरोक्त समस्या का एक उदाहरण लेते हैं और इसे एक कागज़ पर लिखते हैं। एक अच्छे तरीके से, मैट्रिस के अस्तित्व के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा$$$L$ और$$$U$ :

- उलटा मैट्रिक्स मौजूद होना चाहिए$$$A$ वह है$$$\exists{A^{-1}}$ ;
- सभी प्रमुख नाबालिगों को पतित नहीं होना चाहिए$$ बहुत बढ़िया है, तो हम कम से कम जरूरत पर एक "एक मूर्ख के लिए चेक," क्योंकि वहाँ निश्चित रूप से चतुर, जो हमारे लिए एक अनुपयुक्त मरने का उपयोग करना चाहते हैं। लेकिन अभी के लिए, इसे छोड़ दें। समस्या हमारे लिए स्पष्ट है: मेट्रिसेस ढूंढें$\Delta_{(1,...,n)}\neq{0}$



$$और$L$$$ , जो उपरोक्त शर्तों के तहत आएगा। समाधान के तरीकों को गूगल करने की कोशिश करने के बाद, यह संभावना नहीं है कि आप पहली बार एल्गोरिथ्म को सही ढंग से लागू कर पाएंगे (यदि आप रैखिक बीजगणित में अच्छे नहीं हैं)। टन के प्रयासों के माध्यम से जाने के बाद, हम अपनी समस्या को हल करने के लिए कुछ अनुक्रमों का विकास करेंगे, और फिर हम चरण 2 पर आगे बढ़ते हैं।$U$

2. आपने जो किया उसका वर्णन करें

उदाहरण के तौर पर मैट्रिक्स को लें

$$

$$A = \begin{pmatrix} 1&2&3 \newline 0&-2&4 \newline 1&-1&0 \end{pmatrix}.$$

अब हम अपनी गॉस विधि को उस पर लागू करते हैं और तीसरी पंक्ति में अनावश्यक तत्वों से छुटकारा पाते हैं, पहली पंक्ति को उसमें से घटाकर, 3 पंक्तियों के पहले तत्व के अनुपात को 1 पंक्ति के पहले तत्व से गुणा करते हैं:

$$

$$a_3=a_3-a_1 \cdot\frac { {a_3}_1 }{ {a_1}_1 }.$$

अब, इसी तरह की कार्रवाई के साथ 3 लाइन के दूसरे तत्व से छुटकारा पाएं:

$$

$$a_3=a_3-a_2 \cdot\frac { {a_3}_2 }{ {a_2}_2 }.$$

नतीजतन, हम मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं

$$

$$A = \begin{pmatrix} 1&2&3 \newline 0&-2&4 \newline 0&0&0 \end{pmatrix}=U.$$

और अब, हमने पाया गुणांक (तत्वों के अनुपात का परिणाम) $$$\frac{{a_i}_j}{{a_j}_j}$) मैट्रिक्स के मान लेते हैं$$$L$ , और मिलता है

$$

$$L = \begin{pmatrix} 1&0&0 \newline 0&1&0 \newline 1&\frac{1}{2}&1 \end{pmatrix}.$$

टेम्पलेट के माध्यम से देख रहे हैं, है ना?

3. पैटर्न ढूँढना

इस स्तर पर, सबसे अधिक संभावना है, आप चरण 1 और 2 पर लौट आएंगे, क्योंकि जो टेम्पलेट आपको हमेशा नहीं मिला, वह सभी मामलों के लिए सही होगा। लेकिन कुछ भी नहीं, क्योंकि यह काम नहीं करता है, यह आगे होगा।

इसलिए, एक उदाहरण के आधार पर, हम निम्नलिखित एल्गोरिथ्म / समाधान टेम्पलेट तैयार कर सकते हैं:

1. एक वर्ग मैट्रिक्स को परिभाषित करें$$$A, n$ क्रम;
2. मैट्रिक्स सेट करें$$$L = I$ , जहां$$$I$ आइडेंटिटी मैट्रिक्स हूं$$$n$ वें आदेश;
3. मैट्रिक्स सेट करें$$$U = A$ ;
4. हम मेट्रिसेस के लिए निम्नलिखित क्रमिक परिवर्तनों को लागू करते हैं, बशर्ते कि$$$\begin{cases} i=2,\ldots, n \newline j=1,\ldots,i \end{cases}$

$$

$$\begin{array}{c} {l_i}_j=\frac{{u_i}_j}{{u_j}_j} \newline u_i = u_i-u_j\cdot{{{l_i}_j}} \end{array},$$

पर $$$n = 3$, हम प्राप्त करते हैं:

$$

$$L = \begin{pmatrix} 1&0&0 \newline {l_2}_1&1&0 \newline {l_3}_1&{l_3}_2&1 \end{pmatrix},\quad U = \begin{pmatrix} {u_1}_1&{u_1}_2&{u_1}_3 \newline 0&{u_2}_2&{u_2}_3 \newline 0&0&{u_3}_3 \end{pmatrix}$$

4. टेम्पलेट / एल्गोरिथ्म की जाँच करना

एक एल्गोरिथ्म है - इसका परीक्षण करने के लिए लाखों मैट्रिसेस हैं! आप इस टेम्प्लेट के बारे में चिंता नहीं कर सकते, यह स्पष्ट रूप से सच है (व्यक्तिगत रूप से संभावित मेट्रिसेस के सबसे गैर-अध: पतन पर परीक्षण किया गया है)। लेकिन याद रखें: जल्दी करो - आप लोगों को हंसाते हैं । इसलिए हमेशा आपके द्वारा बनाए गए टेम्प्लेट की जांच करें ताकि आप बहुत शुरुआत में लानत की तरह कूदते रहें।

5. एल्गोरिथ्म का कोड में अनुवाद

स्पष्ट कदम, आपको जो कुछ भी चाहिए वह अक्सर भाषा के सिंटैक्स में पहले से ही है, और यदि नहीं, तो कोई भी आपको इस समस्या को हल करने के लिए कक्षाएं और फ़ंक्शन बनाने के लिए परेशान नहीं करता है, तो आपके पास एक एल्गोरिथ्म है। चूंकि मैंने इस एल्गोरिथम को एक शैक्षिक विश्वविद्यालय के कार्यक्रम के हिस्से के रूप में लागू किया था, इसलिए मैं केवल कार्यान्वयन के लिए ऑक्टेव का उपयोग कर सकता था, इसलिए मैं आपके पास मौजूद सभी कोड इसके सिंटैक्स में है (यह पायथन के समान है, इसलिए मैं प्रारूपण के लिए इसके हाइलाइट का उपयोग करूंगा):

A = input("Enter the matrix A: ")
numOfRows = size(A, 1)
numOfCols = size(A, 2)

if numOfRows ~= numOfCols
    disp("Wrong matrix.")
else
    n = numOfCols
    disp("----------------")
    L = eye(3)
    disp("Making U = A")
    U = A
    disp("----------------")

    for i=2:n
        disp("Step "), disp(i-1)
        for j=1:i-1
            L(i,j) = U(i,j)/U(j,j)
            U(i,:) = U(i,:) - U(j,:)*L(i,j)
        end
        disp("----------------")
    end

    disp("Check the answer of L*U: "), disp(L*U)
end

6. असफल परीक्षणों की खोज करें

आपको हमेशा अपने कोड को "तोड़ने" का प्रयास करना चाहिए। यहां (स्पष्ट रूप से) "मूर्ख से सुरक्षा" पूर्ण नहीं है, लेकिन मैंने इस आधार के रूप में लिया कि शुरू में सही मैट्रिक्स पेश किया जाएगा।

इस चरण में, आपको अपने कोड में सभी संभावित त्रुटियों, अशुद्धियों का पता लगाना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप निर्मित एल्गोरिथ्म के पूर्वाग्रह भी प्रकट हो सकते हैं। इसलिए, यहां आपको कई चूक के रूप में प्रयास करना चाहिए जो किए जा सकते थे।

7. डिबग परीक्षण विफल

सबसे तार्किक, और शायद कदमों की उम्मीद है। कोड पक्षपाती होना चाहिए और एल्गोरिथ्म सही किया जाना चाहिए। यहां कुछ और जोड़ना नहीं है।

निष्कर्ष

मैं कह सकता हूं कि यह संभावना नहीं है कि मैं कभी भी इस समस्या को हल करने के लिए गंभीरता से लूंगा, अगर मेरी नींद की स्थिति के लिए नहीं। लेकिन यह इस पद्धति पर ध्यान देने योग्य है - यह कम है, और इसकी सारी श्रमशीलता केवल इस तथ्य में है कि इसका उपयोग किया जाना चाहिए।

ध्यान दें

समस्या को हल करने के लिए सामग्री के लिए रैखिक बीजगणित पाठ्यपुस्तकों के लिए धन्यवाद।