संभाव्यता सिद्धांत: एक साक्षात्कार और "विरोधाभास" को सुलझाने के लिए तैयारी

हर साल मैं JetBrains शैक्षिक परियोजनाओं में लगभग सौ साक्षात्कारों में भाग लेता हूं : कंप्यूटर विज्ञान केंद्र और ITMO के कॉर्पोरेट मास्टर कार्यक्रम में आवेदकों का साक्षात्कार (वैसे, भर्ती)अभी कार्यक्रम में जाता है)। सभी साक्षात्कारों को एक पैटर्न के अनुसार व्यवस्थित किया जाता है: हम आपको मौके पर समस्याओं को हल करने के लिए कहते हैं और उन विषयों पर बुनियादी प्रश्न पूछते हैं जो छात्रों ने विश्वविद्यालयों में अध्ययन किए हैं। हमारे द्वारा पूछे जाने वाले अधिकांश प्रश्न काफी सरल हैं - आपको एक अवधारणा की परिभाषा देने, एक संपत्ति या प्रमेय तैयार करने की आवश्यकता है। दुर्भाग्य से, छात्रों के एक महत्वपूर्ण अनुपात में, विश्वविद्यालयों में परीक्षा के तुरंत बाद इन सभी परिभाषाओं को मिटा दिया जाता है। ऐसा लगेगा कि आश्चर्य की कोई बात नहीं है? आधुनिक दुनिया में, यदि आवश्यक हो, तो कुछ ही सेकंड में कोई भी परिभाषा Google हो सकती है। लेकिन मूल परिभाषा को बहाल करने में असमर्थता विषय के सार की समझ की कमी को इंगित करती है ।

यदि बीजगणित या गणितीय विश्लेषण की गलतफहमी आपके जीवन पर बहुत कम प्रभाव डाल सकती है, तो संभावना सिद्धांत की गलतफहमी आपको धोखे और हेरफेर के लिए एक आसान लक्ष्य बनाती है। विभिन्न घटनाओं की संभावनाओं के बारे में निर्णय हमारे दैनिक जीवन में इतनी गहराई से अंतर्निहित हैं कि अज्ञानता या हेरफेर से सत्य को तर्क और भेद करने की क्षमता आवश्यक है। इस छोटी समीक्षा में, हम संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाओं के बारे में बात करेंगे, सरल यादृच्छिक प्रक्रियाओं के बारे में सही ढंग से कथन तैयार करना सीखेंगे और कुछ विरोधाभासों का विश्लेषण करेंगे। सामग्री का हिस्सा ए। शेन "संभावना: उदाहरण और कार्य" की पुस्तिका से उधार लिया गया था , जिसे मैं स्वतंत्र अध्ययन के लिए अत्यधिक सलाह देता हूं।

परिभाषाओं के बारे में बात करने से पहले, हमें इस बात पर सहमत होने की आवश्यकता है कि हमारी दुनिया में यादृच्छिकता कहां से आती है। उदाहरण के लिए, हमें क्यों लगता है कि सिक्का उछालना एक यादृच्छिक प्रक्रिया है? शास्त्रीय भौतिकी के दृष्टिकोण से, जो स्थूल जगत में प्रक्रियाओं का वर्णन करता है, सब कुछ निर्धारित होता है, इसलिए, सिक्का टॉस के मापदंडों से, यह स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जा सकता है कि यह किस तरफ गिर जाएगा। हालांकि, व्यवहार में यह पता चला है कि सिक्के को वास्तव में प्रभावित करने वाली सभी ताकतों को मापना और लेना असंभव है, और इसलिए इस प्रयोग का परिणाम यादृच्छिक माना जाता है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि यह प्रश्न संभाव्यता सिद्धांत का प्रश्न नहीं है। संभाव्यता सिद्धांत मॉडल के साथ काम करता है - इसके लिए, एक सिक्का जिसमें ईगल और पूंछ समान रूप से गिरते हैं, और एक सिक्का जिसमें कई ईगल होते हैं जैसे पूंछ केवल दो अलग-अलग मॉडल हैं। प्रश्न हैकौन सा मॉडल मनाया वास्तविकता के साथ अधिक सुसंगत है हमारे अनुभव का एक सवाल है (अनुभव से पता चलता है कि ईगल और पूंछ की आवृत्ति लगभग समान है)। इस प्रकार, पहली चीज हमें एक मॉडल पर सहमत होने की आवश्यकता है।

परिभाषाएं

एक मॉडल निर्धारित करने के लिए जो हमें संभावनाओं के बारे में बात करने की अनुमति देता है, हमें एक संभावित स्थान का वर्णन करने की आवश्यकता है ।

सबसे सरल अंतिम मामले में संभावना स्थान में कई प्रारंभिक परिणाम होते हैं $$$\Omega = \{a_1, a_2, \dotsc, a_n\}$ और गैर ऋणात्मक संख्याओं का एक सेट$$$\{p_1,p_2,\dotsc, p_n\}$ जैसे कि उनका योग है$$$1$ । अक्सर, सभी परिणामों को समान रूप से संभावित माना जाता है, अर्थात।$$$p_1=p_2=\dotsb=p_n$ । एक अधिक जटिल अनंत मामले में,ब्याज की घटनाओं के सेटको अलग-अलग करने के लिए आवश्यकहैऔर एक फ़ंक्शन का उपयोग करके घटनाओं की संभावनाओं को सेट करनासंभवता मापता है। एक घटनाप्राथमिक घटनाओं से युक्त एक सेट है, अर्थात कोई भी उपसमुच्चय$$$\Omega$ । घटना की संभावना$$$E\subseteq \Omega$ , से निरूपित किया$$$\Pr[E]$$$$p_i$, क्या $$$a_i\in E$। विशेष रूप से, एक खाली घटना की संभावना$$$E = \emptyset$ शून्य और घटनाओं के बराबर है $$$E=\Omega$ 1 के बराबर। उस स्थिति में जब सभी परिणामों को समान रूप से संभावित माना जाता है, तो किसी घटना की संभावना घटना के कुल परिणामों की संख्या के अनुपात के बराबर होती है, जो प्राथमिक परिणामों की कुल संख्या के लिए होती है, अर्थात्। $$$\Pr[E] = |E| / |\Omega|$।

किसी भी घटना की संभावना 0 और 1 के बीच है। यदि घटना की संभावना शून्य है, तो ऐसी घटना को असंभव कहा जाता है , यदि घटना की संभावना एकता के बराबर है, तो ऐसी घटना को विश्वसनीय कहा जाता है ।

यह महत्वपूर्ण है कि संभावना स्थान को निर्धारित किए बिना किसी चीज की संभावना के बारे में बात करना असंभव (गणितीय अर्थ में) है।

टिप्पणी

संभाव्यता स्थान की परिभाषा के आधार पर, संभाव्यता सिद्धांत और आँकड़ों के बीच अंतर करना आसान होता है: प्रायिकता सिद्धांत, प्रायिकता स्थान के ज्ञान के आधार पर आवृत्तियों की भविष्यवाणी करता है, और आँकड़े उलटा समस्या हल करता है - अवलोकनीय आवृत्तियों के आधार पर अज्ञात अज्ञातता स्थान के मापदंडों को निर्धारित करता है।

उदाहरण: सिक्का फ्लिप

हम मानते हैं कि सिक्का ढंका हुआ "सही" या "सममित" है, अर्थात यह समान रूप से अक्सर एक ईगल और पूंछ के साथ बाहर निकलता है, और कभी भी किनारे पर नहीं उगता है। तब प्राथमिक परिणामों के सेट में दो तत्व होते हैं,$$$\Omega = \{ \text{}, \text{}\}$। चूंकि हम सहमत थे कि सिक्का "सही" है, इसलिए यह मान लेना उचित है$$$p_1 = p_2 = 1/2$। अब सभी संभावित घटनाओं और उनकी संभावनाओं को सूचीबद्ध करते हैं।

1. न तो चील और न ही पूंछ बाहर गिरेंगे। यह घटना से मेल खाती है।$$$E = \emptyset$, $$$\Pr[E] = 0$।
2. एक चील गिरेगी $$$E = \{\text{}\}$, $$$\Pr[E] = 1/2$।
3. पूंछ बाहर गिर जाएगी $$$E = \{\text{}\}$, $$$\Pr[E] = 1/2$।
4. एक चील या पूंछ गिर जाएगी $$$E = \{\text{}, \text{}\}$, $$$\Pr[E] = 1/2 + 1/2 = 1$।

उदाहरण: पासा फ्लिप

सिक्के के मामले में, हम यह मानेंगे कि खेलते हुए मरने वाले सभी चेहरे समान रूप से गिर जाते हैं। तब प्राथमिक परिणामों के सेट में छह तत्व होते हैं,$$$\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, उनकी सभी संभावनाएँ समान हैं $$$p_1 = p_2 = \dotsb = p_6 = 1/6$। इस प्रयोग में विभिन्न घटनाओं की संख्या है$$$64 = 2^6$(यह 6 तत्वों के एक सेट के सभी सबसेट की संख्या है)। हैरानी की बात है, "एक पासा फेंकने के साथ एक प्रयोग में कितने अलग-अलग घटनाएँ मौजूद हैं?" सवाल, मेरे अवलोकन में, 10 में से 9 आवेदकों को चकमा देता है।
आइए घटनाओं के कुछ उदाहरणों को देखें।

1. ड्रॉप 1 $$$E = \{1\}$, $$$\Pr[E] = 1/6$।
2. तीन से अधिक की संख्या होगी, $$$E = \{4, 5, 6\}$, $$$\Pr[E] = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2$।
3. तीन में से कई दिखाई देंगे, $$$E = \{3, 6\}$, $$$\Pr[E] = 1/6 + 1/6 = 1/3$।

उदाहरण: दो सिक्के फ़्लिप

सिक्के की "समरूपता" के बारे में समान धारणाओं के तहत, हम प्राथमिक परिणामों के सेट को निर्धारित जोड़े के सेट के रूप में परिभाषित करते हैं।

$$

$$\Omega = \{ (\text{}, \text{}), (\text{}, \text{}), (\text{}, \text{}), (\text{}, \text{})\}.$$

सिक्के की समरूपता हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देती है कि सभी प्रारंभिक परिणाम समान रूप से संभावित हैं, अर्थात। $$$p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = 1/4$।
घटनाओं के उदाहरण।

1. पहले रोल में, पूंछ $$$E = \{(\text{},\text{}), (\text{}, \text{})\}$, $$$\Pr[E] = 1/4 + 1/4 = 1/2$।
2. कम से कम एक पूंछ बाहर गिर जाएगी $$$E = \{(\text{},\text{}), (\text{}, \text{}),(\text{}, \text{})\}$, $$$\Pr[E] = 1/4+1/4+1/4 = 3/4$।
3. सिक्के को एक तरफ दो बार गिराया जाएगा, $$$E = \{(\text{}, \text{}), (\text{}, \text{})\}$, $$$\Pr[E] = 1/4 + 1/4 = 1/2$।

उदाहरण: 2020 कैलेंडर से एक यादृच्छिक संख्या का चयन करना

कई प्राथमिक परिणाम $$$\Omega = \{1, 2,\dotsc,31\}$। संभावनाओं का चयन कैसे करें? यह इस बात पर निर्भर करता है कि प्रयोग कैसे किया जाता है। उदाहरण के लिए, हम एक आंसू बंद कैलेंडर की एक यादृच्छिक शीट को फाड़ सकते हैं और उस पर संख्या देख सकते हैं। इस प्रयोग का वर्णन करने वाला सबसे सटीक मॉडल एक संभावना वाला स्थान होगा$$$366$परिणाम जहां अलग-अलग महीनों की समान संख्याएँ भिन्न होती हैं। और फिर यह संभावना कि नंबर 1 गिरता है, विभिन्न महीनों की पहली संख्या के अनुरूप प्राथमिक परिणामों की संभावनाओं का योग होगा, अर्थात।$$$12\cdot 1/366$। लेकिन सुविधा के लिए हम प्राथमिक परिणामों के एक सरल सेट पर विचार कर सकते हैं$$$\Omega$ 31 परिणामों के साथ, लेकिन विभिन्न संभावनाओं के साथ: $$$p_1 = p_2 =\dotsb =p_{29} = 12/366$, $$$p_{30} = 11/366$, $$$p_{31} = 7/366$।

एक घटना का एक उदाहरण: "महीने का खींचा हुआ दिन 10 से विभाजित होता है"। यह घटना से मेल खाती है।
$$$E = \{10,20,30\},\ \Pr[E] = p_{10} + p_{20} + p_{30} = (12+ 12+11)/366 = 35/366$।

टिप्पणी

एक बार जब हमने संभावना स्थान निर्धारित कर लिया है (यानी, हमने सेट पर फैसला कर लिया है $$$\Omega$और संभावनाएँ जिन्हें हम प्राथमिक परिणामों के लिए जिम्मेदार मानते हैं), फिर कुछ घटना की संभावना का प्रश्न विशुद्ध रूप से अंकगणित बन जाता है। दूसरे शब्दों में, जैसे ही हमने कुछ गणितीय मॉडल चुना है, जो हमारे दृष्टिकोण से भौतिक प्रक्रिया का वर्णन करता है, सभी घटनाओं की संभावनाएं विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती हैं।

सेल्फ-टेस्ट टास्क

प्रत्येक समस्या में, किसी को पहले संभावना स्थान का वर्णन करना चाहिए, और उसके बाद ही गणना करनी चाहिए।

1. : . , .
2. .
3. 1 20. , , :
   
   • ;
   • 3;
   • 2, 3;
   • 2, 3;
   • 9;
   • , 3.

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निम्नलिखित प्रयोग पर विचार करें: दो सिक्के टॉस करें और देखें कि वे किस तरफ गिरे। एक कह सकता है कि इस समस्या में केवल तीन परिणाम हैं: दो पूंछ, दो ईगल और एक ईगल और पूंछ। यदि हम मानते हैं कि सभी परिणाम समान रूप से संभव हैं, तो यह पता चलता है कि दो ईगल गिरने की संभावना 1/3 के बराबर है। गणित हमें इस तरह के एक संभावित स्थान पर विचार करने से रोकता नहीं है, लेकिन प्रयोगात्मक सत्यापन से पता चलता है कि भौतिक दुनिया में इसका उत्तर 1/4 के करीब है। इसलिए, आपको डिफ़ॉल्ट रूप से यह नहीं मान लेना चाहिए कि सभी परिणाम समान रूप से होने की संभावना है, अन्यथा हम डायनासोर बैठक की संभावना के बारे में एक प्रश्न के उत्तर में 1/2 प्राप्त करेंगे।

संभाव्यता सूत्र

हम कहते हैं कि दो घटनाएं असंगत हैं यदि उनका चौराहा एक खाली सेट के बराबर है। यही है, कोई परिणाम नहीं हैं जो दोनों घटनाओं के अनुरूप होंगे। उदाहरण: घटनाएँ "एक समान संख्या एक पासा पर गिरती हैं" और "एक या एक पासा पर गिर गया" असंगत हैं।

असंगत घटनाओं में निम्नलिखित संपत्ति होती है। रहने दो$$$A$ तथा $$$B$- दो असंगत घटनाएं। कम से कम उनमें से एक होने की संभावना संभावनाओं के योग के बराबर है$$$A$ तथा $$$B$, दूसरे शब्दों में $$$\Pr[A\cup B] = \Pr[A] + \Pr[B]$प्रतिस्पर्धा $$$A\cup B$घटनाओं का योग भी कहा जाता है$$$A$ तथा $$$B$ और निरूपित करें $$$A+B$। इस संपत्ति को मनमाने घटनाओं के लिए निष्पादित नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, घटनाएँ "एक समान संख्या एक पासा पर गिरती हैं" और "एक पासा पर चार से अधिक संख्या" असंगत नहीं हैं और उनकी संभावनाओं (5/6) का योग उनकी राशि (4/6) की संभावना से अधिक है।

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें। बैग में तीन रंगों के गोले हैं: सफेद, पीला और काला। इसके अलावा, यह ज्ञात है कि सफेद$$$10\%$ कुल, और पीला - $$$15\%$। क्या संभावना है कि एक बेतरतीब ढंग से तैयार की गई गेंद उज्ज्वल होगी? सटीक गिनती से पता चलता है कि अगर एक बैग में$$$N$ गेंदों, तो सवाल में घटना से मेल खाती है $$$0.1N + 0.15N = 0.25N$ गेंदों, यानी $$$25\%$गेंदों की कुल संख्या। घटनाएँ "एक सफेद गेंद खींची" और "एक पीले रंग की गेंद खींची" असंगत हैं, इसलिए यह संभावना है कि गेंद हल्की होगी और इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है।

घटनाओं को विपरीत कहा जाता है यदि वास्तव में उनमें से एक हमेशा होता है। इस परिभाषा से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि, सबसे पहले, ये घटनाएं असंगत हैं, और दूसरी बात, उनकी कुल संभावना 1 है। घटना के विपरीत एक घटना$$$E$इसके रूप में बताया गया $$$\Omega\setminus E$ (यदि सभी प्रारंभिक परिणामों में सकारात्मक संभावना है, तो यह एकमात्र ऐसा आयोजन है)।

सेल्फ टेस्ट चैलेंज

बेतरतीब ढंग से एक नंबर का चयन करें $$$n$ 1 से 100 तक। निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें:

1. संख्या $$$n$ समान रूप से;
2. संख्या $$$n$ अजीब;
3. संख्या $$$n$ 4 से विभाज्य;
4. संख्या $$$n$ 4 से विभाजित होने पर 2 शेष है;
5. संख्या $$$n$ 4 से विभाजित होने पर 1 शेष रहता है।

इन घटनाओं में से कौन सी असंगत हैं? (सभी जोड़ों को इंगित करें)

समावेश और बहिष्करण सूत्र

असंगत नहीं हैं दो घटनाओं के योग की संभावना का निर्धारण कैसे करें? निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें। स्कूल के छात्रों के बीच$$$15\%$ प्रतिशत फ्रेंच जानते हैं और $$$20\%$जर्मन जानते हैं। कुल मिलाकर दोनों भाषा बोलने वालों का अनुपात$$$5\%$। उन छात्रों का अनुपात क्या है जो इन दो भाषाओं में से कम से कम एक जानते हैं? यदि हम एक आरेख बनाते हैं, यदि हम फ्रेंच जानने वालों और जर्मन जानने वालों के शेयरों को जोड़ते हैं, तो हम दोनों भाषाओं को जानने वालों को दो बार गिनेंगे। इसलिए, उत्तर:$$$15\% + 20\% - 5\%= 30\%$।

एक ही प्रश्न को प्रायिकता सिद्धांत की भाषा में भी तैयार किया जा सकता है: किस संभावना के साथ यादृच्छिक रूप से चयनित छात्र कम से कम दो भाषाओं में से एक को जानता है? इसी तरह का तर्क हमें निम्नलिखित सूत्र की ओर ले जाता है:

$$

$$\Pr[A\cup B] = \Pr[A] + \Pr[B] - \Pr[A\cap B],$$

कहाँ पे $$$A\cap B$ घटनाओं का एक चौराहा है $$$A$ तथा $$$B$, अर्थात। इस घटना में उन प्राथमिक परिणामों के होते हैं जो एक साथ प्रवेश करते हैं$$$A$, और में $$$B$(इस तरह के आयोजन को घटनाओं का एक उत्पाद भी कहा जाता है$$$A$ तथा $$$B$ और निरूपित करें $$$\Pr[AB]$)

सेल्फ टेस्ट चैलेंज

यह ज्ञात है कि बीजगणित में ड्यूस वाले कक्षा के छात्र 25% बनाते हैं, और ज्यामिति में ड्यूज़ वाले छात्र 15% बनाते हैं। बीजगणित और रेखागणित में कितने छात्रों के पास है, यदि किसी भी विषय में छात्रों के पास नहीं है, तो 70% से कम है?

सशर्त संभाव्यता

फिर से, छात्रों और विदेशी भाषाओं की समस्या पर विचार करें। जर्मन जानने वाले छात्रों में फ्रेंच किस अनुपात में है? इसका जवाब तस्वीर को देखकर पता लगाना आसान है। उन छात्रों की संख्या के अनुपात की गणना करना आवश्यक है, जो दोनों भाषाओं को उन छात्रों की संख्या से जानते हैं जो जर्मन जानते हैं, अर्थात।$$$\frac{0.05N}{0.2N} = 25\%$। संभाव्यता सिद्धांत की भाषा की ओर मुड़ते हुए, कोई भी निम्नलिखित प्रश्न पूछ सकता है: क्या संभावना है कि एक यादृच्छिक रूप से चुने गए छात्र को फ्रांसीसी जानता है, बशर्ते कि वह जर्मन जानता हो? घटनाओं को करने दो$$$A$ तथा $$$B$इस तथ्य के अनुरूप कि एक बेतरतीब ढंग से चयनित छात्र क्रमशः फ्रेंच और जर्मन जानता है। तब वांछित संभावना को घटना की सशर्त संभावना कहा जाता है$$$A$ प्रदान की $$$B$ और नामित है $$$\Pr[A\mid B]$। सादृश्य द्वारा, हम सशर्त संभाव्यता के लिए निम्न सूत्र प्राप्त करते हैं:

$$

$$\Pr[A\mid B] = \frac{\Pr[A\cap B]}{\Pr[B]}.$$

क्या संभावना है कि एक यादृच्छिक रूप से चयनित छात्र जर्मन जानता है, बशर्ते कि वह फ्रेंच जानता हो?

सशर्त संभाव्यता सूत्र से, हम दो घटनाओं के उत्पाद की संभाव्यता के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

$$

$$\Pr[A\cap B] = \Pr[B] \cdot \Pr[A\mid B].$$

शब्दों में: इस संभावना को खोजने के लिए कि दोनों घटनाएं घटित होंगी $$$A$ तथा $$$B$, आपको घटना की संभावना को गुणा करना होगा $$$B$ किसी घटना की सशर्त संभावना पर $$$A$ ज्ञात के साथ $$$B$।

सेल्फ टेस्ट चैलेंज

50% लड़कों की कक्षा में; 60% लड़कों को आइसक्रीम पसंद है। कक्षा के छात्रों में आइसक्रीम पसंद करने वाले लड़कों का अनुपात क्या है? संभाव्यता सिद्धांत की भाषा में इसे कैसे सुधारें?

आजादी

दो पासा फेंकने के साथ एक प्रयोग पर विचार करें: लाल और नीला। इस प्रयोग में 36 परिणाम हैं जिन्हें हम समान रूप से संभव मानते हैं। एक लाल पासा पर एक ट्रिपल गिर जाएगी की संभावना के बराबर है$$$1/6$ (36 परिणामों में से 6), एक नीले घन पर एक ट्रिपल गिर जाएगी संभावना भी बराबर है $$$1/6$। क्या संभावना है कि तीन एक नीले घन पर गिरेंगे, बशर्ते कि एक लाल पर तीन गिर गया हो? सशर्त संभाव्यता सूत्र का उपयोग करते हुए, आपको दोनों क्यूब्स पर ट्रिपल की संभावना के अनुपात की गणना लाल पर ट्रिपल की संभावना से करनी होगी। हमें मिला$$$\frac{1/36}{1/6} = 1/6$। ध्यान दें कि एक लाल घन पर एक ट्रिपल गिर गया है कि जानकारी की उपस्थिति नीले रंग पर एक ट्रिपल गिरने की संभावना को प्रभावित नहीं करता है। इस तरह के आयोजनों को स्वतंत्र कहा जाएगा । हम कहेंगे कि घटनाओं$$$A$ तथा $$$B$ अगर स्वतंत्र

$$

$$\Pr[A\mid B] = \Pr[A].$$

(यह परिभाषा मानती है कि घटनाओं की दोनों संभावनाएँ $$$A$ तथा $$$B$कड़ाई से शून्य से अधिक।)

सशर्त संभावना की परिभाषा का उपयोग करके एक वैकल्पिक परिभाषा प्राप्त की जा सकती है: दो घटनाओं को स्वतंत्र कहा जाता है यदि उनके उत्पाद की संभावना उनकी संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है।

$$

$$\Pr[AB] = \Pr[A]\cdot \Pr[B].$$

सेल्फ-टेस्ट टास्क

1. क्या "जर्मन जानते हैं" और "फ्रेंच जानते हैं" घटनाएं स्वतंत्र हैं?
2. एक पासा फेंको। क्या घटनाएँ स्वतंत्र हैं:
   
   1. "यहां तक ​​कि बाहर गिर गया" और "अजीब बाहर गिर गया",
   2. "यहां तक ​​कि बाहर गिर गया" और "2 बाहर गिर गया",
   3. "यहां तक ​​कि बाहर गिर गया" और "तीन में से कई गिर गए।"

अगला चरण बेयस सूत्र के बारे में एक बातचीत है, जो सशर्त संभाव्यता की परिभाषा से लिया गया है। परिभाषा को फिर से लिखें:

$$

$$P[B\mid A] = \frac{P[A\cap B]}{P[A]}\quad \Rightarrow\quad P[A\cap B] = P[B\mid A]\cdot P[A].$$

और इसे परिभाषा में प्रतिस्थापित करने पर, हमें बेयस सूत्र मिलता है

$$

$$P[A\mid B] = \frac{P[A\cap B]}{P[B]} = \frac{P[B\mid A]\cdot P[A]}{P[B]},$$

जो आपको संभावना के संकेत के तहत घटना और स्थिति को स्वैप करने की अनुमति देता है। मुझे लगता है कि बेयस सूत्र को लागू करने के बारे में आपको एक अलग पोस्ट लिखने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, एक ।

हम परिभाषाओं के साथ यहां समाप्त होंगे और विरोधाभासों पर जाने से पहले, चर्चा करते हैं, और किन मामलों में हम संभाव्यता के बारे में बात कर सकते हैं।

हम संभावना के बारे में कब बात कर सकते हैं?

मैं कई मुद्दों पर विचार करने का प्रस्ताव करता हूं जो शब्दांकन के महत्व को दर्शाते हैं।

क्या संभावना है कि जब आप सड़क पर चलते हैं तो आप एक डायनासोर से मिलेंगे?

मुझे लगता है कि यह सभी के लिए स्पष्ट है कि यह 1/2 नहीं है। लेकिन फिर भी, इस प्रश्न का सही उत्तर कैसे दें? इस प्रश्न के साथ समस्या यह है कि इसे गलत तरीके से तैयार किया गया है - इसे से संभावना स्थान को स्पष्ट रूप से निर्धारित करना असंभव है, और इसलिए संभावना के बारे में बात करना असंभव है। आप प्रश्न के कुछ अन्य शब्द सुझा सकते हैं, जिसमें यह स्पष्ट होगा। उदाहरण के लिए, कल से शुरू होने वाली, शहर की हर सड़क पर, 0.00001 की संभावना वाले हर मिनट में, एक डायनासोर कहीं भी बिना रुके एक घंटे तक मौजूद रहता है। इस सूत्रीकरण में, यादृच्छिक प्रक्रिया समझ में आती है और आप बैठक की संभावना का आकलन कर सकते हैं यदि आप यह निर्धारित करते हैं कि चलना कैसे व्यवस्थित किया जाता है, कितना समय लगता है और कितनी सड़कों को छूता है।


आपने एक सिक्का उछाला और बिना झाँके के उसे अपने हाथ से ढक दिया। इस बात की क्या संभावना है कि सिक्का ईगल हो गया है?

मैं यह कहना चाहूंगा कि इस मामले में निश्चित रूप से संभावना 1/2 है। हालांकि, कड़ाई से बोलते हुए, अब कोई यादृच्छिक प्रक्रिया नहीं है। सिक्का पहले ही एक तरफ गिर चुका है। सिर्फ इसलिए कि आप कुछ नहीं जानते हैं इसका मतलब यह नहीं है कि यह कुछ यादृच्छिक है। उदाहरण के लिए, यदि आप समीकरण के समाधान को नहीं जानते हैं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि कोई भी संख्या समान संभावना के साथ इसका समाधान हो सकती है। इसलिए, इस मामले में, संभावना स्थान का वर्णन नहीं किया जा सकता है। आप उदाहरण के लिए, इस तरह से प्रश्न को सुधार सकते हैं: "क्या संभावना है कि आप सिक्के के पक्ष का अनुमान लगाएंगे, अगर यादृच्छिक रूप से समान रूप से एक ईगल या पूंछ का चयन करें?"। इस सूत्रीकरण में, यह पहले से ही स्पष्ट है कि एक यादृच्छिक प्रक्रिया (एक ईगल या पूंछ चुनना) क्या है, संभावना स्थान कैसे निर्धारित करें और उत्तर 1/2 प्राप्त करें। इसके अलावा, इस तरह के शब्दों में, यह पूरी तरह से महत्वहीन है कि सिक्का "ईमानदार" था या नहीं।

टिप्पणी। किसी वस्तु में हमारे आत्मविश्वास को संभाव्यता सिद्धांत के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है - यह संभावना सिद्धांत के बेयसियन व्याख्या के ढांचे में किया जाता है। यह व्याख्या हमें उन सूचनाओं के आधार पर कुछ सिद्धांतों (जरूरी नहीं यादृच्छिक) की सच्चाई में हमारे आत्मविश्वास का आकलन करने के लिए संभाव्यता सिद्धांत के तंत्र का उपयोग करने की अनुमति देती है। हालांकि, यह ध्यान देने योग्य है कि इस मामले में संभावना की अवधारणा व्यक्तिपरक हो जाती है - अलग-अलग पर्यवेक्षकों के दृष्टिकोण से एक ही घटना में अलग-अलग संभावनाएं हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, पोकर में आप एक हुकुम के गिरने की संभावना को सकारात्मक मान सकते हैं (क्योंकि आप उसे मेज पर और अपने हाथ में नहीं देखते हैं), और आपका प्रतिद्वंद्वी, जिसके पास पहले से ही आपके हाथ में हुकुम है, उसके शून्य पर गिरने की संभावना का मूल्यांकन करेगा। इस मामले में, एक विकल्प भी आ सकता है जिसमें दोनों अनुमान "वास्तविक", उद्देश्य, संभाव्यता से अलग हो सकते हैं। कोई विरोधाभास नहीं है, क्योंकि ये तीन अलग-अलग आकार हैं (खिलाड़ियों के पास अलग-अलग जानकारी है,और इस मामले में उद्देश्य की संभावना पूरी जानकारी से मेल खाती है)।

आप सुबह उठे। क्या संभावना है कि आज रविवार है?

मुझे लगता है कि आप पहले ही समझ गए थे कि 1/7 उत्तर गलत है, या यों कहें कि प्रश्न गलत है। यह स्पष्ट नहीं है कि एक यादृच्छिक प्रक्रिया क्या है। 1/7 प्राप्त करने के लिए आपको प्रश्न को स्पष्ट करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, इस तरह: आप रविवार की शाम को सो जाते हैं और अगले सप्ताह किसी भी सुबह बेतरतीब ढंग से जागते हैं, क्या संभावना है कि आप रविवार को जागेंगे? लेकिन इस स्पष्टीकरण के साथ, यदि आप जागने के बाद के सप्ताह के दिन के बारे में पूछते हैं (एक यादृच्छिक विकल्प के बाद), तो ऐसा प्रश्न गलत रहेगा - अन्यथा आपको यह मान लेना होगा कि आप सप्ताह के सभी दिनों के सुपरपोजिशन में हैं जब तक आप कैलेंडर नहीं देखेंगे।


मैंने बोर्ड पर कुछ (विशिष्ट) संख्या लिखी और दावा किया कि मैंने इसे एक संभाव्य एल्गोरिथ्म के साथ दो बार सरलता के लिए सफलतापूर्वक परीक्षण किया है, जो कि 1% से कम की संभावना के साथ गलत है। इस संख्या के प्राइम होने की कितनी संभावना है?

मैं यह कहना चाहूंगा कि यह संख्या ९९.९९% से अधिक की संभावना के साथ प्रमुख है। हालांकि, गणितीय दृष्टिकोण से, एक संख्या या तो सरल हो सकती है या नहीं। इसलिए, ऐसा कहना गलत है। एल्गोरिथम ने काम पूरा करने के बाद, समस्या के इस सूत्रीकरण में अब कुछ भी यादृच्छिक नहीं है, इसलिए, कोई संभावना भी नहीं है। यह कहना सही होगा कि आप 99.99% सुनिश्चित हैं कि यह संख्या अभाज्य है, लेकिन आप इसे केवल तभी बता सकते हैं जब आप मुझ पर 100% विश्वास करते हैं :)

विरोधाभास

इस खंड में, हम संभावना सिद्धांत के कई प्रसिद्ध "विरोधाभासों" को पार्स करने की कोशिश करेंगे और समझेंगे कि उनके पास या तो कोई विरोधाभास नहीं है या प्रश्न गलत तरीके से प्रस्तुत किए गए हैं।

द मोंटी हॉल विरोधाभास

यह एक बहुत प्रसिद्ध विरोधाभास है । उनके बारे में कई प्रतियां तोड़ दी गईं, जिनमें से प्रख्यात गणितज्ञों ने भी गलत उत्तर दिया।

कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसे खेल में भागीदार बने जिसमें आपको तीन दरवाजों में से एक का चयन करना होगा। दरवाजों में से एक के पीछे एक कार है, दो अन्य दरवाजों के पीछे बकरियां हैं। आप किसी एक दरवाजे का चयन करते हैं, उदाहरण के लिए, नंबर 1, जिसके बाद मेजबान, जो जानता है कि कार कहाँ है और बकरियाँ कहाँ हैं, बचे हुए दरवाजों में से एक को खोलता है, उदाहरण के लिए, नंबर 3, जिसके पीछे बकरी स्थित है। उसके बाद, वह आपसे पूछता है कि क्या आप अपनी पसंद बदलना चाहेंगे और दरवाजा नंबर 2 चुनना चाहेंगे? यदि आप मेजबान के प्रस्ताव को स्वीकार करते हैं और अपनी पसंद को बदलते हैं तो क्या कार जीतने की संभावना बढ़ जाएगी?

जैसा कि विकिपीडिया सुझाव देता है , कार्य को सही ढंग से परिभाषित करने के लिए, हमें यह स्पष्ट करने की आवश्यकता है कि खेल में भाग लेने वाले को निम्नलिखित बातों का पहले से पता है:

1. कार को तीन दरवाजों में से किसी एक के पीछे रखा जाना संभव है;
2. प्रस्तुतकर्ता जानता है कि कार कहां है;
3. किसी भी स्थिति में, नेता को बकरी के साथ दरवाजा खोलना चाहिए (लेकिन खिलाड़ी द्वारा चुना गया नहीं) और खिलाड़ी को पसंद बदलने के लिए आमंत्रित करें;
4. यदि प्रस्तुतकर्ता के पास चुनाव करने के लिए दो दरवाजे हैं, तो वह उनमें से किसी को भी उसी संभावना के साथ चुनता है।

यदि आप इस विरोधाभास से परिचित नहीं हैं, तो मेरा सुझाव है कि आप कुछ मिनटों के लिए सोचें कि इसका सही उत्तर क्या होगा।


पूछे गए प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए जानें कि यहां एक यादृच्छिक प्रक्रिया क्या है। स्पष्टीकरण से पता चलता है कि यादृच्छिक प्रक्रिया केवल पैराग्राफ 1 और 4 में उल्लिखित है: "कार समान रूप से तीन दरवाजों में से किसी एक के पीछे स्थित होने की संभावना है" और "यदि प्रस्तुतकर्ता के पास विकल्प है कि दोनों में से कौन सा दरवाजा खोलना है, तो वह दोनों में से एक ही संभावना के साथ चुनता है"। सवाल जिसका जवाब हमें सीखना चाहिए वह यह है: "यदि आप मेजबान की पेशकश को स्वीकार करते हैं और अपनी पसंद को बदलते हैं तो क्या कार जीतने की संभावना बढ़ जाएगी?" उन। हमसे पूछा जाता है कि दोनों में से कौन सी रणनीति जीतने की अधिक संभावना देती है। मैं ध्यान देता हूं कि स्थिति संख्या 4 खिलाड़ी के जीतने के तथ्य को प्रभावित नहीं करता है, इसलिए यह संभावना जगह में इसे शामिल करने का कोई मतलब नहीं है। इसलिए, कई प्राथमिक परिणामों के साथ संभावना स्थान का चयन करना प्रस्तावित है।$$$\Omega = \{1,2,3\}$दरवाजा नंबर जिसके पीछे कार स्थित है और संभावनाएं हैं $$$p_1=p_2=p_3 = 1/3$। अब खिलाड़ी की दो रणनीतियों पर विचार करें: "चयनित दरवाजे को छोड़ दें", हम निरूपित करते हैं$$$S_1$, और "दरवाजा बदलें", हम निरूपित करते हैं $$$S_2$।

हम नहीं जानते कि खिलाड़ी पहले दरवाजे को कैसे चुनता है, लेकिन हमें यह जानने की जरूरत नहीं है। यह जांचने के लिए पर्याप्त है कि सभी प्रथम-द्वार के चुनावों में रणनीति कैसे काम करती है। द्वारा निरूपित करें$$$d$ दरवाजा जिसे खिलाड़ी ने शुरू में चुना, और उसके माध्यम से $$$x$- जिसके पीछे कार छिपी है। फिर किसी के लिए$$$d \in \{1,2,3\}$ घटना "खिलाड़ी रणनीति का उपयोग करके जीता $$$S_1$"इस तथ्य से मेल खाती है कि उसने पहली कोशिश में सही दरवाजे का अनुमान लगाया था। औपचारिक रूप से, हम घटना में रुचि रखते हैं।$$$E_1 = \{d\}$, अर्थात। $$$x = d$, और इसकी संभावना $$$1/3$। इवेंट “खिलाड़ी ने रणनीति का उपयोग करके जीता$$$S_2$»विपरीत घटना के अनुरूप $$$E_2 = \Omega\setminus \{d\}$, अर्थात। $$$x \neq d$, और इसकी संभावना $$$2/3$। यह एक बार फिर ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि यह विश्लेषण किसी भी विकल्प के लिए सही है$$$d$इसलिए, यह पहले दरवाजे को चुनने के लिए किसी भी रणनीति के साथ सच है। इसके अलावा, हम ध्यान दें कि हमने किसी भी तरह से हालत 4 का उपयोग नहीं किया था।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां कोई अस्पष्टता नहीं है, इस कार्य को केवल विरोधाभास कहा जाता है क्योंकि उत्तर अंतर्ज्ञान के अनुरूप नहीं हो सकता है। लेकिन गणित में ऐसा अक्सर होता है।

एक लड़के और एक लड़की का विरोधाभास

मैं विकिपीडिया बोली ।

इस समस्या को पहली बार 1959 में तैयार किया गया था, जब मार्टिन गार्डनर ने इस विरोधाभास के शुरुआती संस्करणों में से एक को वैज्ञानिक अमेरिकी में प्रकाशित किया, जिसका शीर्षक था "द टू चिल्ड्रन प्रॉब्लम", जहां उन्होंने निम्नलिखित कथन का हवाला दिया:

• मिस्टर जोन्स के दो बच्चे हैं। सबसे बड़ा बच्चा एक लड़की है। क्या संभावना है कि दोनों बच्चे लड़कियां हैं?
• श्री स्मिथ के दो बच्चे हैं। कम से कम एक बच्चा एक लड़का है। क्या संभावना है कि दोनों बच्चे लड़के हैं?

शुरुआत में गार्डनर ने खुद जवाब दिया $$$1/2$ तथा $$$1/3$क्रमशः, लेकिन बाद में एहसास हुआ कि दूसरे मामले में स्थिति अस्पष्ट है। दूसरे प्रश्न का उत्तर हो सकता है$$$1/2$ इस पर निर्भर करता है कि यह कैसे पता चला कि बच्चों में से एक लड़का है।

संभावित स्थान दिया गया $$$\Omega = \{\text{},\text{},\text{},\text{}\}$ और सभी संभावनाएं समान हैं $$$1/4$। पहले मामले में, हम जानते हैं कि घटना पूरी हो गई है$$$E = \{\text{},\text{}\}$। इसलिए, के अधीन$$$E$दो लड़कियों की संभावना 1/2 है।

दूसरे मामले में, सब कुछ अधिक जटिल है, क्योंकि यह स्पष्ट नहीं है कि हमने कैसे सीखा कि श्री स्मिथ के बच्चों के लड़कों में से एक है। दो विकल्प सुझाए जा सकते हैं:

1. दो बच्चों वाले एक यादृच्छिक व्यक्ति को चुना जाता है और पूछा जाता है कि क्या उसके बच्चों में कोई लड़का है। फिर दो लड़कों की संभावना 1/3 है, क्योंकि इस घटना के लिए एमएम विषय की संभावना से मेल खाती है$$$E = \{\text{},\text{},\text{}\}$।
2. दो बच्चों के साथ एक यादृच्छिक व्यक्ति का चयन किया जाता है, उसका यादृच्छिक बच्चा (वरिष्ठ या सबसे छोटा) चुना जाता है और उसका लिंग पूछा जाता है। यह प्रयोग एक अन्य संभावित स्थान से मेल खाता है जिसमें किसी को अभी भी उस बच्चे की पसंद को ध्यान में रखना चाहिए जिसके बारे में उनसे पूछा जाता है। इसमें 8 प्राथमिक परिणाम होंगे, और उनमें से चार हमारे अनुरूप होंगे (MM को सबसे बड़े के बारे में पूछा गया था, MM से छोटे के बारे में पूछा गया था, MD से बड़े के बारे में पूछा गया था, DM से छोटे के बारे में पूछा गया था)। दो परिणाम हमें सूट करते हैं, इसलिए उत्तर 1/2 है।

स्लीपिंग ब्यूटी का विरोधाभास

इस विरोधाभास की चर्चा इस पोस्ट से हैबे पर प्रेरित है , जिसके कारण व्यापक चर्चा हुई, लेकिन विकिपीडिया पर इस विरोधाभास का वर्णन है ।

परीक्षण विषय (स्लीपिंग ब्यूटी) में नींद की गोलियों का एक इंजेक्शन दिया जाता है। एक सममित सिक्का फेंक दिया जाता है। बाज के नुकसान के मामले में, यह जाग गया है, और प्रयोग वहाँ समाप्त होता है। पूंछ के मामले में, वे उसे जगाते हैं, उसे एक दूसरा इंजेक्शन देते हैं (जिसके बाद वह जागने के बारे में भूल जाता है) और अगले दिन उठते हैं बिना सिक्के फेंकते हैं (इस मामले में, प्रयोग लगातार दो दिनों तक रहता है)। पूरी प्रक्रिया सौंदर्य के लिए जानी जाती है, लेकिन उसे इस बात की जानकारी नहीं है कि उसे किस दिन जगाया गया था।

स्लीपिंग ब्यूटी की जगह खुद की कल्पना करें। तुम जग गए। क्या संभावना है कि एक सिक्का पूंछ गया है?

विभिन्न परिणामों के साथ दो वैकल्पिक समाधानों पर विचार करना प्रस्तावित है।

समाधान 1

आपके पास एक सिक्का हानि और पिछले जागरण के परिणाम के बारे में कोई जानकारी नहीं है। चूंकि यह ज्ञात है कि सिक्का उचित है, इसलिए यह माना जा सकता है कि पूंछ की संभावना$$$1/2$।

निर्णय २

1000 बार प्रयोग करते हैं। स्लीपिंग ब्यूटी औसतन 500 बार चील के साथ और 1000 बार पूंछ के साथ जागती है (क्योंकि जब पूंछ गिरती है, स्लीपिंग ब्यूटी 2 बार पूछी जाती है)। इसलिए, पूंछ की संभावना$$$2/3$।

ऐसा लगता है कि दोनों निर्णय सही होने का दावा कर सकते हैं। हालांकि, संभावना स्थान को निर्धारित करने के प्रयास में, गंभीर कठिनाइयों का इंतजार है। एक यादृच्छिक प्रक्रिया क्या है? तथ्य यह है कि जब स्लीपिंग ब्यूटी जाग जाती है, तो कोई यादृच्छिक प्रक्रिया नहीं होती है। चुनाव पहले ही किया जा चुका है। वह इस पसंद का परिणाम नहीं जानती, लेकिन अब कुछ भी आकस्मिक नहीं है। यह हमें डायनासोर के उदाहरण पर वापस लाता है। यदि आप नहीं जानते हैं कि कोने के चारों ओर एक डायनासोर है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि यह 1/2 की संभावना के साथ है। इसलिए, "निर्णय 1" संभावना के बारे में सवाल का जवाब नहीं देता है, लेकिन स्लीपिंग ब्यूटी के आत्मविश्वास की डिग्री के बारे में सवाल है। और "समाधान 2" एक पूरी तरह से अलग प्रयोग पर विचार करने का सुझाव देता है, जिसमें एक पूरी तरह से अलग सवाल पूछा जा रहा है, जिसका प्रयोग शुरू होने से पहले एक बाहरी पर्यवेक्षक द्वारा उत्तर दिया जाना प्रस्तावित है।

इस प्रश्न को गणितीय अर्थ देने के लिए और वांछित उत्तर 2/3 प्राप्त करने के लिए, आपको कुछ दार्शनिक उपकरण का उपयोग करना होगा, जैसे "आत्माओं को साझा करना"। उदाहरण के लिए, इस तरह से: आप आत्मा स्थानांतरण तंत्र में जाते हैं, जिसके बाद स्लीपिंग ब्यूटी के लिए एक सिक्का फेंका जाता है, जो दो समानांतर ब्रह्मांड बनाता है: एक जहां सिक्का एक ईगल द्वारा गिर गया, और दूसरा जहां यह पूंछ से गिरता है। कुल मिलाकर, इन दो वैकल्पिक ब्रह्मांडों के अंतरिक्ष-समय में, स्लीपिंग ब्यूटी के तीन अलग-अलग जागरण हैं। 1/3 प्रायिकता वाला सोल रीलोकेशन एप्लायंस आपकी आत्मा को इनमें से एक जागरण से कुछ समय पहले स्लीपिंग ब्यूटी के शरीर में इंजेक्ट करता है। क्या संभावना है कि आप एक समानांतर ब्रह्मांड में जागते हैं जहां पूंछ बाहर गिर गई थी?

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस प्रश्न को गणितीय अर्थ देने के लिए, किसी को अच्छी तरह से कल्पना करनी होगी, लेकिन यह गणितज्ञों द्वारा नहीं किया जाता है, बल्कि दार्शनिकों द्वारा (इस पोस्ट में अधिक )। यह कहना कि "दोनों समाधान सही हैं" गणितीय दृष्टिकोण से गलत है।

सेल्फ टेस्ट चैलेंज

स्पष्ट करें कि नाविक के बच्चों के बारे में समस्या क्यों है, जिसके साथ यह पद शुरू होता है , प्रश्न गलत तरीके से प्रस्तुत किया गया है (अर्थात, न तो 1/2 और न ही 1/3 सही उत्तर है)।

अंतहीन मामला

जब हम अनंत मामले की ओर बढ़ते हैं, अर्थात्। यदि हम प्रारंभिक परिणामों की एक अनंत संख्या के साथ प्रयोगों पर विचार करते हैं, तो सब कुछ बहुत अधिक जटिल हो जाता है। मैं विवरण में नहीं जाऊंगा और एक अनंत मामले के लिए संभावना स्थान भी निर्धारित नहीं करूंगा, क्योंकि इसके लिए अधिक जटिल गणित की आवश्यकता है। हालांकि, उदाहरण के लिए, मैं ध्यान देता हूं कि अनंत मामले में प्रारंभिक परिणामों के ऐसे (खराब) सेट हो सकते हैं जिनमें संभावना (अथाह सेट) नहीं होती है। इसके अलावा, सभी अच्छी (औसत दर्जे की) घटनाओं के लिए, संभावना विशिष्ट रूप से निर्धारित होती है। इसलिए, अनंत मामलों में उत्पन्न होने वाले "विरोधाभास" भी संभावना स्थान की पसंद की अस्पष्टता के कारण उत्पन्न होते हैं। बिंदु में एक अच्छा मामला बर्ट्रेंड विरोधाभास है, यह दिखाते हुए कि कैसे प्रतीत होता है समतुल्य (वास्तव में नहीं) संभाव्य स्थान अलग-अलग परिणाम देते हैं।

एक निष्कर्ष के बजाय

यहां तक ​​कि अगर आप एक आईटी कंपनी में कहीं भी जाने या तकनीकी पदों के लिए साक्षात्कार लेने नहीं जा रहे हैं, तो भी आप गणित के अपने ज्ञान को ताज़ा करना चाह सकते हैं, जो प्रोग्रामिंग में उपयोगी हो सकता है। मैं संभावना सिद्धांत पर सीएस केंद्र के ऑनलाइन पाठ्यक्रम की सलाह दे सकता हूं , जिसे ए.आई. बहादुर लोग।

बक्शीश

मैं सभी को आमंत्रित करता हूं कि अलेक्जेंडर शेन के व्याख्यान को "यादृच्छिक संख्याओं: सिद्धांत और व्यवहार" के जनक इस रविवार 26 अप्रैल को 14:00 बजे कंप्यूटर साइंस क्लब में प्रस्तुत करेंगे । व्याख्यान ज़ूम में दिया जाएगा, इसमें भाग लेने के लिए आपको पाठ्यक्रम के लिए साइन अप करना होगा या न्यूज़लेटर की सदस्यता लेनी होगी।