🌠 ♌️ 🤲🏾 पैसे की लागत, ब्याज के प्रकार, छूट और आगे की दरें। एक गीक के लिए शैक्षिक कार्यक्रम, भाग 1 👨‍🚀 👄 🌻

स्थिति की कल्पना करें - आप एक कार खरीद रहे हैं, और आपको दो विकल्प दिए जाते हैं: कई महीनों तक किस्तों का भुगतान करें या तुरंत पूरी राशि का भुगतान करें और थोड़ी छूट पर। कौन सा अधिक लाभदायक होगा?

या, उदाहरण के लिए, आप एक वर्ष के लिए योगदान देना चाहते हैं। आप पूरे कार्यकाल के लिए उच्च प्रतिशत पर या कम समय पर व्यक्तिगत छोटी अवधि के लिए रख सकते हैं। कौन सा बेहतर है और कितना है?

सभी उत्तर एक बिल्ली के नीचे हैं। और एक ऐसी दुनिया में आपका स्वागत है जहाँ समय हमेशा पैसा है। आप इसके बारे में पहले से जानते थे, लेकिन अब - विस्तार से और उदाहरणों के साथ।

मेरा नाम मारिया अब्रशकिना है, मैं पोर्टफोलियो जोखिम गणना टीम में एक गणितज्ञ और उत्पाद स्वामी हूं। और वित्तीय गणित पर वीडियो कोर्स के लेखकों में से एक (भाग 1 - ब्याज गणना के प्रकार , भाग 2 - डिस्काउंटिंग , भाग 3 - आगे ब्याज दर )। इस पोस्ट में मैं पैसे, ब्याज दरों और बांडों के मूल्य के बारे में बात करूंगा । यह ज्ञान आपको भविष्य में सरल गणित का उपयोग करके सटीक गणना के आधार पर वित्तीय निर्णय लेने में मदद करेगा।

# 1। पैसे का समय मूल्य। ब्याज के प्रकार

सबसे पहले, आइए इस बारे में बात करते हैं कि धन का समय मूल्य क्या है, या धन का समय मूल्य (टीवीएम) , क्यों धन का मूल्य है और किस प्रकार का ब्याज मौजूद है।

नीचे दी गई तस्वीर अधिकतम बॉक्स ऑफिस के साथ फिल्मों की सूची दिखाती है।

क्या हम इन नंबरों से उनकी तुलना कर सकते हैं? यह देखते हुए कि फिल्मों को अलग-अलग वर्षों में रिलीज़ किया गया था, यह संभावना नहीं है कि इस तरह की तुलना सही होगी। कैसे बनें

आइए एक सरल उदाहरण देखें। मान लीजिए कि आपके पास एक हजार रूबल हैं, और मैं आपसे इस राशि को कर्ज में मांगता हूं। आप मुझे एक साल में कितना देना चाहते हैं? शायद आप सोचेंगे कि इस हजार रूबल के लिए अब आप स्वादिष्ट शराब की एक बोतल या कुछ और खरीद सकते हैं। आप यह भी मान सकते हैं कि एक हजार हज़ार रूबल के लिए एक साल के बाद, आप मुद्रास्फीति के कारण इस उत्पाद को खरीदने में सक्षम होने की संभावना नहीं है। इसके अलावा, एक जोखिम है कि मैं पैसे वापस नहीं करूंगा। इसलिए, सबसे अधिक संभावना है, आप इस तथ्य के लिए मुआवजा चाहते हैं कि आप शराब की बोतल या किसी अन्य चीज को नहीं खरीदेंगे। आपको उस जोखिम को उचित ठहराने के लिए प्रोत्साहन की भी आवश्यकता है जो मैं आपको पैसे नहीं लौटा सकता। आपको शायद मुझे किसी तरह के भत्ते के साथ, यानी प्रतिशत के साथ पैसा वापस करना होगा।

इसलिए, धन का मूल्य है क्योंकि उसके मालिक इस तथ्य के लिए क्षतिपूर्ति चाहते हैं कि वह किसी भी उत्पाद या सेवा को नहीं खरीद सकता है, और उस जोखिम के लिए जिसे वह वहन करता है, ऋण में पैसा दे रहा है।

गणित की भाषा में, यह इस तरह दिखेगा:

PV = 1000

अब आप मुझे एक हजार रूबल दें। इसे अस्वीकार करें PV (Present Value)। मान लीजिए कि दर (r)5% है, और आप मुझे एक वर्ष की अवधि के लिए पैसा देते हैं। फिर पैसे वापस करते हुए FV (Future Value), मुझे मूल राशि में 50 रूबल जोड़ना होगा।

यदि आप इस सूत्र को सामान्य रूप से लिखते हैं, तो भविष्य का मूल्य एक से अधिक ब्याज दर से गुणा किए गए ऋण के बराबर है।

लेकिन क्या होगा अगर ब्याज की गणना वर्ष में एक बार से अधिक की जाती है, लेकिन अधिक बार? या यदि ब्याज दो, तीन, दस वर्षों के लिए अर्जित किया जाता है तो क्या होगा? इस मामले में, हमें हमेशा यह स्पष्ट करने की आवश्यकता होती है कि अवधि के अंत में या कुछ आवृत्ति के साथ और कितने वर्षों के लिए ब्याज अर्जित किया जाता है।

साधारण ब्याज

उस उदाहरण पर विचार करें जहां जमा अवधि के अंत में ब्याज प्राप्त होता है। भविष्य का मूल्य वर्तमान मूल्य के बराबर होगा और वर्तमान मूल्य वार्षिक ब्याज दर से गुणा किया जाएगा। हमारी जमा राशि में वार्षिक ब्याज दर को कई बार जोड़ा जाएगा क्योंकि हमने कितने वर्षों में योगदान दिया है।

परिणाम - यूनिट के योग से वर्तमान मूल्य को गुणा किया जाता (r)है और अंशदान के वर्षों की संख्या से ब्याज दर को गुणा किया जाता है (T)। ब्याज की गणना करने की इस विधि को साधारण ब्याज कहा जाता है ।

अगर हर साल ब्याज दर वसूल की जाती है, तो फॉर्मूला अलग दिखेगा।

कई वर्षों की अवधि में स्थिति के साथ स्थिति पर विचार करें। हमारा मानना है कि पूरी अवधि के दौरान मौजूदा ब्याज दर समान रहेगी। फिर सूत्र निम्न रूप लेता है: इकाई के मूल्य से अधिक वर्तमान मूल्य और ब्याज दर से गुणा किया जाता है, फिर इकाई की राशि और ब्याज दर आदि से गुणा करके योगदान को कितने वर्षों तक कई गुना बढ़ा दिया जाता है। सामान्य तौर पर, सूत्र इस तरह दिखेगा:

कृपया ध्यान दें कि यदि पहले मामले में, ब्याज राशि हर साल हमारी जमा राशि में जोड़ दी जाती है (जैसा कि पहले उदाहरण में, जहां जमा राशि में 50 रूबल जोड़े गए थे), तो पहली बार में जोड़े गए 50 रूबल के वार्षिक शुल्क के मामले में, हम हर बार शुल्क लेते हैं। प्रतिशत।

ब्याज की गणना कैसे की जाती है, इस पर ध्यान देना हमेशा महत्वपूर्ण होता है। ब्याज न केवल वर्ष में एक बार प्राप्त किया जा सकता है, बल्कि हर छह महीने में एक बार, हर दिन भी प्राप्त किया जा सकता है। और सिद्धांत रूप में, कुछ भी हमें इन प्रतिशत को लगातार चार्ज करने से नहीं रोकता है।

लगातार ब्याज अर्जित करना

आइए देखें कि ब्याज की गणना करने का फॉर्मूला साल में एक से अधिक बार कैसा दिखेगा। इस मामले में, भविष्य का मूल्य वर्तमान मूल्य में एक से अधिक गुणा वार्षिक राशि के बराबर होगा, जो वार्षिक ब्याज दर को वर्ष (n)में डिग्री अवधि में अर्जित अवधियों से विभाजित करता है nT। अगर हर छह महीने में दोषारोपण किया जाता है, तो n=2अगर हर दिन, तो n=365।

अगर हम लगातार ब्याज वसूलना चाहते हैं तो फार्मूला कैसा दिखेगा? यहां आपको स्कूल का गणित याद रखना होगा। सूत्र इस प्रकार होगा:

अपनी सीमा को कुछ सुविधाजनक रूप में लाने के लिए, हमें एक प्रतिस्थापन बनाने की आवश्यकता है। परिणामस्वरूप, हमें निम्नलिखित मिलते हैं:

यह देखते हुए कि हमारी सीमा यूलर संख्या (e = 2.71) के बराबर है , हमारा सूत्र बहुत ही सरल अभिव्यक्ति में बदल जाता है। हमारे योगदान का वर्तमान मूल्य प्रतिपादक से कई गुना अधिक है, जो कि ब्याज दर के उत्पाद और उस वर्ष की संख्या पर दर्शाया जाता है जिस पर हमारी रुचि अर्जित की जाती है।

आइए तुलना करते हैं कि भुगतान, आवृत्तियों की आवृत्ति के आधार पर कैसे दिखते हैं। तालिका एक सौ हजार रूबल के योगदान के भविष्य के मूल्य को दिखाती है, जिसे बीस साल की दर से दस साल के लिए रखा जाता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, जमाकर्ता को उस घटना में 300 हजार रूबल प्राप्त होंगे जो जमा अवधि के अंत में अर्जित किए जाते हैं।

इस प्रकार, ब्याज की गणना करते समय जमा की राशि जमा की राशि दोगुनी हो जाती है जब अवधि के अंत में एक बार ब्याज का भुगतान किया जाता है।

यदि अभिवृद्धि लगातार की जाती है, तो एक साधारण ब्याज गणना के साथ जमा राशि 300 हजार रूबल के मुकाबले 700 हजार रूबल से अधिक है।

नीचे दिया गया ग्राफ स्पष्ट रूप से दिखाता है कि ब्याज की गणना के विभिन्न तरीकों के साथ जमा की कुल राशि कैसे बढ़ती है।

इससे निष्कर्ष निकालना आवश्यक है:

जब कोई योगदान चुनते हैं, तो न केवल ब्याज दर के आकार को देखना महत्वपूर्ण है, बल्कि ब्याज की आवृत्ति पर भी। एक उच्च ब्याज दर हमेशा सही मायने में फायदेमंद नहीं होती है।

इसलिए, अपनी पसंद बनाने से पहले, दिए गए शर्तों के तहत योगदान की कुल राशि का पता लगाने के लिए छोटी गणना करना समझ में आता है।

# २ डिस्काउंटिंग (यह समझने में मदद करता है कि कौन सा बेहतर है: एक किस्त योजना लें या अब छूट पर भुगतान करें)

हमने जांच की कि ब्याज दरें क्या हैं और ब्याज की गणना के तरीके क्या हैं। यदि जमा की अवधि के अंत में ब्याज का भुगतान किया जाता है , तो ब्याज को सरल कहा जाता है , अगर ब्याज का भुगतान कुछ आवधिकता पर किया जाता है, तो ऐसे ब्याज को जटिल कहा जाता है ।

आइए उलटा समस्या को हल करें। मान लीजिए कि हम जानते हैं कि भविष्य में हमें कितना भुगतान किया जाएगा (उदाहरण के लिए, किसी ने हमें कुछ उत्पाद के लिए भुगतान का वादा किया है)। हमें यह भी पता है कि अब ब्याज दर क्या है। हम इस उत्पाद की वर्तमान कीमत की गणना कैसे करते हैं?

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, भुगतान राशि का भविष्य मूल्य वर्तमान मूल्य के एक से अधिक गुणा ब्याज दर के बराबर होगा। यदि हम इस सूत्र से वर्तमान मूल्य को व्यक्त करते हैं, तो यह भविष्य के मूल्य को एक से अधिक विभाजित करके ब्याज दर के बराबर होगा।

यदि ब्याज को कुछ आवधिकता के साथ अर्जित किया जाता है, तो सामान्य शब्दों में सूत्र इस तरह दिखता है:

T- यह ब्याज शुल्क का भुगतान करने की अवधि की संख्या है। भविष्य के मूल्य को एक से अधिक, और ब्याज दर को विभाजित करने की यह प्रक्रिया, एक हद तक छूटT कहलाती है । और फैक्टर, यूनिट और पावर के योग से विभाजित इकाई , को गुणांक कहा जाता है ।rT

आइए उस कार्य पर वापस जाएं जो प्रीमियम चुनना बेहतर है। बोनस विधि के आधार पर, भुगतान की राशि भिन्न हो सकती है। हालांकि, यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि कौन सी विधि बेहतर है। सही उत्तर देने के लिए, गणितीय समस्या को हल करना आवश्यक है। मान लें कि हमारे पास वर्ष के अंत में 5 प्रतिशत की ब्याज दर पर 105 हजार रूबल लेने का अवसर है। या हम उसी ब्याज दर पर हर छह महीने में 50 हजार रूबल का भुगतान करने पर बोनस का दूसरा तरीका चुन सकते हैं।

इन दो भुगतानों की तुलना करें। ऐसा करने के लिए, हम गणना करते हैं कि इन भुगतानों में से प्रत्येक के लिए वर्तमान मूल्य क्या होगा। मौजूदा मूल्य का पता लगाने के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हमें पांच प्रतिशत (इस मामले में, टी = 1) की दर से 105 हजार छूट की आवश्यकता है। हमें 100 हजार मिलते हैं।

हर छह महीने में भुगतान के मौजूदा मूल्य का पता लगाने के लिए, हमें ढाई प्रतिशत की दर से 50,000 रूबल (जो हम छह महीने में प्राप्त करेंगे) को छूट देने की आवश्यकता है (क्योंकि उच्चारण केवल पहले छह महीनों में होता है। कड़ाई से बोलते हुए, 6 महीने की दर आधे वार्षिक दर के बराबर नहीं है। N (1 + x) (1 + x) = N (1 + 0.05) => x = 2.4695% हम 6 महीने के लिए निवेश करते हैं, और फिर 6 के लिए और यह एक साल के लिए निवेश के समान है), प्रति वर्ष पांच प्रतिशत, दो से विभाजित , प्लस 50 हजार वर्ष के अंत में प्राप्त हुए, जिसे हम 5 प्रतिशत की दर से छूट देते हैं। गणनाओं के परिणामस्वरूप, हमें पहले भुगतान की कीमत छह महीने के लिए 48,780 रूबल 49 कोपेक और दूसरी भुगतान - 47,619 रूबल 5 कोपेक की राशि में मिलती है। क़ीमती सामान की मात्रा 96,399 रूबल 54 kopecks है।

जाहिर है, एक साल में 105 हजार रूबल प्राप्त करने का प्रस्ताव हर छह महीने में 50 हजार प्राप्त करने की तुलना में अधिक लाभदायक है। हालांकि सहज रूप से, यह आपको लग सकता है कि अंतर महत्वहीन है, इस तथ्य के बावजूद कि आप तेजी से पैसा प्राप्त करेंगे। गणित हमें बताता है कि ऐसा नहीं है।

अधिक इंतजार करने से 105 हजार रूबल का प्रीमियम प्राप्त करना अधिक लाभदायक है।

यह सिद्धांत विभिन्न जीवन स्थितियों का आकलन करते समय काम करता है।

उदाहरण के लिए, जब आपको किस्तों द्वारा कार खरीदने की पेशकश की जाती है या किसी तरह की छूट के साथ पूरी राशि का भुगतान किया जाता है। आपको भविष्य की राशि लेने की आवश्यकता है जो आप भुगतान करते हैं, इसे वर्तमान मूल्य पर लाएं और फिर उसी समय होने वाले भुगतानों की तुलना करें।

इस मामले में, तुलना सही होगी।

# 3 आगे की ब्याज दरें

मान लीजिए कि हम ब्याज दर पर सहमत हैं। इस ब्याज दर पर, एक साल में मैं आपसे पैसे उधार लूंगा, जिसे मैं दो साल में चुकाऊंगा, साथ ही ब्याज भी। निष्पक्ष होने के लिए ब्याज दर क्या होनी चाहिए? हम इस उदाहरण का अधिक विस्तार से वर्णन करेंगे।

अब हम शून्य पर हैं। एक साल में, मैं आपसे एक दर पर xपैसे लूंगा और दो साल में आपको वापस कर दूंगा । बोली की गणना कैसे करें x? हमारे पास कई विकल्प हैं। अब आप प्रति वर्ष r_{1 की} दर से पैसा लगा सकते हैं , और फिर इसे एक दर पर पुनर्निवेश कर सकते हैं x।

या दो साल के लिए r_{2 की} दर से तुरंत पैसा लगाएं ।

वित्तीय बाजार में नो-आर्बिट्रेज कंडीशन है । यह कहता है कि यदि शब्द के अंत में हमें समान भुगतान प्राप्त होता है, तो उसी जोखिम वाले उपकरणों के लिए, प्रारंभिक राशि भी समान होनी चाहिए। इस पर भी हस्ताक्षर करते हैं। पहले निवेश विकल्प FV₁ का भविष्य मूल्य एक और rT₁ के योग से गुणा किए गए वर्तमान मूल्य के बराबर होगा (हम मानते हैं कि हमारे पास एक सरल ब्याज गणना है)।

समय T₁ का समय एक वर्ष के बराबर है। अगला, हमारे पास राशि का पुनर्निवेश होगा, और हम T₂ - T₁ से समय की अवधि में डालेंगे, इस ब्याज दर से गुणा किया जाएगा x। T₂ - यह एक समय का मामला है, हमारे मामले में, दो साल।

या FV₂ के भविष्य का मूल्य वर्तमान मूल्य PVको एक से अधिक r₂ गुणा T_{2 के} बराबर कर देगा । बिना किसी मध्यस्थता की शर्त के अनुसार FV₁ को FV_{2 के} बराबर होना चाहिए ।

इससे हमें निम्नलिखित मिलते हैं:

सूत्र काफी बोझिल है। आइए इस सूत्र का उपयोग करके एक उदाहरण की गणना करें, और फिर सोचें कि हम इसे सरल बनाने के लिए क्या कर सकते हैं।

हमारी ब्याज दरें r₁ = 4% होने दें; r₂ = 6%। इस मामले में, हमारे पास निम्नलिखित हैं:

x=(1+0,06*2)/(1+0,04*1)-1 = 1,077-1 = 0,077 = 7,7%

यह अजीब लगेगा कि दो साल के लिए दर छह प्रतिशत के बराबर है, एक साल के लिए यह चार प्रतिशत के बराबर है, और एक साल से दो साल के लिए हमें सात प्रतिशत से अधिक की दर मिलती है। इसे इस प्रकार समझाया गया है। चूंकि पहले वर्ष में हमारी वार्षिक दर दो वर्ष से कम है, इसलिए अगले वर्ष में यह इन दोनों दरों से अधिक होनी चाहिए। पहले वर्ष में ब्याज की कमी की भरपाई करने के लिए यह आवश्यक है, और पुनर्निवेश के बाद किसी को उतनी ही राशि मिल सकती है जब दो साल के लिए उच्च दर पर निवेश किया जाता है। इस दर को आगे की ब्याज दर कहा जाता है।

अपने जीवन को आसान बनाने के लिए, आइए इस सूत्र को सरल करें। यदि हम निरंतर ब्याज गणना सूत्र ( FV=PVe^आरटी ) का उपयोग करते हैं , तो हम निम्नानुसार मध्यस्थता की अनुपस्थिति के लिए स्थिति को फिर से लिख सकते हैं:

PVe^{r ₂ T ₂} = PVe^{r ₁ T ₁} e ^{(T ₂ -T ₁ ) x}

यदि हम अपनी समानता के दोनों ओर से लघुगणक लेते हैं और स्थिरांक को कम करते हैं, तो हमें मिलता है:

r₂T₂ = r₁T₁+(T₂-T₁)x

अगला, x

x=(r₂T₂ - r₁ खोजना आसान है T₁)/(T₂-T₁)

सहमति दें, भविष्य की ब्याज दरों के लिए इस तरह का एक फार्मूला उपयोग करने के लिए बहुत आसान और अधिक सुविधाजनक है।

आप एक सवाल पूछ सकते हैं - ऐसा विचित्र उत्पाद और इसका उपयोग कौन करता है?

ऐसी स्थिति की कल्पना करें जहां आप या आपकी कंपनी एक वर्ष में निश्चित रूप से धन प्राप्त करेगी। अब आप खुद को ब्याज दरों में बदलाव के जोखिम से बचाना चाहेंगे। आप समझते हैं कि एक वर्ष में ब्याज दर बढ़ सकती है और अधिक लाभदायक हो सकती है, लेकिन आप यह भी समझते हैं कि यह घट सकता है। और आप बाजार में आगे चल रही ब्याज दर के साथ काफी सहज हैं। फिर आप एक अनुबंध को समाप्त कर सकते हैं, यह दर्शाता है कि भविष्य में एक वर्ष में प्राप्त होने वाले धन के लिए, आप किसी दिए गए दर पर एक अनुबंध समाप्त करते हैं। दर तय हो गई है, और आपको इस बात की चिंता नहीं है कि बाजार में ब्याज दरों में बदलाव कैसे होगा।

कृपया ध्यान दें कि आगे की ब्याज दर किसी भी तरह से भविष्य की कीमत की भविष्यवाणी नहीं है। इसका बिल्कुल मतलब यह नहीं है कि ब्याज दरें एक वर्ष में 7.7% के बराबर होंगी, जब हम खुद को बिंदु T ₁ पर पाते हैं । वे किसी भी मूल्य पर ले जा सकते हैं, और ऐसा क्यों है। फिलहाल जब हम बाजार में लागू दरों से आगे की ब्याज दर की गणना करते हैं, तो हम कह सकते हैं कि यह दर भविष्य की कीमतों के संबंध में बाजार की उम्मीद है। लेकिन जब तक हम भविष्य में आगे बढ़ते हैं, तब तक नई घटनाएं हो रही हैं, नई जानकारी जोड़ी जा रही है, और बाजार किसी तरह बदल रहा है। इसलिए, एक वर्ष में ब्याज दरें अब वर्ष के लिए गणना की गई आगे की दरों के साथ मेल नहीं खाएंगी।

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# 1। पैसे का समय मूल्य। ब्याज के प्रकार

साधारण ब्याज

लगातार ब्याज अर्जित करना

# २ डिस्काउंटिंग (यह समझने में मदद करता है कि कौन सा बेहतर है: एक किस्त योजना लें या अब छूट पर भुगतान करें)

# 3 आगे की ब्याज दरें

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