🏽 👨‍🔬 💚 रेत में भग्न, या तीन से अधिक इकट्ठा नहीं होते हैं 📳 🏤 🕵🏻

हम सैंड हीप मॉडल के बारे में बात करेंगे। रेत (वास्तविक नहीं, मॉडल), पर डालना, इन चित्रों को बनाता है:

रेत के ढेर को जोड़ा जा सकता है (यह आसान है यदि आप सभी प्रकार की चीजों को तह करने के लिए उपयोग किया जाता है) और घटाया गया है (लेकिन यह पहले से ही तुच्छ नहीं है)।

इस गेम को आप लाइफ गेम की जगह हैलो वर्ल्ड के रूप में भी इस्तेमाल कर सकते हैं।

रेत ढेर

एक चौकोर चेकर फ़ील्ड लें। इस क्षेत्र की प्रत्येक कोशिका में रेत के दाने हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह इस तरह दिख सकता है:

अब उस सेल में रेत का एक दाना डालें जहां उनमें से तीन हैं:

और अब ध्यान सबसे महत्वपूर्ण नियम है:

यदि रेत के चार दाने सेल में हैं, तो उन्हें चार पड़ोसी कोशिकाओं में वितरित किया जाता है।

जैसा कि वे कहते हैं, एक पतन (टॉपिंग) है। इस तरह:

एक बहुत ही प्राकृतिक नियम। हालाँकि, यह बिल्कुल रेत की तरह नहीं दिखता है, यह नियम का पालन करने की अधिक संभावना है "तीन से अधिक के लिए एक साथ नहीं मिलता है": यदि एक पिंजरे में चार लोग एक साथ लाने में कामयाब रहे, तो वे अलग-अलग दिशाओं में बिखर जाते हैं।

इस तरह से, भूस्खलन का एक झरना हो सकता है - जब एक रेत का ढेर लगा होता है, तो यह तब तक गिर जाएगा जब तक कि रेत के 4 या अधिक अनाज के साथ अस्थिर कोशिकाएं नहीं होती हैं , अर्थात, जब तक एक स्थिर रेत ढेर नहीं मिलता है :

यह पहले से ही महामारी में रोग के प्रकोप जैसा दिखता है। ", दूर से दूर।

और अगर कई कोशिकाओं में एक ही समय में 4 अनाज रेत या अधिक थे, तो क्या? भूस्खलन करने के लिए किस क्रम में? उत्तर: यह मायने नहीं रखता है।

सबूत

, - , ( , ):

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{1}, \dots, y_{k}

$y_1,\ldots,y_k$ (

x_{1}

$x_1$ . . , ).

x_{1}

$x_1$ , , . . -

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$y_j=x_1$ . , — , , , — .

y_{j}

$y_j$ , , :

y_{j}, y_{1}, \dots, y_{j - 1}, y_{j + 1}, \dots, y_{k}

$y_j,y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1},\ldots,y_k$ .

y_{j} = x_{1}

$y_j=x_1$ , , ,

x_{1}

$x_1$ ,

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y_{1}, \dots, y_{j - 1}, y_{j + 1}, \dots, y_{k}

$y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1},\ldots,y_k$ . , — , , , .

यदि आप एक अंतहीन क्षेत्र के एक सेल में कई, रेत के कई अनाज फेंकते हैं और उन्हें उखड़ जाती हैं, तो आपको ऐसा एक मंडल मिलता है:

यहां, "कई, कई" 30 मिलियन हैं, और 0, 1 , 2 , 3 अनाज के साथ कोशिकाओं को सफेद, हरे, बैंगनी रंग के पिक्सल के साथ चिह्नित किया गया है। और सुनहरा रंग। YouTube पर एक वीडियो है , आप देख सकते हैं कि यह डायनेमिक्स में कैसा दिखता है।

जोड़ना और घटाना

इस तथ्य के कारण कि भूस्खलन का क्रम महत्वहीन है, हम स्थिर रेत ढेर को जोड़ने के संचालन को निर्धारित कर सकते हैं: हम एक को दूसरे के ऊपर डालते हैं, इसी कोशिकाओं से रेत के अनाज को ढेर करते हैं, और इसे उखड़ जाती हैं। एक अनंत क्षेत्र पर, फिर आपको दोनों ढेर शब्दों पर समन्वित निर्देशांक शुरू करने का ध्यान रखना होगा। इसका इलाज किया जा सकता है और अंतिम चेकर क्षेत्र में रेत ढेर हो सकता है - जब रेत के अनाज किनारे पर उखड़ जाते हैं, तो वे हमेशा के लिए खो जाते हैं (वे कहते हैं कि खेत के किनारे स्थित कैलेटि सिंक (सिंक), या एक बड़े क्लेशिचा, कोई फर्क नहीं पड़ता)। नीचे एक 3 × 3 क्षेत्र में दो रेत बवासीर के जोड़ का एक उदाहरण है। जैसा कि आप देख सकते हैं, दो अलग-अलग पतन क्रम एक ही परिणाम को जन्म देते हैं।

यह टोरस पर भी संभव है, लेकिन इसमें आपको अभी भी कम से कम एक नाली सेल बनाना होगा ताकि रेत दूर बह सके, अन्यथा भूस्खलन का क्रम अनंत हो सकता है।

यह पता चला है कि किसी दिए गए क्षेत्र (परिमित या अनंत) पर स्थिर रेत के ढेर के सेट में एक कम्यूटेट मोनॉयड की संरचना होती है : उन्हें एक साथ ढेर किया जा सकता है (इसके अलावा, यह अतिरिक्त सराहनीय और साहचर्य है), और रेत के एक भी दाने के बिना खाली क्षेत्र शून्य की भूमिका निभाता है। आप इतनी आसानी से ढेर को घटा नहीं सकते: आप रेत के नकारात्मक अनाज प्राप्त कर सकते हैं। हालांकि, हम घटाव का एक एनालॉग भी बनाएंगे, लेकिन सभी ढेर के लिए नहीं, बल्कि केवल अभिजात वर्ग के लिए।

बीजगणित का एक सा। आदर्शएक कम्यूटेटिव मोनॉइड को इसका सबसेट कहा जाता है जो इस मोनॉयड के किसी भी तत्व के अतिरिक्त के संबंध में अपरिवर्तनीय है, जिसमें आदर्श भी शामिल नहीं है। यही है, यदि आप एक आदर्श से संबंधित हैं, तो आप इससे बाहर नहीं आएंगे, चाहे आप खुद को जोड़ लें। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय भी केवल एक गुणात्मक मोनॉइड है, केवल गुणन के संबंध में, और इसमें आदर्श है, उदाहरण के लिए, सम संख्याओं का समुच्चय: जिसके लिए एक सम संख्या गुणा नहीं करती है, आपको हमेशा एक सम संख्या मिलती है। न्यूनतम आदर्श सभी (गैर-रिक्त) आदर्शों का प्रतिच्छेदन है; स्वयं भी एक आदर्श है। प्राकृतिक संख्या के साथ उदाहरण में, सभी गैर-खाली आदर्शों का प्रतिच्छेदन एक खाली सेट है। हालाँकि, परिमित कम्यूटेटिव मोनॉयड के मामले में ऐसा नहीं है। एक परिमित कम्यूटेटिव मोनॉइड में न्यूनतम आदर्श पर एक प्रमेय है, जिसके अनुसार यह हैएक समूह द्वारा (उसी ऑपरेशन के संबंध में जो मोनॉइड पर निर्दिष्ट है): एक तटस्थ तत्व (शून्य का एनालॉग) है, और प्रत्येक तत्व में एक व्युत्क्रम है, अर्थात, घटाव इसके अलावा के साथ निर्दिष्ट किया गया है। सामान्य मामले में, यह उबाऊ साबित होता है, लेकिन हम केवल रेत के ढेर में रुचि रखते हैं।

अंतिम क्षेत्र पर ढेर ले लो ताकि स्थिर ढेर का सेट परिमित हो। ध्यान दें कि प्रत्येक सेल में रेत के अनाज की अधिकतम संख्या के साथ रेत का ढेर (जो है, 3; चलो इसे बस "हीप 3" कहते हैं) स्थिर रेत के ढेर के किसी भी आदर्श के अंतर्गत आता है, क्योंकि आप किसी भी स्थिर ढेर में एक और विशेष रूप से चयनित स्थिर ढेर जोड़ सकते हैं 3 का एक गुच्छा प्राप्त करने के लिए एक गुच्छा (भूस्खलन होने की आवश्यकता नहीं है)। इसलिए, न्यूनतम आदर्श उत्पन्न होता हैढेर 3: इसे प्राप्त करने के लिए, आपको ढेर 3 लेने की जरूरत है और इसमें सभी प्रकार के स्थिर रेत ढेर हैं। यह सभी स्थिर ढेर के सेट का एक निश्चित सबसेट होगा; इसमें शामिल नहीं है, उदाहरण के लिए, एक खाली क्षेत्र। इस उपसमूह के रेत ढेर को आवर्तक (आवर्तक) कहा जाता है ।

तो, सामान्य बीजगणित हमें बताता है कि कई वापसी रेत के ढेर एक समूह हैं। इसलिए, इसमें रिवर्स और तटस्थ तत्व हैं। एक तटस्थ तत्व (पहचान तत्व) एक रिटर्न हीप है जो किसी भी अन्य रिटर्न हीप में जोड़े जाने पर इसे नहीं बदलता है। वैसे, तटस्थ तत्व के जोड़ को केवल ढेर के अलावा के चित्रण में दिखाया गया है।

एक तटस्थ तत्व प्राप्त करने के लिए, आपको प्रत्येक सेल में रेत के अधिकतम अनाज (यानी 6) के रूप में दो बार फेंकने की आवश्यकता है, इसे उखड़ जाने दें, फिर 6 से प्रत्येक सेल में रेत के अनाज की संख्या घटाएं, परिणाम को उखड़ जाने दें।

क्यों?

() 6 6, , , °, ( ) . : I = (6−6°)° , R (R+I)° = R. R , R = (3+S)° - S.

(R+I)° = ((3+S)°+(6−6°)°)° = (3+S+6−6°)° — - , . , , . : (3+S+6−6°)° = ((3−6°)+6+S)° = ((3−6°)+6°+S)° = (3+S)° = R, !

, 6 A (R+(A−A°)°)° = R. 6 , A−A° 3 , . . . — , , .

कैसे घटाना है?

I = (6−6°)° — , , R R⁻¹ — , R I: (R⁻¹+R)° = I. (2×(6−6°)−R)°, 2× .

यह कैसे (वापसी) रेत के ढेर के समूह का तटस्थ तत्व 1024 × 1024 के क्षेत्र में दिखता है; सेल में 0, 1 , 2 , 3 अनाज वाले सेल काले, हरे, बैंगनी और सुनहरे रंग के होते हैं।

KDPV पर - क्षेत्र 1000 × 500 के लिए समान है, और ढेर 3 × 3 के जोड़ का चित्रण भी स्थानीय तटस्थ तत्व को दर्शाता है।

यही है, आप समझते हैं। समूह अलग-अलग हैं, लेकिन उनमें तटस्थ तत्व आमतौर पर पूरी तरह से तटस्थ दिखते हैं। कुछ जोड़ संख्याओं के समूह में, तटस्थ तत्व संख्या 0 है, गैर-वास्तविक या जटिल संख्याओं के समूह में गुणक में - संख्या 1, इसके अलावा वैक्टर के समूह में - शून्य वेक्टर, क्रमचय समूह में - "सब कुछ जगह में है" क्रमपरिवर्तन, समूह में आंदोलनों - "कुछ भी स्पर्श न करें।" और यहाँ - ऐसी सुंदरता! जो अभी भी गणना करने की कोशिश करते हैं।

पैटर्न्स

तटस्थ तत्व और ढेर में दोनों जो एक सेल में रेत के कई दानों से उखड़ जाते हैं, आत्म-समानता के दावे दिखाई देते हैं। इसके अलावा, यद्यपि विवरण को फ़ील्ड के आकार बदलने पर बदल दिया जाता है, लेकिन पूरे के रूप में चित्र - जैसे कि साधारण आवधिक पैटर्न से भरे हुए क्षेत्रों का एक भिन्नात्मक मानचित्र, सीरपिन्स्की के नैपकिन से सिल दिया जाता है - जब क्षेत्र बड़ा हो जाता है तो केवल विवरण ही रहता है।

Moritz Lang, CC BY-SA 4.0

विशेष रूप से एक वर्ग ग्रिड पर एक तटस्थ तत्व के लिए इस तथ्य का कोई सबूत नहीं लगता है। लेकिन ढेर के लिए जो एक कोशिका में कई कणों से उखड़ जाता है, अस्तित्व ( प्रीपेयर , आर्टिकल ) और फ्रैक्चरलिटी ( प्रिप्रिंट , आर्टिकल ) साबित हो जाते हैं) पैमाने के समकालिक समायोजन के साथ अनन्तता के लिए रेत के अनाज की संख्या की प्रवृत्ति के परिणामस्वरूप आकृति का।

इसके अलावा, एक परिमित वर्ग क्षेत्र में रेत के ढेर के अस्तित्व और भंगुरता (अधिक सटीक रूप से, एक क्षेत्र में कोशिकाओं की संख्या in के लिए रुझान), जो प्रत्येक सेल में रेत के 1 दाने को जोड़ने के साथ एक तटस्थ तत्व है (बाद में शेडिंग, हमेशा की तरह), साबित हो गया है।

प्रमाण के लेखक ( पूर्वप्रकाश , लेख ) कृपया एक एल्गोरिथ्म प्रदान करते हैं जो संबंधित आकृति का वर्णन करता है, जो एक सरलीकृत कार्यान्वयन के साथ, ऐसी तस्वीर देता है - ऊपर की छवि के साथ तुलना करें:

वोल्फ्राम मैथमेटिका के लिए कोड

4- . , a_sk R , , -. 8 — L-, . , Clear[a].

qc = {{3, 0, 0}, {1 - I, 1 + I, 1}, {1 + I, 1, 1 - I}} / 3;
r = {{0, 1, 0}, {0, 0, 1}, {1, 0, 0}};
a[{}] = {0, -1, I};
a[{s___, k_}] := a[{s, k}] = qc.MatrixPower[r, k].a[{s}];
Graphics[Polygon /@ Table[ReIm @ a[s], {s, Tuples[Range[3], 8]}]]

फ्रैक्टल जैसी तस्वीरों को बनाने वाले घुमावदार त्रिकोणों में, न केवल अधिक या कम सजातीय आवधिक पैटर्न दिखाई देते हैं (विशेषकर केडीपीवी पर), बल्कि एक आयामी शाखा "दोष" भी दिखाई देते हैं। ये उष्णकटिबंधीय वक्र प्रतीत होते हैं । किसी भी मामले में, यह ज्ञात है ( छाप , लेख ) कि यदि प्रत्येक सेल में 3 अनाज के साथ रेत के कई अलग-अलग अंतिम क्षेत्र पर फेंक दिए जाते हैं, तो बहा के परिणामस्वरूप ग्राफ की एक तस्वीर बनती है, जो रेत के दानेदार अनाज के माध्यम से गुजरने वाला एक उष्णकटिबंधीय क्षेत्र है।

विविधताएं और सामान्यीकरण

परिष्कृत सेलुलर स्वचालन विशेषज्ञों ने पहले ही इसके बारे में सोचा है: हम सेल के पड़ोसियों और उन लोगों पर भी विचार कर सकते हैं जिनके पास केवल एक सामान्य कोण है ("मूर के आसपास के क्षेत्र")। इस मामले में पतन तब होना चाहिए जब पिंजरे में रेत के 8 अनाज पहुंच जाते हैं। खैर, केंद्रीय सेल में रेत के 5 मिलियन अनाज इस तरह के एक आंकड़े में बदल जाते हैं (रंग: 0 - सफेद, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ):

बेशक, आप न केवल वर्ग कोशिकाओं पर विचार कर सकते हैं, बल्कि अन्य नियमित संरचनाएं भी । उपरोक्त लेखों के लेखकों में से एक के पृष्ठ पर संबंधित चित्र गैलरी में हैं ।

इसके अलावा, रेत को किसी भी ग्राफ पर सामान्य रूप से बिखराया जा सकता है, जिसमें उन्मुख शामिल हैं: रेत के अनाज को कोने पर एकत्र किया जाता है, और एक पतन तब होता है जब वर्टेक्स में रेत के दाने की संख्या वर्टेक्स के आउटगोइंग डिग्री (इससे निकलने वाले किनारों की संख्या) तक पहुंच जाती है। लेकिन अगर आप इस ग्राफ पर रेत के ढेर के एक समूह पर विचार करना चाहते हैं, तो यह परिमित होना चाहिए, इसमें एक सिंक टॉप होना चाहिए, और इसे किसी भी शीर्ष से पहुंचना संभव होना चाहिए। हालाँकि, यदि आप इस पैराग्राफ को बिल्कुल भी पढ़ते हैं, तो आप शायद पहले ही इसका पता लगा लेंगे।

कोड

खेल "जीवन" हमेशा एक नई प्रोग्रामिंग भाषा सीखते समय मेरे पसंदीदा कार्यों में से एक रहा है। लेकिन वह पहले से ही परेशान करना शुरू कर रही थी, इसलिए जब मैंने रेत के ढेर के बारे में पढ़ा, तो मैंने फैसला किया कि यह एक अच्छा काम था, जो एक अच्छी भाषा में अभ्यास करने के लिए उपयुक्त है, और अभी भी बहुत कम ज्ञात है (जैसा कि मैंने सोचा था) - शायद मैं पहला व्यक्ति हूं जो यह है जाति कार्यक्रम होगा! हाँ, schaz। Google Play पर भी रेत के ढेर हैं - एक , दो । इसलिए रुस्त पर, गिथुब पर कुछ कार्यान्वयन पाए गए; लेकिन वे बहुत अच्छे नहीं हैं। मेरा कार्यान्वयन github.com/colt-browning/sandpile पर है। आप इसे सीधे कमांड लाइन पर उपयोग कर सकते हैं (हालाँकि, मुझे इस बात का डर है कि पोलिश के तर्क लिखित प्रणाली जटिल हो सकते हैं), आप इसे एक पुस्तकालय के रूप में उपयोग कर सकते हैं। शेडिंग आमतौर पर काफी सरल तरीके से किया जाता है, लेकिन महत्वपूर्ण विशेष मामलों के लिए अनुकूलित प्रक्रियाएं प्रदान की जाती हैं।

सवाल जवाब

यह सब क्यों जरूरी है?

आम जवाब। बक-थन - विसेनफेल्ड मॉडल का उल्लेख करने का समय है। कभी-कभी इसे रेत के ढेर के मॉडल के साथ मिलाया जाता है, लेकिन यह कहना अधिक सटीक होगा कि यह रेत के ढांचे के ऊपर एक ऐड-ऑन है: हम एक रेत के ढेर को एक चौकोर खेत में लेते हैं और रेत के एक दाने को यादृच्छिक कोशिकाओं में फेंकते हैं, हर बार देखते हैं कि शेडिंग कैसे होती है और हिमस्खलन कितनी कोशिकाओं को प्रभावित करेगा भूस्खलन ( वीडियो)) जो भी कॉन्फ़िगरेशन हम शुरू करते हैं, उसके तुरंत बाद या बाद में हम ढेर लौट आएंगे। संख्यात्मक प्रयोगों से पता चलता है कि हिमस्खलन का आकार वितरण एक शक्ति कानून है। प्राकृतिक प्रणालियों में, उतार-चढ़ाव की प्रतिक्रिया आमतौर पर औसतन तेजी से घटती है, और राज्यों में एक शक्ति-कानून वितरण महत्वपूर्ण कहा जाता है - उदाहरण के लिए, एक चरण संक्रमण के पास। हालांकि, चरण संक्रमण में जाने के लिए, आमतौर पर सिस्टम पैरामीटर (तापमान और दबाव) को "ठीक-ठीक" करने के लिए आवश्यक है, उदाहरण के लिए, या ग्राफ में एक किनारे की संभावनाएं हैं अगर हम जाली या एर्दोस - रेनी मॉडल पर गड़बड़ी की समस्या के बारे में बात कर रहे हैं- वहाँ भी चरण संक्रमण हैं)। और बीटीवी मॉडल में, एक विद्युत कानून खुद को प्रकट करता है, ठीक ट्यूनिंग के बिना। इसे स्व-संगठित जीवनशैली कहा जाता है। BTV केवल रेत के ढेर के एक मॉडल के साथ नहीं आया था, लेकिन यह उनके काम से था कि रेत को स्व-संगठित जीवन शक्ति के बैनर तले विज्ञान में मजबूती से स्थापित किया गया था: वे कहते हैं, अगर हम समझते हैं कि रेत में आत्म-संगठित जीवनशैली कैसे उत्पन्न होती है, तो यह समझने में मदद मिलेगी कि यह सिद्धांत में कहां से आ सकता है। प्रकृति (और प्रकृति में बहुत स्पष्ट उत्पत्ति के कानून भी नहीं होते हैं)। ऐसा लगता है कि एक वर्ग ग्रिड पर बीटीवी मॉडल के लिए शक्ति कानून अभी तक सख्ती से स्थापित नहीं किया गया है, लेकिन कई करीबी सैद्धांतिक परिणाम ( यहां अधिक हाल के परिणाम हैं ) और निश्चित रूप से, संख्यात्मक और यहां तक कि पूर्ण पैमाने पर प्रयोग भी।

ईमानदार जवाब। जी हां, आप तस्वीरों को ही देख लीजिए, क्या खूबसूरती है!

आपने यह सब विकिपीडिया से लिखा है, और वहाँ से चित्र डाउनलोड किए हैं

मैंने लिखना और डाउनलोड नहीं किया, लेकिन लिखा और अपलोड किया गया।

रेत के बारे में और कहां पढ़ना है?

लाप्लासियन विकास, सैंडपाइल्स, और स्केलिंग सीमा - 2017 की समीक्षा।
सैंड मॉडल - उष्णकटिबंधीय वक्र के बारे में परिणाम के सह-लेखक समर स्कूल "समकालीन गणित" के पाठ्यक्रम से नोट्स।

रेत में भग्न, या तीन से अधिक इकट्ठा नहीं होते हैं