🤪 🤲 🧑🏻 मैंने वर्गमूल की गणना करने से कैसे इनकार कर दिया 🏗️ 🍁 🎊

बहुत बार डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग में वेक्टर की लंबाई की गणना करना आवश्यक होता है, आमतौर पर यह सूत्र A = SQRT (X ^ 2 + Y ^ 2) सूत्र द्वारा किया जाता है। यहां मूल्य चुकता करना मुश्किल नहीं है, लेकिन वर्गमूल की गणना का संचालन एक साधारण ऑपरेशन नहीं है, खासकर माइक्रोकंट्रोलर के लिए। इसके अलावा, रूट गणना एल्गोरिदम समय में स्थिर नहीं हैं, और एल्गोरिदम के लिए जिसमें ऐसी कई गणनाएं हैं, गणना के लिए आवश्यक समय की भविष्यवाणी करना मुश्किल हो जाता है।

मुझे भी इस तरह की समस्या का सामना करना पड़ा। मैंने रूट की गणना करने की प्रक्रिया कैसे मना की, इसके बारे में नीचे पढ़ें।

सबसे पहले, चार वैक्टर पर विचार करें, वे विभिन्न तिमाहियों में झूठ बोलते हैं।

हम सब कुछ एक चौथाई तक घटा देंगे - पहली तक। ऐसा करने के लिए, Y समन्वय करें और यदि यह नकारात्मक है, तो इसे सकारात्मक में बदल दें। यदि यह पहले से ही सकारात्मक है, तो हम सब कुछ अपरिवर्तित छोड़ देंगे।

वास्तव में, चूंकि मेरे पास निरपेक्ष पूर्णांक में संकेतित पूर्ण निर्देशांक और मूल्य हैं, इसलिए हम मॉड्यूल की गणना करते हैं।

यदि Y> 2047, तो Y = Y-2047
यदि Y <= 2047 है, तो Y = 2047-Y है।

यहां 2047 एक आभासी शून्य है, क्योंकि जब मैंने इस बाइक का आविष्कार किया था तब मैंने जिस प्रोजेक्ट के साथ काम किया था, उसमें 12 बिट एडीसी थे।

देखते है क्या हुआ।

और हम X के समन्वय के लिए ऐसा ही करेंगे।

यदि X> 2047, तो X = X-2047
यदि X <= 2047 है, तो X = 2047-X

वैसे, यह ध्यान देने योग्य है कि दो 12-बिट मूल्यों से, दो 11-बिट मान हैं।

अब सभी वैक्टर पहले क्वार्टर में हैं, लेकिन उनकी लंबाई, जिसे हम खोज रहे हैं, नहीं बदला है।

परिवर्तन का अगला चरण: "45 डिग्री के अक्ष के चारों ओर मोड़।"

वैक्टर में शून्य से 90 डिग्री तक का कोण हो सकता है, जबकि यदि वेक्टर Y> X के निर्देशांक में, तो वेक्टर का कोण 45-90 डिग्री की सीमा में है, और यदि Y <X है, तो वेक्टर का कोण 45 डिग्री से कम है। ठीक है, अगर एक्स = वाई, तो वेक्टर का कोण 45 डिग्री है।

वैक्टर को 45 डिग्री तक कम करें।

यदि Y> X, तो TEMP = Y, Y = X, X = TEMP (स्थानों में स्वैप X और Y)।
यदि Y <= X, तो हम कुछ नहीं करते हैं।

हम देखते हैं कि क्या हुआ। सभी वैक्टर 0 से 45 डिग्री के कोणों की सीमा में होते हैं।

मैं यह नोट करना चाहता हूं कि इस स्तर पर, मुझे कोण को 22.5 डिग्री तक जांचने और फिर से तैनात करने का विचार था। और फिर 12.25 डिग्री से एक चेक और ट्विस्ट करें। और इसी तरह, जब तक वेक्टर एक्स अक्ष पर "झूठ" है, और फिर इसकी लंबाई समन्वय एक्स द्वारा निर्धारित की जाएगी, और वाई शून्य हो जाएगा।

लेकिन मैं इस तरह से नहीं गया, मैंने एक और तरीके पर दांव लगाया, और जैसा कि बाद में पता चला, मैं नहीं हारा।

यदि हम Y को X से विभाजित करते हैं, और फिर इस भागफल से अभिसरण लेते हैं, तो हमें कोण मिलता है। और अगर हम X को इस कोण के कोसाइन से विभाजित करते हैं, तो हमें वेक्टर की लंबाई मिलती है।

तो, वेक्टर की लंबाई ए = एक्स / सीओएस (एटीएएन (वाई / एक्स))

है जब मुझे लगा कि मुझे चाप टैंकों की तालिका से कोण प्राप्त करने की आवश्यकता है, और फिर कोजाइन की तालिका से गुणांक प्राप्त करना आवश्यक है।

पर कुछ नहीं हुआ। मैंने फैसला किया कि आप तुरंत एक तालिका बना सकते हैं जहां वाई / एक्स अनुपात सेल को संबोधित करता है, और इसमें गुणांक निहित है जिसके द्वारा वेक्टर की लंबाई प्राप्त करने के लिए एक्स को विभाजित किया जाना चाहिए।

ए = एक्स / के; जहाँ K = COS (ATAN (Y / X))

लेकिन गुणा करना विभाजन से आसान है, इसलिए:

A = X * K; जहां K = 1 / COS (ATAN (Y / X))

यह स्पष्ट है कि सभी K, सभी (Y / X) के लिए, अग्रिम में गणना की जानी चाहिए।

गणना की गई तालिका में 2048 मान हैं, जिनमें से प्रत्येक 16 बिट्स है। जो कि 4kB डेटा है।

तालिका

Magnitude_Table
DCW 0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800
DCW 0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800
DCW 0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800
DCW 0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800
DCW 0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800
DCW 0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800
DCW 0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800
DCW 0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800,0x0800
DCW 0x0801,0x0801,0x0801,0x0801,0x0801,0x0801,0x0801,0x0801
DCW 0x0801,0x0801,0x0801,0x0801,0x0801,0x0801,0x0801,0x0801
DCW 0x0801,0x0801,0x0801,0x0801,0x0801,0x0801,0x0801,0x0801
DCW 0x0801,0x0801,0x0802,0x0802,0x0802,0x0802,0x0802,0x0802
DCW 0x0802,0x0802,0x0802,0x0802,0x0802,0x0802,0x0802,0x0802
DCW 0x0802,0x0802,0x0802,0x0802,0x0802,0x0802,0x0803,0x0803
DCW 0x0803,0x0803,0x0803,0x0803,0x0803,0x0803,0x0803,0x0803
DCW 0x0803,0x0803,0x0803,0x0803,0x0803,0x0803,0x0803,0x0803
DCW 0x0804,0x0804,0x0804,0x0804,0x0804,0x0804,0x0804,0x0804
DCW 0x0804,0x0804,0x0804,0x0804,0x0804,0x0804,0x0804,0x0805
DCW 0x0805,0x0805,0x0805,0x0805,0x0805,0x0805,0x0805,0x0805
DCW 0x0805,0x0805,0x0805,0x0805,0x0806,0x0806,0x0806,0x0806
DCW 0x0806,0x0806,0x0806,0x0806,0x0806,0x0806,0x0806,0x0806
DCW 0x0806,0x0807,0x0807,0x0807,0x0807,0x0807,0x0807,0x0807
DCW 0x0807,0x0807,0x0807,0x0807,0x0807,0x0808,0x0808,0x0808
DCW 0x0808,0x0808,0x0808,0x0808,0x0808,0x0808,0x0808,0x0808
DCW 0x0809,0x0809,0x0809,0x0809,0x0809,0x0809,0x0809,0x0809
DCW 0x0809,0x0809,0x080A,0x080A,0x080A,0x080A,0x080A,0x080A
DCW 0x080A,0x080A,0x080A,0x080A,0x080B,0x080B,0x080B,0x080B
DCW 0x080B,0x080B,0x080B,0x080B,0x080B,0x080B,0x080C,0x080C
DCW 0x080C,0x080C,0x080C,0x080C,0x080C,0x080C,0x080C,0x080D
DCW 0x080D,0x080D,0x080D,0x080D,0x080D,0x080D,0x080D,0x080E
DCW 0x080E,0x080E,0x080E,0x080E,0x080E,0x080E,0x080E,0x080E
DCW 0x080F,0x080F,0x080F,0x080F,0x080F,0x080F,0x080F,0x080F
DCW 0x0810,0x0810,0x0810,0x0810,0x0810,0x0810,0x0810,0x0810
DCW 0x0811,0x0811,0x0811,0x0811,0x0811,0x0811,0x0811,0x0811
DCW 0x0812,0x0812,0x0812,0x0812,0x0812,0x0812,0x0812,0x0813
DCW 0x0813,0x0813,0x0813,0x0813,0x0813,0x0813,0x0814,0x0814
DCW 0x0814,0x0814,0x0814,0x0814,0x0814,0x0814,0x0815,0x0815
DCW 0x0815,0x0815,0x0815,0x0815,0x0816,0x0816,0x0816,0x0816
DCW 0x0816,0x0816,0x0816,0x0817,0x0817,0x0817,0x0817,0x0817
DCW 0x0817,0x0817,0x0818,0x0818,0x0818,0x0818,0x0818,0x0818
DCW 0x0819,0x0819,0x0819,0x0819,0x0819,0x0819,0x0819,0x081A
DCW 0x081A,0x081A,0x081A,0x081A,0x081A,0x081B,0x081B,0x081B
DCW 0x081B,0x081B,0x081B,0x081C,0x081C,0x081C,0x081C,0x081C
DCW 0x081C,0x081D,0x081D,0x081D,0x081D,0x081D,0x081D,0x081E
DCW 0x081E,0x081E,0x081E,0x081E,0x081E,0x081F,0x081F,0x081F
DCW 0x081F,0x081F,0x081F,0x0820,0x0820,0x0820,0x0820,0x0820
DCW 0x0820,0x0821,0x0821,0x0821,0x0821,0x0821,0x0822,0x0822
DCW 0x0822,0x0822,0x0822,0x0822,0x0823,0x0823,0x0823,0x0823
DCW 0x0823,0x0824,0x0824,0x0824,0x0824,0x0824,0x0824,0x0825
DCW 0x0825,0x0825,0x0825,0x0825,0x0826,0x0826,0x0826,0x0826
DCW 0x0826,0x0827,0x0827,0x0827,0x0827,0x0827,0x0828,0x0828
DCW 0x0828,0x0828,0x0828,0x0829,0x0829,0x0829,0x0829,0x0829
DCW 0x082A,0x082A,0x082A,0x082A,0x082A,0x082B,0x082B,0x082B
DCW 0x082B,0x082B,0x082C,0x082C,0x082C,0x082C,0x082C,0x082D
DCW 0x082D,0x082D,0x082D,0x082D,0x082E,0x082E,0x082E,0x082E
DCW 0x082E,0x082F,0x082F,0x082F,0x082F,0x0830,0x0830,0x0830
DCW 0x0830,0x0830,0x0831,0x0831,0x0831,0x0831,0x0831,0x0832
DCW 0x0832,0x0832,0x0832,0x0833,0x0833,0x0833,0x0833,0x0833
DCW 0x0834,0x0834,0x0834,0x0834,0x0835,0x0835,0x0835,0x0835
DCW 0x0835,0x0836,0x0836,0x0836,0x0836,0x0837,0x0837,0x0837
DCW 0x0837,0x0837,0x0838,0x0838,0x0838,0x0838,0x0839,0x0839
DCW 0x0839,0x0839,0x083A,0x083A,0x083A,0x083A,0x083A,0x083B
DCW 0x083B,0x083B,0x083B,0x083C,0x083C,0x083C,0x083C,0x083D
DCW 0x083D,0x083D,0x083D,0x083E,0x083E,0x083E,0x083E,0x083F
DCW 0x083F,0x083F,0x083F,0x0840,0x0840,0x0840,0x0840,0x0840
DCW 0x0841,0x0841,0x0841,0x0841,0x0842,0x0842,0x0842,0x0842
DCW 0x0843,0x0843,0x0843,0x0843,0x0844,0x0844,0x0844,0x0844
DCW 0x0845,0x0845,0x0845,0x0845,0x0846,0x0846,0x0846,0x0847
DCW 0x0847,0x0847,0x0847,0x0848,0x0848,0x0848,0x0848,0x0849
DCW 0x0849,0x0849,0x0849,0x084A,0x084A,0x084A,0x084A,0x084B
DCW 0x084B,0x084B,0x084B,0x084C,0x084C,0x084C,0x084D,0x084D
DCW 0x084D,0x084D,0x084E,0x084E,0x084E,0x084E,0x084F,0x084F
DCW 0x084F,0x0850,0x0850,0x0850,0x0850,0x0851,0x0851,0x0851
DCW 0x0851,0x0852,0x0852,0x0852,0x0853,0x0853,0x0853,0x0853
DCW 0x0854,0x0854,0x0854,0x0854,0x0855,0x0855,0x0855,0x0856
DCW 0x0856,0x0856,0x0856,0x0857,0x0857,0x0857,0x0858,0x0858
DCW 0x0858,0x0858,0x0859,0x0859,0x0859,0x085A,0x085A,0x085A
DCW 0x085A,0x085B,0x085B,0x085B,0x085C,0x085C,0x085C,0x085C
DCW 0x085D,0x085D,0x085D,0x085E,0x085E,0x085E,0x085F,0x085F
DCW 0x085F,0x085F,0x0860,0x0860,0x0860,0x0861,0x0861,0x0861
DCW 0x0861,0x0862,0x0862,0x0862,0x0863,0x0863,0x0863,0x0864
DCW 0x0864,0x0864,0x0864,0x0865,0x0865,0x0865,0x0866,0x0866
DCW 0x0866,0x0867,0x0867,0x0867,0x0868,0x0868,0x0868,0x0868
DCW 0x0869,0x0869,0x0869,0x086A,0x086A,0x086A,0x086B,0x086B
DCW 0x086B,0x086C,0x086C,0x086C,0x086C,0x086D,0x086D,0x086D
DCW 0x086E,0x086E,0x086E,0x086F,0x086F,0x086F,0x0870,0x0870
DCW 0x0870,0x0871,0x0871,0x0871,0x0872,0x0872,0x0872,0x0873
DCW 0x0873,0x0873,0x0874,0x0874,0x0874,0x0874,0x0875,0x0875
DCW 0x0875,0x0876,0x0876,0x0876,0x0877,0x0877,0x0877,0x0878
DCW 0x0878,0x0878,0x0879,0x0879,0x0879,0x087A,0x087A,0x087A
DCW 0x087B,0x087B,0x087B,0x087C,0x087C,0x087C,0x087D,0x087D
DCW 0x087D,0x087E,0x087E,0x087E,0x087F,0x087F,0x087F,0x0880
DCW 0x0880,0x0880,0x0881,0x0881,0x0881,0x0882,0x0882,0x0882
DCW 0x0883,0x0883,0x0883,0x0884,0x0884,0x0885,0x0885,0x0885
DCW 0x0886,0x0886,0x0886,0x0887,0x0887,0x0887,0x0888,0x0888
DCW 0x0888,0x0889,0x0889,0x0889,0x088A,0x088A,0x088A,0x088B
DCW 0x088B,0x088B,0x088C,0x088C,0x088D,0x088D,0x088D,0x088E
DCW 0x088E,0x088E,0x088F,0x088F,0x088F,0x0890,0x0890,0x0890
DCW 0x0891,0x0891,0x0892,0x0892,0x0892,0x0893,0x0893,0x0893
DCW 0x0894,0x0894,0x0894,0x0895,0x0895,0x0895,0x0896,0x0896
DCW 0x0897,0x0897,0x0897,0x0898,0x0898,0x0898,0x0899,0x0899
DCW 0x0899,0x089A,0x089A,0x089B,0x089B,0x089B,0x089C,0x089C
DCW 0x089C,0x089D,0x089D,0x089E,0x089E,0x089E,0x089F,0x089F
DCW 0x089F,0x08A0,0x08A0,0x08A1,0x08A1,0x08A1,0x08A2,0x08A2
DCW 0x08A2,0x08A3,0x08A3,0x08A4,0x08A4,0x08A4,0x08A5,0x08A5
DCW 0x08A5,0x08A6,0x08A6,0x08A7,0x08A7,0x08A7,0x08A8,0x08A8
DCW 0x08A9,0x08A9,0x08A9,0x08AA,0x08AA,0x08AA,0x08AB,0x08AB
DCW 0x08AC,0x08AC,0x08AC,0x08AD,0x08AD,0x08AE,0x08AE,0x08AE
DCW 0x08AF,0x08AF,0x08AF,0x08B0,0x08B0,0x08B1,0x08B1,0x08B1
DCW 0x08B2,0x08B2,0x08B3,0x08B3,0x08B3,0x08B4,0x08B4,0x08B5
DCW 0x08B5,0x08B5,0x08B6,0x08B6,0x08B7,0x08B7,0x08B7,0x08B8
DCW 0x08B8,0x08B9,0x08B9,0x08B9,0x08BA,0x08BA,0x08BB,0x08BB
DCW 0x08BB,0x08BC,0x08BC,0x08BD,0x08BD,0x08BD,0x08BE,0x08BE
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DCW 0x0B3A,0x0B3B,0x0B3B,0x0B3C,0x0B3D,0x0B3D,0x0B3E,0x0B3F
DCW 0x0B40,0x0B40,0x0B41,0x0B42,0x0B42,0x0B43,0x0B44,0x0B45
DCW 0x0B45,0x0B46,0x0B47,0x0B47,0x0B48,0x0B49,0x0B49,0x0B4A
DCW 0x0B4B,0x0B4C,0x0B4C,0x0B4D,0x0B4E,0x0B4E,0x0B4F,0x0B50

सबसे कम मूल्य 0x800h है, जिसका अर्थ 2048 है। सबसे पुराना 0xB50 है, और इसका अर्थ है 2896.
2896/2048 = 1.414, जो 1 / cos (45) से मेल खाती है।

सरणी का सूचकांक प्राप्त करने के लिए, आपको 2048 तक Y को गुणा करना होगा और X से विभाजित करना

होगा। परिणामस्वरूप सूचकांक सरणी के सेल को इंगित करेगा, इस सेल से हम मान निकालते हैं, इसे X से गुणा करते हैं और 2048 से विभाजित करते हैं। परिणाम वेक्टर की लंबाई है।

मैं यह नोट करना चाहता हूं कि 2048 तक विभाजन और गुणा एक शिफ्ट द्वारा किया जाता है, और एक और विभाजन और गुणा विशेष कमांड या एल्गोरिदम द्वारा किया जाता है, यदि उपयोग किए गए प्लेटफॉर्म में गुणा और / या डिवीजन कमांड नहीं होते हैं।

मेरे मामले में, STM32F103 माइक्रोकंट्रोलर का उपयोग किया गया था, जिसमें विभाजन और गुणन कमांड थे।

एल्गोरिथ्म को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए।

वाई द्वारा साइन की जाँच करें और यदि आवश्यक हो तो चालू करें।
X पर साइन की जाँच करें और यदि आवश्यक हो तो चालू करें।
यदि आवश्यक हो तो X और Y और स्वैप स्थानों की तुलना करें।
0 के लिए एक्स की जाँच करें।
2048 को एक पाली से गुणा करें।
X द्वारा डिवीजन Y।
सरणी के पते पर परिणामी मान जोड़ें और मान K पढ़ें।
K द्वारा गुणा X।
2048 तक एक्स को एक शिफ्ट में विभाजित करें।

STM32F103 के लिए परिणामस्वरूप विधानसभा भाषा कार्यक्रम।

कार्यक्रम

	;r5 - X
	;r6 - Y

Magnitude
	mov32			r2,0x7FF
	mov32			r3,0x7FF
	cmp			r5,r2
	blo			Magnitude_xdn
Magnitude_xup
	sub			r5,r2
	b			Magnitude_X
Magnitude_xdn
	sub			r2,r5
	mov			r5,r2
Magnitude_X		;X in r5
	cmp			r6,r3
	blo			Magnitude_ydn
Magnitude_yup
	sub			r6,r3
	b			Magnitude_Y
Magnitude_ydn
	sub			r3,r6
	mov			r6,r3
Magnitude_Y		;Y in r6
	cmp			r5,r6
	blo			Magnitude_neg
Magnitude_pos
	mov			r1,r5
	mov			r5,r6
	mov			r6,r1
Magnitude_neg		;Rotating 45 degree
	cbz			r6,Magnitude_Zero
	lsl			r5,#0xC
	udiv			r5,r6
	mov32			r2,#0xFFFFFFFE
	and			r5,r2
	mov32			r2,Magnitude_Table
	add			r2,r5
	ldrh			r0,[r2]
	mul			r6,r0
	lsr			r6,#0xB
Magnitude_Zero
	pop			{lr}
	bx			lr
;In r6 length of vector

मैं ऊपर की छवियों में दिखाए गए चार वैक्टरों में से दो के लिए शास्त्रीय विधि की तुलना में एल्गोरिथ्म का एक उदाहरण दूंगा।

नीला वेक्टर (तीसरे क्षेत्र से) लें।

इसके निर्देशांक X = -45, Y = -126 (पिक्सेल के लिए जांचे जा सकते हैं)

क्लासिक विधि:

(-45) ^ 2 + (- 126) ^ 2 = 2025 + 15876 = 17901
SQRT (17901) = 133 (पूर्णांक में विभाजित)

एल्गोरिथम:

X = 2047-45 = 2002, Y = 2047-126 = 1921

खंड 1: 2002> 2047? -> नहीं। X = 2047-2002 = 45
बिंदु 2: 1921> 2047? -> नहीं। Y = 2047-1921 = 126
बिंदु 3: 126> 45 -> हाँ। स्वैप X = 126, Y = 45
बिंदु 4: X = 0 -> नहीं।
पैराग्राफ 5 जारी रखें : Y = Y * 2048, Y = 45 * 2048 = 92160
बिंदु 6: I = Y / X, I = 92160/126 = 731
बिंदु 7: तालिका में 8 मानों की 255 पंक्तियाँ हैं, हम 731 वें मूल्य की तलाश कर रहे हैं।
यह 91 वीं पंक्ति और तीसरा मान है, जो 0x087e है, या दशमलव में 2174 है
।
आइटम 8: X = X * 2174, X = 126 * 2174 = 273924
आइटम 9: A = X / 2048, A = 273924/2048 = 133 (पूर्णांक में विभाजित)

QED

अब ग्रीन वेक्टर (चौथे क्षेत्र से) लें।

इसके निर्देशांक X = -170, Y = 95 हैं (पिक्सेल द्वारा जांचे जा सकते हैं)।

क्लासिक विधि:

(-170) ^ 2 + (95) ^ 2 = 28900 + 9025 = 37925
SQRT (37925) = 194 (पूर्णांक में विभाजित )

एल्गोरिथम:

X = 2047-150 = 1877, Y = 2047 + 95 = 2142

अंक 1: 1877> 2047? -> नहीं। X = 2047-1877 = 170
बिंदु 2: 2142> 2047? -> हाँ। Y = 2142-2047 = 95
बिंदु 3: 95> 170 -> नहीं। वैसे ही छोड़ो।
बिंदु 4: X = 0 -> नहीं।
पैराग्राफ 5 जारी रखें : Y = Y * 2048, Y = 95 * 2048 = 194560
बिंदु 6: I = Y / X, I = 194560/170 = 1144
बिंदु 7: तालिका में हम 1144 वां मान देख रहे हैं।
यह 143 वीं पंक्ति और 0 मान है, जो 0x092A है, या दशमलव में 2346 है।
आइटम 8: X = X * 2346, X = 2346 * 170 = 398,820
आइटम 9: A = X / 2048, A = 398820/2048 = 194 (पूर्णांक में विभाजित)

QED

संपूर्ण

एक समान एल्गोरिथ्म का उपयोग डीएसपी (मेरे जैसे) में किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, आप फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म को तेज कर सकते हैं। इसका उपयोग कंप्यूटर ग्राफिक्स में भी किया जा सकता है जहां किरण अनुरेखण का उपयोग किया जाता है। शायद और अभी भी एक आवेदन है।

बस इतना ही। ध्यान देने के लिए आपको धन्यवाद।

मैंने वर्गमूल की गणना करने से कैसे इनकार कर दिया

संपूर्ण

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