🛵 🧑🏾‍🤝‍🧑🏽 👩🏻‍🍳 एक "आश्चर्यजनक" गणितीय पुल जो फ़र्मट के महान प्रमेय से परे फैला हुआ है 👩🏾‍🤝‍👩🏻 👨🏼‍🎓 🖱️

गणितज्ञों ने यह पता लगाया कि गणितीय दुनिया के दो दूर महाद्वीपों को जोड़ने वाले रहस्यमयी पुल को कैसे लंबा किया जाए

जब एंड्रयू जॉन विल्स ने 1990 के दशक की शुरुआत में फ़र्मेट के महान प्रमेय को साबित किया , तो यह न केवल गणितज्ञों के लिए, बल्कि मानवता के सभी के लिए एक स्मारक कदम था। प्रमेय का कथन बहुत सरल है - यह दावा करता है कि समीकरण x ⁿ + y ⁿ = z ⁿn> 2 के लिए कोई पूर्ण सकारात्मक समाधान नहीं हैं। हालांकि, इस सरल बयान ने 350 से अधिक वर्षों से इसे साबित करने के इच्छुक लोगों की एक बड़ी संख्या को आकर्षित किया, क्योंकि फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे डी फरमेट ने 1637 में डायोफैंटस के "अंकगणित" के हाशिये पर प्रमेय के बयान को छोड़ दिया था। फ़र्मेट का सूत्रीकरण भी प्रसिद्ध है: उन्होंने "इसके लिए वास्तव में अद्भुत साक्ष्य पाया, लेकिन पुस्तक का मार्जिन उनके लिए बहुत कम है।" सदियों से, पेशेवर गणितज्ञ और शौकिया उत्साही फ़र्मेट के प्रमाण की तलाश में हैं - या जो भी हो।

अंततः सबूत विल्स द्वारा ( रिचर्ड टेलर की मदद से ) फ़र्मट को कभी नहीं हुआ। यह सीधे प्रमेय को प्रभावित नहीं करता था, लेकिन एक विशाल पुल का निर्माण करता था, जो गणितज्ञों के अनुसार, अस्तित्व में था - दो दूर गणितीय "महाद्वीपों" के बीच एक पुल। विल्स का प्रमाण दो महाद्वीपों के बीच भूमि के दो छोटे पैच को जोड़ने वाले इस पुल को परिभाषित करने के लिए नीचे आया। सबूत नए और गहरे विचारों से भरा था, और इस पुल के दोनों ओर नए परिणामों के कैस्केड किए गए थे।

इस दृष्टिकोण से, विल्स के भयानक सबूत ने एक बहुत बड़े रहस्य का एक छोटा सा हिस्सा हल किया। उसका प्रमाण "20 वीं शताब्दी की सर्वश्रेष्ठ गणित घटनाओं में से एक था," टोबी गाय ने कहाइंपीरियल कॉलेज लंदन से। और फिर भी यह पुल के "छोटे खिंचाव" से संबंधित था, जिसे लैंगलैंड्स के ज्यामितीय पत्राचार के रूप में जाना जाता है ।

संपूर्ण पुल गणितज्ञों को गणित के विशाल विस्तार पर प्रकाश डालने की अनुमति देता है, जो अवधारणाओं को एक भाग से दूसरे भाग तक पहुंचाता है। फ़र्मेट के महान प्रमेय सहित कई कार्य, पुल के एक तरफ कठिन प्रतीत होते हैं, लेकिन जल्दी से आसान कार्यों में बदल जाते हैं, दूसरी ओर जाते हैं।

विल्स अपने प्रमाण के साथ आने के बाद, अन्य गणितज्ञों ने उत्साहपूर्वक इस पुल का विस्तार दो महाद्वीपों के बड़े वर्गों के लिए करना शुरू कर दिया। और फिर वे एक बाधा में भाग गए। इस पुल का विस्तार करने के लिए दो प्राकृतिक दिशाएँ हैं, लेकिन दोनों में टेलर-विल्स विधि एक अवरोधी अवरोध का सामना करती दिख रही थी। इम्पीरियल कॉलेज लंदन के अन्ना करयानी ने कहा,

गणितज्ञ एंड्रयू विल्स, जिन्होंने फ़र्मेट के महान प्रमेय को साबित किया और 2016 में एबेल पुरस्कार प्राप्त किया । लेकिन "हम, आम तौर पर बोल, यह नहीं सोचा था कि यह सिद्धांत रूप में संभव है।"

अब दो कार्य - दस से अधिक गणितज्ञों के कार्यों की परिणति का प्रतिनिधित्व करते हुए - इस बाधा को पार कर गए हैं, अनिवार्य रूप से दोनों समस्याओं को हल कर रहे हैं। किसी दिन, ये खोज गणितज्ञों को संख्यात्मक प्रणाली के लिए फ़र्मेट के महान प्रमेय को साबित करने में मदद कर सकती है जो कि सबसे अधिक अनजान ग्राहकों से आगे जाती है।

ये "शीर्ष परिणाम" हैं, शिकागो विश्वविद्यालय के मैथ्यू एमर्टन ने कहा । "वे संख्या सिद्धांत से कुछ मौलिक घटनाओं को प्रकट करते हैं, और हम सिर्फ यह समझने के लिए शुरुआत कर रहे हैं कि वे क्या हैं।"

वैक्यूम में सुई

Langlands पुल की तरफ से एक लगभग सरल समीकरण कि लिखा जा सकता है पर ध्यान केंद्रित किया है:, इन Diophantine समीकरण, या exponentials और पूर्णांक गुणांक के साथ चर का संयोजन होते हैं, उदाहरण के लिए, वाई = एक्स ² + 6x + 8, या एक्स ³ + y ³ = z ^३ । सहस्राब्दी के लिए, गणितज्ञों ने यह पता लगाने की कोशिश की है कि पूर्णांकों के कौन से संयोजन एक विशेष डायोफैंटाइन समीकरण को संतुष्ट करते हैं। मूल रूप से, उनकी प्रेरणा इस मुद्दे की सादगी और स्वाभाविकता पर आधारित है, लेकिन हाल ही में, उनके काम के हिस्से को क्रिप्टोग्राफी जैसे क्षेत्रों में अप्रत्याशित निरंतरता मिली है।

प्राचीन ग्रीस के बाद से, गणितज्ञों ने डायोफैंटाइन समीकरणों के पूर्णांक समाधानों को खोजने का एक तरीका जाना है, जिसमें केवल दो चर और कोई डिग्री 2 से अधिक नहीं है। हालांकि, उच्च डिग्री के मामले में, पूर्णांक समाधानों का पता लगाना एक सरल मामला है - अण्डाकार घटता शुरू करना। ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें y ² बराबर चिह्न के बाईं ओर है, और दाईं ओर 3 की अधिकतम डिग्री के साथ शब्दों का एक संयोजन है, उदाहरण के लिए, x ³ + 4x + 7. लड़के ने कहा कि कम डिग्री वाले समीकरणों की तुलना में, ये „हैं मौलिक रूप से अधिक जटिल समस्या। "

पुल के दूसरी तरफ लाइव ऑब्जेक्ट्स को ऑटोमोर्फिक फॉर्म कहा जाता है, जो कि बहुत उच्च स्तर की समरूपता के साथ टाइल को रंग देने के समान है। विल्स द्वारा अध्ययन किए गए मामलों में, टाइलें एस्चर की पच्चीकारी के समान हो सकती हैं , जहां डिस्क पर दिखाए गए राक्षसों के साथ मछली या स्वर्गदूतों की सीमा कम हो जाती है। अधिक सामान्य लैंगलैंड्स ब्रह्मांड में, टाइलें तीन आयामी गेंद या उच्च आयामों में अन्य आकृति को प्रशस्त कर सकती हैं।

ये दो प्रकार की गणितीय वस्तुएं एक दूसरे से पूरी तरह अलग हैं। फिर भी, 20 वीं शताब्दी के मध्य में, गणितज्ञों ने उनके बीच गहरे संबंधों को प्रकट करना शुरू कर दिया, और 1970 के दशक की शुरुआत तक, इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडीज के रॉबर्ट लैंगलैंड्स ने यह परिकल्पना व्यक्त की कि डायोफैंटीन समीकरणों और ऑटोमोर्फ रूपों को एक दूसरे के साथ एक निश्चित तरीके से सहसंबद्ध किया जा सकता है।

रॉबर्ट लैंगलैंड्स, जिन्होंने 50 साल पहले अनुपालन की परिकल्पना को आगे बढ़ाया, 2016 में प्रिंसटन, न्यू जर्सी में इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडीज में एक व्याख्यान देते हैं।

अर्थात्: दोनों डायोफैंटाइन समीकरणों में और स्वचालक रूपों में संख्याओं के अनंत दृश्यों को उत्पन्न करने का एक प्राकृतिक तरीका है। डायोफैंटाइन समीकरणों के लिए, मॉड्यूलर अंकगणित में समाधानों की संख्या की गणना की जा सकती है (इसे घड़ी के चेहरे पर स्थित संख्याओं के रूप में दर्शाया जा सकता है; उदाहरण के लिए, 12-घंटे डायल के मामले में, 10 + 4 = 2)। और ऐसे स्वचालित रूपों के लिए जो लैंगलैंड्स के अनुसार दिखाई देते हैं, आप मात्रात्मक ऊर्जा के स्तरों के समान संख्याओं की अंतहीन सूची प्राप्त कर सकते हैं।

यदि हम केवल primes के आधार पर मॉड्यूलर अंकगणितीय का उपयोग करते हैं, तो, लैंगलैंड्स के अनुसार, ये दो प्रकार के क्रम अलग-अलग परिस्थितियों में आश्चर्यजनक रूप से विस्तृत श्रृंखला में मेल खाएंगे। दूसरे शब्दों में, किसी भी ऑटोमोर्फिक फॉर्म के लिए, इसकी ऊर्जा का स्तर एक डायोफैंटाइन समीकरण के मॉड्यूलर अनुक्रम को नियंत्रित करता है, और इसके विपरीत।

एमरटन ने कहा कि यह कनेक्शन "टेलीपैथी से भी अजीब है"। "जिस तरह से ये दोनों पक्ष एक-दूसरे के साथ संवाद करते हैं, वह मुझे अद्भुत और अविश्वसनीय लगता है, हालांकि मैं 20 साल से अधिक समय से इस घटना का अध्ययन कर रहा हूं।"

1950 और 1960 के दशक में, गणितज्ञों को एक दिशा में इस पुल के अस्तित्व का पहला संकेत मिला: कुछ ऑटोरेस्पिक रूपों से गुणांक के साथ अण्डाकार वक्रों की ओर बढ़ने के लिए कैसे तर्कसंगत गुणांक (पूर्णांक युक्त अंश) होते हैं। फिर, 1990 के दशक में, टेलर के साथ विल्स ने दीर्घवृत्त घटता के एक विशेष परिवार के लिए पुल के लिए एक और दिशा पाई । उनके परिणाम ने स्वचालित रूप से फर्मेट के महान प्रमेय का एक प्रमाण प्रस्तुत किया, क्योंकि गणितज्ञों ने पहले ही दिखाया था कि यदि यह गलत था, तो कम से कम इन अण्डाकार कर्वों में एक संबंधित ऑटोमोर्फिक फॉर्म नहीं होगा।

फ़र्मैट का महान प्रमेय इस पुल के निर्माण के बाद आई एकमात्र खोज से बहुत दूर था। उदाहरण के लिए, गणितज्ञों ने इसका इस्तेमाल साबित करने के लिए कियासातो-टेट की परिकल्पना , एक दीर्घवृत्तीय वक्र के मॉड्यूलर समाधानों की संख्या के सांख्यिकीय वितरण से संबंधित दसियों साल पुरानी समस्या, साथ ही साथ वाहन संबंधी रूपों के ऊर्जा स्तरों के बारे में परिकल्पना को साबित करने के लिए, जो 20 वीं शताब्दी के श्रीनिवास रामानुजन अयंगर की शुरुआत के महान गणितज्ञ द्वारा व्यक्त की गई थी ।

विल्स और टेलर ने अपने निष्कर्ष प्रकाशित किए, यह स्पष्ट हो गया कि उनकी विधि अभी भी संभावनाओं से भरी हुई थी। जल्द ही, गणितज्ञों ने महसूस किया कि इसे तर्कसंगत गुणांक के साथ अण्डाकार वक्रों तक कैसे बढ़ाया जाए । बाद में, गणितज्ञों ने पता लगाया कि गुणांक को सरल अपरिमेय संख्याओं के साथ कैसे कवर किया जाए, जैसे कि 3 + ians2।

लेकिन वे जो सफल नहीं हुए, वह टेलर-वाइल्स विधि को जटिल गुणांक जैसे कि i (√-1) या 3 + i, या i2i के साथ दीर्घवृत्तीय वक्रों तक विस्तारित करना था। इसके अलावा, वे अण्डाकार घटता की तुलना में शक्तियों के साथ डायोफैंटीन समीकरणों का सामना नहीं कर सकते थे। 3 के बजाय समान चिह्न के दाईं ओर डिग्री 4 के समीकरणों को टेलर-विल्स विधि का उपयोग करके आसानी से हल किया गया था, लेकिन जैसे ही डिग्री 5 तक बढ़ी, विधि ने पहले ही काम करना बंद कर दिया।

गणितज्ञों ने धीरे-धीरे महसूस करना शुरू कर दिया कि लैंगलैंड पुल के इन दो प्राकृतिक एक्सटेंशनों के साथ समस्या केवल टेलर-वाइल्स पद्धति में थोड़े सुधार के साथ आना नहीं था। जाहिर है, बाधा मौलिक थी।

गाइ ने कहा, "ये मेरे लिए हुए उदाहरण हैं।" "लेकिन उन्होंने आपको बताया: नहीं, ये चीजें निराशाजनक रूप से पहुंच से बाहर हैं।"

समस्या यह थी कि टेलर-विल्स विधि एक ऑटोमोर्फिक रूप को डायोफैंटीन समीकरण के अनुरूप बनाती है और इसे अन्य ऑटोमोर्फिक रूपों का उपयोग करके क्रमिक रूप से अनुमानित करती है। हालांकि, जब जटिल संख्याएं या 4 डिग्री से अधिक की डिग्री समीकरणों के गुणांक में होती है, तो बहुत कम ऑटोमोर्फिक रूप होते हैं - इतना कम कि लगभग किसी भी ऑटोमोर्फिक रूप में सबसे अधिक संभावना निकटतम निकटतम ऑटोमोर्फिक रूपों का नहीं होगा जो इसे अनुमानित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

विल्स के तहत, हमें जो आटोमोर्फिक शेप चाहिए, वह "हीस्टैक में सुई" के समान है, लेकिन यह स्टैक मौजूद है। "और यह धातु के बुरादे के ढेर के साथ तुलना की जा सकती है, जिसमें आप एक चुंबक लाते हैं - बुरादा संरेखित होता है और आपको सुई की ओर इशारा करता है।"

हालांकि, जटिल गुणांक या उच्च क्रम की डिग्री के मामले में, उनके अनुसार, यह अधिक "एक वैक्यूम में सुई जैसा दिखता है।"

चाँद के लिए उड़ान

आज के कई सिद्धांत सिद्धांत ऐसे समय में बढ़ रहे थे जब विल्स अपने प्रमाण के साथ आए थे। "यह गणित का एकमात्र उदाहरण था जो मैंने अखबारों के पहले पन्नों पर देखा था," गाइ याद करते हैं, जो उस समय 13 वर्ष का था। "इसने कई लोगों को प्रेरित किया, वे इसका पता लगाना चाहते थे, और परिणामस्वरूप, यह इस कारण से था कि उन्होंने इस क्षेत्र में काम करना शुरू कर दिया था।"

इसलिए, जब 2012 में दो गणितज्ञों - शिकागो विश्वविद्यालय के फ्रैंक कलेगारी और डेविड गेरती (अब एक फेसबुक शोधकर्ता) - ने टेलर-विल्स विधि का विस्तार करने की अनुमति नहीं देने वाली बाधा को दूर करने का एक तरीका प्रस्तावित किया, यह विचार एक नई पीढ़ी के संख्या सिद्धांत विशेषज्ञों की समीक्षा से साबित हुआ।

उनके काम ने प्रदर्शित किया कि "यह मौलिक बाधा जो हमारी प्रगति को बाधित करती है वह बिल्कुल भी बाधा नहीं थी," गाय ने कहा। उन्होंने स्पष्ट किया कि वास्तव में, टेलर-विल्स विधि की स्पष्ट सीमाएं बताती हैं कि "आपको केवल कलगी और गेरती द्वारा प्रस्तुत एक वास्तविक, अधिक सामान्य विधि की छाया महसूस हुई।"

2015 में बोस्टन विश्वविद्यालय में डेविड गेराटी

ऐसे मामलों में जहां अचानक एक बाधा उत्पन्न होती है, ऑटोमोर्फिक रूप द्वि-आयामी ईशर टाइलों की तुलना में अधिक आयामों की टाइलों पर रहते हैं जो अध्ययन करते हैं। इन उच्च-आयामी दुनिया में, यह असुविधाजनक है कि ऑटोमोर्फिक रूप बहुत दुर्लभ हैं। लेकिन उच्च आयामों की टाइलें अक्सर दो आयामी वाले की तुलना में अधिक समृद्ध संरचना प्रदान करती हैं। कैलगरी और गेराती इस समृद्ध संरचना का उपयोग करने के विचार के साथ आए थे ताकि ऑटोमोर्फिक रूपों की कमी की भरपाई हो सके।

अधिक सटीक रूप से, प्रत्येक विशिष्ट ऑटोमोर्फिक फॉर्म के लिए, आप इसकी टाइलों के "रंग" का उपयोग एक मापने वाले उपकरण के रूप में कर सकते हैं जो आपके चुने हुए टाइल के किसी भी हिस्से के औसत रंग की गणना कर सकता है। द्वि-आयामी स्थिति में, स्वचालित रूप से, वास्तव में, एकमात्र ऐसा माप उपकरण उपलब्ध है। लेकिन उच्च आयाम वाले टाइलों में नए उपकरण हैं, तथाकथित मरोड़ कक्षाएं, और उनकी मदद से, प्रत्येक टाइल अनुभाग को औसत रंग नहीं सौंपा जा सकता है, लेकिन मॉड्यूलर अंकगणित से संख्या। और मरोड़ के ऐसे वर्ग एक दर्जन से अधिक हैं।

कलीगारी और गेरती ने सुझाव दिया कि कुछ डायोफैंटाइन समीकरणों के लिए यह अन्य ऑटोमोर्फिक रूपों द्वारा नहीं बल्कि सन्निकटन वर्गों द्वारा सन्निकटन के माध्यम से संबंधित ऑटोमोर्फिक रूप को खोजने के लिए निकल सकता है। "उनमें से यह विचार शानदार निकला," करजानी ने कहा।

कालेगारी और गेरती ने डायप्लेन के समीकरणों से लेकर ऑटोमैटिक रूपों तक बहुत व्यापक पुल के निर्माण के लिए एक योजना पेश की, जिसमें विल्स और टेलर ने निर्माण किया। हालांकि, उनके विचार को पूर्ण-विकसित पुल नहीं माना जा सकता था। इसे काम करने के लिए, पहले तीन बड़े प्रमेयों को सिद्ध करना आवश्यक था। कलीगारी के अनुसार, इसकी तुलना इस तथ्य से की जा सकती है कि गेरती के साथ उनके काम में चंद्रमा पर उड़ान की योजना का वर्णन है, यदि केवल वह व्यक्ति जो यह चाहता है कि उसके पास एक अंतरिक्ष यान, रॉकेट ईंधन और स्पेससूट होगा। और ये तीन प्रमेय "हमारी पहुँच से बाहर थे", कलगीरी ने कहा।

विशेष रूप से, कैलेगरी और गेराती की विधि ने ऑटोमोर्फिक रूपों से डायोफैंटीन समीकरणों तक, एक अन्य दिशा में जाने वाले तैयार पुल की उपस्थिति की मांग की। और इस पुल को न केवल ऑटोमोर्फिक रूपों को संयोजित करना था, बल्कि ट्विस्टिंग कक्षाएं भी थीं। "मुझे लगता है कि बहुत से लोगों ने इसे एक निराशाजनक कार्य माना, जब कालेगारी और गेरती ने पहली बार अपने कार्यक्रम का वर्णन किया," टेलर ने कहा, अब नॉर्डफोर्ड विश्वविद्यालय में।

कालेगारी और गेरती के काम के प्रकाशन के एक साल से भी कम समय में, पीटर शॉल्ज़ , बॉन विश्वविद्यालय के एक युवा प्रतिभाशाली हैं, जिन्होंने फील्ड पुरस्कार प्राप्त किया हैगणित के लिए सर्वोच्च पुरस्कार, संख्या सिद्धांत में चकित विशेषज्ञ, यह पता लगाने के लिए कि कैसे अंडाकार वर्गों के किनारे से डायोफैंटीन समीकरणों की ओर मुड़ने वाले वर्गों से स्विच किया जाए, जिनके गुणांक 3 या 2i या 4 - √5i जैसे सरल जटिल संख्याएँ हैं। "उन्होंने बहुत सारी आश्चर्यजनक चीजें कीं, लेकिन यह शायद उनकी सबसे आश्चर्यजनक उपलब्धि है," टेलर ने कहा।

गणितज्ञ पीटर स्कोल्ज़

शोलज़ ने कालेगारी और गेराती के तीन प्रमेयों में से पहला साबित किया। और स्कोल्ज़ और करायनी द्वारा बाद के संयुक्त काम के जोड़े ने दूसरे प्रमेय को साबित करने के लिए बहुत करीब आ गए, जो शोलेज़ द्वारा पाए गए पुल पर सही गुणों की उपस्थिति का प्रदर्शन करता है।

एक लग रहा था कि इस कार्यक्रम में आसानी से महारत हासिल की जा सकती है, इसलिए 2016 के पतन में, कालाजारी के अनुसार, करजनी और टेलर ने आयोजित किया, इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडीज में "गुप्त कार्यशाला", जिसका उद्देश्य आगे की प्रगति हासिल करना था। कालेगारी ने कहा, "हमने वहां एक दर्शक पर कब्जा कर लिया और किसी को अंदर नहीं जाने दिया।"

कुछ दिनों की प्रारंभिक बातचीत के बाद, कार्यशाला के प्रतिभागियों को यह समझ में आने लगा कि कैसे एक साथ दूसरे प्रमेय से निपटना है और तीसरे के आसपास प्राप्त करना है। ", और शायद एक दिन के भीतर सभी कार्यों को तैयार करने के बाद, हम सभी ने उन्हें हल किया," प्रोजेक्ट प्रतिभागियों में से एक, गाय ने कहा।

सप्ताह के शेष, प्रतिभागियों ने साक्ष्य के विभिन्न पहलुओं के एक विस्तृत अध्ययन के लिए समर्पित किया, और अगले दो वर्षों में काम में अपनी खोजों को औपचारिक रूप दिया ।दस लोगों की लेखकों की संख्या - इस तरह की राशि संख्या सिद्धांत पर काम के लिए अनसुनी है। वास्तव में, उनका काम तर्कसंगत संख्याओं और सरल अपरिमेय और जटिल संख्याओं से बने किसी भी संख्या प्रणाली से गुणांक वाले अण्डाकार घटता के लिए लैंगलैंड पुल के अस्तित्व को स्थापित करता है। गाइ ने कहा कि

अन्ना करयानी और रिचर्ड टेलर

ने मुख्य रूप से यह समझने के लिए कार्यशाला का आयोजन किया था कि आप समाधान के कितने करीब पहुंच सकते हैं। "मुझे नहीं लगता कि हममें से किसी ने हमसे सब कुछ साबित करने की उम्मीद की है।"

पुल की निरंतरता

इस बीच, एक और कहानी अण्डाकार घटता से परे पुल की निरंतरता से संबंधित थी। कैलेगरी और गाइ ने जॉर्ज बॉक्सर (अब ल्योन, फ्रांस में हायर नॉर्मल स्कूल में काम कर रहे हैं) के मामलों पर काम किया, जहां डायोफेंटाइन समीकरणों की उच्चतम डिग्री 5 या 6 (3 और 4 के बजाय पहले से ही ज्ञात मामलों के रूप में) है। हालांकि, तीन गणितज्ञ अपने प्रमाण में एक महत्वपूर्ण बिंदु पर फंस गए थे।

और फिर, अगले सप्ताह के अंत में, "सीक्रेट वर्कशॉप" आयोजित करने के बाद, हायर नॉर्मल स्कूल के विन्सेंट पिलोनी ने एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें दिखाया गया था कि इस बहुत ही बाधा को कैसे प्राप्त किया जा सकता है। "अब हमें अपना काम धीमा करना होगा और पिलोनी के साथ सहयोग शुरू करना होगा!" - इसलिए, कलगी के अनुसार, तीन शोधकर्ताओं ने तुरंत एक-दूसरे को बताया।

कुछ ही हफ्तों में, चार गणितज्ञों ने इस समस्या को हल कर दिया, हालांकि इसमें कुछ वर्षों का काम और विचारों के विस्तृत विवरण के लगभग 300 पृष्ठ थे। उनके काम , साथ ही 10 लोगों के लेखकों के काम को दिसंबर 2018 में चार दिनों के अंतर के साथ इंटरनेट पर प्रकाशित किया गया था।

फ्रैंक कैलेगरी, टोबी गाय और विंसेंट पिलोनी ने

कहा, "यह एक बहुत ही गंभीर उपलब्धि है," इन दो कार्यों पर एमर्टन ने टिप्पणी की। उन्होंने उन्हें और बिल्डिंग ब्लॉक्स को बुलाया, जो उन्हें "कला का काम" से पहले था।

यद्यपि ये दोनों कार्य, वास्तव में, यह साबित करते हैं कि डायोफैंटाइन समीकरणों और ऑटोमोर्फिक रूपों के बीच रहस्यमय टेलीपैथिक कनेक्शन नई स्थितियों में स्थानांतरित हो गया है, एक पकड़ है: वे दो गणितीय तटों के बीच एक आदर्श पुल का निर्माण नहीं करते हैं। कार्य केवल "ऑटोमोरिज़्म की संभावित उपस्थिति" बताता है। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक डायोफैंटाइन समीकरण का एक समान ऑटोमोर्फिक रूप होता है, लेकिन हम यह सुनिश्चित करने के लिए नहीं जानते हैं कि यह ऑटोमोर्फिक फॉर्म महाद्वीप के उस हिस्से पर रहता है जहां वैज्ञानिकों के अनुसार, यह स्थित होना चाहिए। हालांकि, कई अनुप्रयोगों के लिए संभावित स्वचालिततावाद पर्याप्त है - उदाहरण के लिए, डायोफेंटाइन समीकरणों के मॉड्यूलर समाधानों के आंकड़ों के बारे में सातो-टेट परिकल्पना के लिए, जिनकी परिचालन क्षमता पहले की तुलना में बहुत व्यापक परिदृश्य पर साबित हो सकती है, दस लेखकों द्वारा साबित की जा सकती है।

गणितज्ञों को पहले से ही समझ में आने लगा है कि इन परिणामों को संभावित स्वचालितता के साथ कैसे सुधारें। अक्टूबर में, तीन गणितज्ञों - अर्बन विश्वविद्यालय के इलिनोइस विश्वविद्यालय से पैट्रिक एलन , लॉस एंजिल्स में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय से चंद्रशेखर हरे और कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के जैक थॉर्न - ने साबित किया कि 10 लेखकों के साथ काम में विचार किए गए अण्डाकार घटता का एक महत्वपूर्ण हिस्सा पुल है। सिर्फ सही स्थानों पर आ रहे हैं।

भविष्य में इस तरह की उच्च सटीकता वाले पुल गणितज्ञों को नई प्रमेयों के एक पूरे समूह को साबित करने की अनुमति दे सकते हैं, जिसमें एक सदी पहले फर्मेट के महान प्रमेय का सामान्यीकरण भी शामिल है। उत्तरार्द्ध का दावा है कि इस प्रमेय के समीकरण का अभी भी कोई समाधान नहीं होगा, यहां तक कि जब एक्स, वाई और जेड के बजाय हम न केवल पूर्णांक मानों को प्रतिस्थापित करेंगे, बल्कि पूर्णांक और एक काल्पनिक इकाई के संयोजन । कोलंबिया विश्वविद्यालय के माइकल हैरिस

ने कहा, कलगीरी-गेरती कार्यक्रम के तहत दो कार्य अवधारणा के महत्वपूर्ण प्रमाण प्रदान करते हैं । उन्होंने कहा, "यह प्रदर्शित करता है कि विधि एक विस्तृत श्रृंखला में लागू है।"

और यद्यपि नए कार्य पहले की तुलना में लैंगलैंड महाद्वीपों के बहुत व्यापक वर्गों से पुलों को जोड़ते हैं, फिर भी वे विशाल प्रदेशों को बिना रुके छोड़ देते हैं। डायोफैंटाइन समीकरणों की ओर से, इन समीकरणों में 6 से अधिक डिग्री वाले सभी समीकरण शामिल हैं, साथ ही दो से अधिक चर वाले समीकरण भी शामिल हैं। दूसरी ओर, अपरिवर्तित प्रदेश आज तक अध्ययन किए गए लोगों की तुलना में अधिक जटिल सममित स्थानों पर रहने वाले स्व-प्रतिरक्षी रूपों से संबंधित हैं।

"आज, यह काम सफलता के शिखर का प्रतिनिधित्व करता है," एमर्टन ने कहा। "लेकिन कुछ बिंदु पर उन्हें लक्ष्य प्राप्त करने की दिशा में एक कदम माना जाएगा।"

लैंगलैंड्स ने खुद कभी भी घुमा-फिराकर, ऑटोमोर्फिक रूपों का अध्ययन करने के बारे में नहीं सोचा था, इसलिए गणितज्ञों के लिए मुश्किल कामों में से एक इन दो अलग-अलग दृष्टिकोणों का एक एकीकृत दृष्टिकोण खोजना होगा। "हम अपनी सीमा का विस्तार कर रहे हैं," टेलर ने कहा। "हम लैंगलैंड्स के साथ किसी तरह से सड़क पर चले गए और हम नहीं जानते कि हम कहाँ जा रहे थे।"

एक "आश्चर्यजनक" गणितीय पुल जो फ़र्मट के महान प्रमेय से परे फैला हुआ है

गणितज्ञों ने यह पता लगाया कि गणितीय दुनिया के दो दूर महाद्वीपों को जोड़ने वाले रहस्यमयी पुल को कैसे लंबा किया जाए

वैक्यूम में सुई

चाँद के लिए उड़ान

पुल की निरंतरता

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