👨🏼‍🌾 ✌🏼 👊🏼 इंद्रधनुष के रंग गणितज्ञों के सबसे अच्छे दोस्त हैं 💿 🚐 🙏🏽

हाल ही में, इंद्रधनुष के रंगों ने एक नया सबूत लाने में मदद की है। और वे उपयोगी होने के लिए पहली बार नहीं हैं।

लैटिन वर्ग के रंग कोडिंग और उसके ग्राफ उनके बारे में बहुत कुछ बता सकते हैं।

हाल ही में, हमने रिंगेल परिकल्पना के एक नए प्रमाण के बारे में बात की । साक्ष्य का एक हिस्सा इंद्रधनुष के रंगों के उपयोग से संबंधित था, जो सूचनाओं को देखने के लिए रंग कोडिंग का एक विशेष तरीका है। हालांकि, ऐसी रंगीन पुस्तकों का उपयोग गणितज्ञों द्वारा लंबे समय से पहेलियों को हल करने में किया जाता है, और अब वे इस तकनीक को पिछले एक से जुड़ी समस्या को लागू करने की कोशिश कर रहे हैं।

रिंगेल की परिकल्पना रेखांकन के निर्माण से संबंधित एक समस्या है, जो रेखांकन के निर्माण से संबंधित है - बिंदुओं (कोने) को रेखाओं (किनारों) से जोड़ा जाता है। यह 2n + 1 कोने के साथ एक निश्चित प्रकार के बड़े रेखांकन और n + 1 कोने के साथ आनुपातिक रूप से छोटे रेखांकन के बीच एक विशेष संबंध की भविष्यवाणी करता है।

चलो शुरू करते हैं, उदाहरण के लिए, 11 चोटियों के साथ। तथाकथित प्राप्त करने के लिए अन्य लोगों के साथ प्रत्येक शीर्ष कनेक्ट करें पूरा ग्राफ। अगला, उपलब्ध छहों को लें, और उन्हें कनेक्ट करें, जैसा कि हम कृपया, केवल इतना है कि हमें बंद लूप नहीं मिलते हैं। इस प्रकार हम तथाकथित हो जाते हैं "लकड़ी"।

पूर्ण ग्राफ़ और पेड़ों के उदाहरण

रिंगेल की परिकल्पना का कहना है कि किसी भी पेड़ की प्रतियां आदर्श रूप से कवर कर सकते हैं, या टाइल कर सकते हैं, इसी पूर्ण ग्राफ के सभी किनारों - जैसे आप एक ही टाइल्स के साथ रसोई के फर्श को टाइल कर सकते हैं।

जैसा कि रसोई के फर्श के साथ, सफलता के लिए पहली टाइल का सही स्थान चुनना आवश्यक है। सबूत के रंग के साथ आए तीन गणितज्ञों ने इस स्थान को खोजने के लिए कोने के बीच की दूरी के आधार पर पूर्ण ग्राफ के किनारों को कोडित किया।

फिर उन्होंने पूरे ग्राफ के अंदर पेड़ को व्यवस्थित करने की कोशिश की ताकि यह प्रत्येक रंग के एक किनारे को कवर करे। यह दिखाते हुए कि इस तरह की "इंद्रधनुष" व्यवस्था किसी भी मामले में संभव है, उन्होंने साबित किया कि रिंगेल द्वारा भविष्यवाणी की गई आदर्श टाइलिंग हमेशा काम करती है।

हालांकि, इंद्रधनुष के रंग की यह तकनीक पहली बार बचाव में नहीं आई।

18 वीं शताब्दी में, लियोनार्ड यूलर बच्चों के लिए सुडोकू जैसी चीज में रुचि रखने लगे। 3x3 कोशिकाओं का एक वर्ग लें। यूलर ने इसे भर दिया ताकि प्रत्येक पंक्ति में और प्रत्येक कॉलम में 1 से 3 तक संख्याएं थीं, कभी भी खुद को दोहराते हुए नहीं। इस पहेली को लैटिन वर्ग कहा जाता है । लैटिन वर्गों का अध्ययन करने में यूलर और अन्य गणितज्ञों द्वारा खोजे गए पैटर्न और तकनीकों का गणित के कई अलग-अलग क्षेत्रों से संबंध है।

तब यूलर ने सोचा: क्या यह संभव है कि तीन कोशिकाएं, प्रत्येक स्तंभ और प्रत्येक पंक्ति से एक का चयन करें, ताकि उनमें संख्या दोहराई न जाए? मान लीजिए कि आप पहली पंक्ति के पहले कॉलम से 1 वाले सेल का चयन कर सकते हैं, दूसरे कॉलम की दूसरी पंक्ति से 3 वाले सेल का, और तीसरे कॉलम की तीसरी पंक्ति से युक्त। 2. तो, हमने तीन सेल चुने, जिनमें से प्रत्येक अलग-अलग पंक्तियों और कॉलमों से संबंधित है। और इसकी संख्या - 1, 3, 2 होती है। कोशिकाओं के इस सेट को ट्रांसवर्सल कहा जाता है।

यूलर जानना चाहता था कि क्या पूरी 3x3 ग्रिड (या किसी आकार का एक वर्ग ग्रिड) को पूरी तरह से ट्रांसवर्सल सेट में विभाजित करना संभव है, ताकि प्रत्येक सेट में प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक कॉलम से एक नंबर हो। यही है, एक 3x3 वर्ग के मामले में, मैं यह आशा करना चाहता हूं कि हम तीन अलग-अलग ट्रांसवर्सल सेट पा सकते हैं, जो वर्ग के सभी कोशिकाओं को एक साथ कवर करते हैं।

नतीजतन, गणितज्ञों ने पता लगाया है कि इस मुद्दे का पता लगाने का एक तरीका एक वर्ग को एक ग्राफ में बदलना है। ऐसा करने के लिए, तीन स्तंभों को दर्शाते हुए, बाईं ओर तीन कोने खींचें। फिर हम दाईं ओर तीन कोने खींचते हैं, लाइनों का प्रतिनिधित्व करते हैं। प्रत्येक शीर्ष पर प्रत्येक शीर्ष के साथ दाईं ओर जोड़ने वाले किनारों को बाईं ओर खींचें। प्रत्येक किनारे, एक विशेष पंक्ति और स्तंभ के संयोजन के रूप में, नौ कोशिकाओं में से एक का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, ऊपरी दाएं शीर्ष और ऊपरी बाएं शीर्ष के बीच का किनारा पहले स्तंभ (लैटिन वर्ग के ऊपरी बाएं सेल) की पहली पंक्ति के सेल से मेल खाता है।

अब हम रंगीन पेंसिलों को बाहर निकालते हैं और पसलियों के रंगों को सांकेतिक शब्दों में विभाजित करते हैं कि वे किस वर्ग को दर्शाते हैं। मान लीजिए कि हम 1 के साथ 1, नीले, 2 के साथ लाल, 3 के साथ पीले रंग की रेखाओं को चित्रित करते हैं। यदि 1 ऊपरी बाएं सेल में है, तो शीर्ष कोने के बीच का किनारा नीला होगा।

आइए किनारों के रंगों को देखें। क्या तीन रंगों में से प्रत्येक के तीन किनारों को चुनना संभव है ताकि वे अलग-अलग छोरों पर शुरू और समाप्त हों? इस सेट को इंद्रधनुष मिलान कहा जाता है। यदि आप इसे पाते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि इसी लैटिन वर्ग में एक परिवर्तनशील है। इसके अलावा, यदि आपको तीन अलग-अलग इंद्रधनुष पत्राचार मिलते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि पूरे लैटिन वर्ग में ट्रांसवर्सल्स हैं।

रेनबो कलरिंग ने शोधकर्ताओं को अतीत में समस्याओं का अध्ययन करने में मदद की, और रिंगेल की परिकल्पना के नए प्रमाण में भी एक महत्वपूर्ण तत्व बन गया। वे एक और भी जटिल कार्य में एक भूमिका निभाते हैं, सुंदर मार्कअप परिकल्पना ।

समस्या के सार को समझने के लिए, पहले छह सिरों को खींचें, और फिर उन्हें एक पेड़ बनाने के लिए कनेक्ट करें। किसी भी तरह से प्रत्येक शीर्ष को एक संख्या निर्दिष्ट करें। फिर प्रत्येक किनारे को उसके जुड़ने वाले कोने की संख्या के बीच के अंतर के साथ चिह्नित करें। यही है, उदाहरण के लिए, यदि एक किनारे कोने 6 और 2 को जोड़ता है, तो हम इस बढ़त को संख्या 4 के साथ चिह्नित करते हैं।

आपका लक्ष्य बढ़त लेबल को अनुक्रम में लाना है और उनकी संख्या दोहराई नहीं जाती है। इस मामले में, 1, 2, 3, 4, 5. यदि आप ऐसा कर सकते हैं, तो आपके पेड़ के लिए सुंदर मार्कअप मौजूद होगा।

1960 के दशक में, गेरहार्ड रिंगेल - वह व्यक्ति जिसने परिकल्पना को आगे बढ़ाया - और एंटोन कोत्सिग ने मिलकर सुझाव दिया कि किसी भी पेड़, किनारों या आकार की संख्या की परवाह किए बिना, गौरवशाली रूप से चिह्नित किया जा सकता है।

सुशोभित मार्कअप परिकल्पना का तात्पर्य रिंगल परिकल्पना से है - अर्थात यदि पहली परिकल्पना सत्य है, तो रिंगेल परिकल्पना भी सत्य है। इसे समझने के लिए, आइए हम छः सिरों के एक सुंदर रूप से चिह्नित पेड़ पर लौटते हैं और 11 सिरों का एक पूरा ग्राफ। हम परिधि के चारों ओर इन 11 कोने को वितरित करते हैं और उन्हें 1 से 11 तक संख्या देते हैं। अब हम पूर्ण ग्राफ़ पर पेड़ की एक प्रति रखते हैं ताकि शीर्ष लेबल संयोग हो जाए: पेड़ के शीर्ष 5 पूर्ण ग्राफ़ के शीर्ष 5 को ओवरलैप करते हैं, और इसी तरह। यह प्लेसमेंट एक सुंदर रूप से चिह्नित पेड़ की इंद्रधनुष कॉपी है।

इसलिए यदि आप जानते हैं कि पेड़ों की संख्या n + 1 के साथ पेड़ों को हमेशा सुंदर रूप से चिह्नित किया जा सकता है, तो आप जानते हैं कि उन्हें हमेशा 2n + 1 कोने के साथ संगत पूर्ण ग्राफ़ के अंदर रखा जा सकता है ताकि पेड़ की इंद्रधनुषी प्रति प्राप्त कर सकें। और ऐसा प्लेसमेंट ठीक वही स्थिति होगी जिसके साथ रिंगेल को बांधने की प्रक्रिया शुरू की जाएगी। स्विस फेडरल इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी के बेनी सुदाकोव

ने रिंगेल की परिकल्पना के प्रमाण के तीन लेखकों में से एक कहा, "यदि आपको सुंदर मार्कअप मिलता है, तो मैं आपको बता सकता हूं कि आप अपनी इंद्रधनुष की नकल कैसे खोज सकते हैं।" बेशक, गणितज्ञ अंततः रिंगाल परिकल्पना की सच्चाई को साबित करने में सक्षम थे, बिना सुशोभित मार्कअप की परिकल्पना साबित करने के लिए, इस सवाल को अनुत्तरित छोड़ दिया।

"सुंदर मार्कअप अपने आप में एक आकर्षक और सुंदर मुद्दा है, और अभी भी खुला है," सुदकोव ने कहा।

हालांकि, रिंगेल की परिकल्पना के प्रमाण के लिए जिन तरीकों का इस्तेमाल किया गया है, वे संभवत: सुशोभित मार्कअप पर लागू हो सकते हैं - और गणितज्ञ यह पता लगाने के लिए उत्सुक हैं कि ये विधियां उन्हें कितनी दूर तक ले जा सकती हैं।

इंद्रधनुष के रंग गणितज्ञों के सबसे अच्छे दोस्त हैं

हाल ही में, इंद्रधनुष के रंगों ने एक नया सबूत लाने में मदद की है। और वे उपयोगी होने के लिए पहली बार नहीं हैं।

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