🤚🏼 👩🏽‍⚕️ 👩🏽‍⚕️ इंद्रधनुष प्रमाण रेखांकन में मानक घटकों की उपस्थिति को प्रदर्शित करता है 📘 👉🏿 👴

गणितज्ञों ने साबित किया है कि छोटे रेखांकन की प्रतियां हमेशा आदर्श रूप से बड़े रेखांकन को कवर कर सकती हैं।

8 जनवरी को, तीन गणितज्ञों ने लगभग 60 साल पहले तैयार किए गए कॉम्बिनेटरिक्स के एक प्रमेय का प्रमाण प्रकाशित किया , जिसे रिंगेल परिकल्पना के रूप में जाना जाता है। मोटे तौर पर, वह कहती है कि रेखांकन - बिंदुओं और रेखाओं से मिलकर निर्माण - आदर्श रूप से छोटे आकार के समान टुकड़ों से मुड़ा जा सकता है।

गणितज्ञों ने उत्साहपूर्वक इस परिकल्पना की पुष्टि को स्वीकार किया।

"सौभाग्य यह है कि यह काम एक बहुत पुरानी परिकल्पना को हल करता है जिसे अन्य तरीकों से सत्यापित नहीं किया जा सकता है," इस काम के लिए यरूशलेम में हिब्रू विश्वविद्यालय के गणितज्ञ गिल कलाई ने कहा ।

रिंगेल की परिकल्पना की भविष्यवाणी है कि विशेष प्रकार के जटिल रेखांकन - खरब और किनारों के साथ - "टाइल" हो सकते हैं, अर्थात्। एक निश्चित प्रकार के छोटे रेखांकन की अलग-अलग प्रतियों के साथ पूरी तरह से कवर। एक वैचारिक दृष्टिकोण से, यह प्रश्न निम्नलिखित के समान है: क्या मैं स्टोर में किसी भी टाइल की समान प्रतियों के साथ रसोई में फर्श को पूरी तरह से टाइल कर सकता हूं? वास्तविक जीवन में, अधिकांश प्रकार की टाइलें आपकी रसोई के लिए उपयुक्त नहीं हैं - फर्श को पूरी तरह से कवर करने के लिए, आपको उनके विभिन्न आकारों को संयोजित करना होगा। लेकिन ग्राफ सिद्धांत की दुनिया में, परिकल्पना की भविष्यवाणी है कि आप हमेशा एक ग्राफ को टाइल कर सकते हैं।

और रसोई में, और रेखांकन में, यह महत्वपूर्ण है कि वास्तव में आप पहली टाइल कहां रखते हैं। नया काम इस महत्वपूर्ण मुद्दे को उजागर करता है - और इस तरह से कि यह आश्चर्यजनक और आश्चर्यजनक रूप से सहज दोनों है।

पेड़ों के साथ जंगल

कॉम्बिनेटरिक्स में, गणितज्ञ अध्ययन करते हैं कि कैसे वर्टिस (अंक) और किनारों (रेखाओं) को संयोजित करने के लिए और अधिक जटिल वस्तुओं का निर्माण होता है जिसे ग्राफ कहा जाता है। आप ग्राफ़ के बारे में बहुत सारे प्रश्न पूछ सकते हैं। मूल लोगों में से एक: किन मामलों में छोटे और सरल ग्राफ आदर्श रूप से बड़े और अधिक जटिल वाले होते हैं? स्टैनफोर्ड यूनिवर्सिटी के जैकब फॉक्स

ने कहा, "आपके पास पहेली टुकड़ों का एक सेट है और आप नहीं जानते कि क्या आप इन टुकड़ों से इसे इकट्ठा कर सकते हैं ।" 1963 में, जर्मन गणितज्ञ गेरहार्ड रिंगेल

उन्होंने इस तरह का एक सरल लेकिन व्यापक सवाल खड़ा किया। आइए शुरू करते हैं, उन्होंने कहा कि किसी भी विषम संख्या में 3 से अधिक विषमता (परिकल्पना की बहुलता के लिए, कोने की संख्या विषम होनी चाहिए, जैसा कि हम बाद में देखेंगे)। उन्हें किनारों से कनेक्ट करें ताकि प्रत्येक शीर्ष सभी दूसरों से कनेक्ट हो। तब हमें एक वस्तु मिलती है जिसे पूर्ण ग्राफ़ कहा जाता है ।

फिर एक अलग प्रकार के ग्राफ की कल्पना करें। यह एक सरल तरीका हो सकता है - एक पंक्ति में जुड़े कई किनारे। या शाखाओं वाली पसलियों के साथ एक पथ। शाखाओं को अन्य शाखाओं में जोड़ा जा सकता है। आप केवल बंद छोरों से बचने के लिए एक मनमाने ढंग से जटिल ग्राफ बना सकते हैं। इस तरह के रेखांकन को पेड़ कहा जाता है।

रिंगेल का प्रश्न पूर्ण रेखांकन और पेड़ों के संबंध से संबंधित है। उन्होंने कहा: सबसे पहले, 2n + 1 कोने (एक विषम संख्या) के पूर्ण ग्राफ़ की कल्पना करें। फिर n + 1 कोने से मिलकर किसी भी पेड़ की कल्पना करें - और ऐसे पेड़ बहुत अलग हो सकते हैं।

अब इनमें से एक पेड़ लें और इसे रखें ताकि वृक्ष का प्रत्येक किनारा पूर्ण ग्राफ के किनारे से मेल खाता हो। फिर हम उसी ग्राफ की एक और प्रति पूर्ण ग्राफ के दूसरे भाग पर रखते हैं।

रिंगेल ने भविष्यवाणी की कि इस तरह से अभिनय करना, और सही जगह पर शुरू करना, आप आदर्श रूप से पूरे पूरे ग्राफ को पा सकते हैं। इसका मतलब है कि पूरे ग्राफ के प्रत्येक किनारे को पेड़ के किनारे से कवर किया जाएगा, और पेड़ों की प्रतियां ओवरलैप नहीं होंगी।

“मैं पेड़ की प्रतियां ले सकता हूं। मैंने एक कॉपी पूरे ग्राफ पर डाल दी। वह कुछ पसलियों को कवर करती है। फिर मैं इस प्रक्रिया को दोहराता हूं। परिकल्पना बताती है कि यह सब कुछ कवर कर सकता है, ” स्विस फेडरल इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी के बेनी सुदाकोव ने कहा , नए साक्ष्यों के सह-लेखक, बर्मिंघम विश्वविद्यालय के रिचर्ड मॉन्टगोमरी और लंदन विश्वविद्यालय में बिर्कबेक कॉलेज के एलेक्सी पोक्रोव्स्की के साथ।

अंत में, रिंगेल ने भविष्यवाणी की कि ग्राफ को टाइल किया जा सकता है, चाहे आप कितने भी पेड़ विकल्पों का उपयोग करें। ऐसा कथन बहुत सामान्य लग सकता है। रिंगेल का अनुमान 11 रेखांकन के साथ पूर्ण रेखांकन और 11 खरब + 1 कोने के साथ पूर्ण रेखांकन पर लागू होता है। और जितना बड़ा पूरा ग्राफ होगा, उतने अधिक पेड़ जितने संभव हो सकते हैं, उतने n + 1 कोने के लिए खींचे जाएंगे। उनमें से प्रत्येक आदर्श रूप से संबंधित पूर्ण ग्राफ को कैसे पा सकता है?

हालाँकि, यह मानने के कारण थे कि रिंगेल की परिकल्पना सच हो सकती है। सबसे पहली पुष्टि यह थी कि सबसे सरल कॉम्बिनेटरियल अंकगणित ने इस तरह के विकल्प को बाहर नहीं किया था: 2 एन + 1 कोने वाले एक पूर्ण ग्राफ में किनारों की संख्या हमेशा n + कोने के साथ एक पेड़ में किनारों की संख्या से पूरी तरह से विभाजित हो सकती है।

"तथ्य यह है कि एक पूर्ण ग्राफ के किनारों की संख्या को एक पेड़ के किनारों की संख्या से विभाजित किया जाता है," मॉन्टगोमेरी ने कहा।

गणितज्ञों को जल्दी से परिकल्पना की दुर्दशा का और अधिक सबूत मिला, जिसने खोजों की एक श्रृंखला शुरू कर दी जो अंततः प्रमाण के लिए प्रेरित हुई।

जगह और बारी

सबसे सरल पेड़ों में से एक एक तारा है: एक केंद्रीय चोटी जिसके किनारों से यह निकलता है। लेकिन यह एक तारे की विशिष्ट छवि से भिन्न है, क्योंकि किनारों को शीर्ष के चारों ओर समान रूप से वितरित नहीं किया जाना है। उन सभी को बस एक जगह से आना होगा, और केंद्रीय शिखर को छोड़कर कहीं भी नहीं घुसना चाहिए। यदि आप रिंगेल परिकल्पना की शुद्धता को साबित करना चाहते हैं, तो एक स्टार के आकार का पेड़ एक प्राकृतिक शुरुआती बिंदु होगा।

और, ज़ाहिर है, गणितज्ञों ने जल्दी से पता लगाया कि n + 1 कोने का एक तारा हमेशा 2n + 1 कोने के साथ पूरी तरह से ग्राफ़ को प्रशस्त करता है। यह तथ्य अपने आप में दिलचस्प है, लेकिन इसके प्रमाण ने गणितज्ञों को और अधिक सोचने पर मजबूर कर दिया।

एक सरल उदाहरण लें। शुरुआत करते हैं 11 चोटियों से। हम उन्हें एक सर्कल में रखते हैं और एक पूर्ण ग्राफ प्राप्त करते हुए प्रत्येक शीर्ष को अन्य सभी के साथ जोड़ते हैं।

अब इसके अनुरूप तारे पर विचार करें: केंद्रीय बिंदु जिसमें से पांच किनारे निकलते हैं।

अब हम स्टार को लगाते हैं ताकि केंद्रीय शीर्ष पूर्ण ग्राफ के कोने के साथ मेल खाता हो। हम कई किनारों को कवर करेंगे, लेकिन सभी को नहीं। अब स्टार वन वर्टेक्स को स्थानांतरित करें, जैसे कि कम्पास डायल को घुमाते हुए। हमें पूर्ण ग्राफ़ के किनारों के बिल्कुल अलग सेट पर सुपरइंपोज़ किए गए स्टार की एक नई प्रति मिलती है।

हम स्टार को और घुमाएंगे। जब तक हम वापस वहां पहुंचेंगे, जहां से हमने शुरुआत की थी, हम सुपरमापिंग सितारों के बिना पूरा पूरा ग्राफ प्रशस्त करेंगे - ठीक उसी तरह जैसे रिंगेल ने भविष्यवाणी की थी।

"हम जानते हैं कि एक परिकल्पना को तुरंत खारिज नहीं किया जा सकता है, कम से कम अगर हम एक पेड़ को एक स्टार के रूप में लेते हैं," सुधीरोव ने कहा। "इसके अलावा, हम इसे बहुत ही खूबसूरती से प्रदर्शित कर सकते हैं: एक वृत्त पर एक ग्राफ खींचना, एक स्टार को स्थानांतरित करना, नई प्रतियां प्राप्त करना, और पूरे ग्राफ़ का प्रतिनिधित्व करना।"

रिंगेल ने अपनी परिकल्पना को सामने रखने के कुछ समय बाद, स्लोवाक-कनाडाई गणितज्ञ एंटन कोटज़िग ने रिंगेल की तुलना में एक समान बोल्डर भविष्यवाणी के लिए इस उदाहरण का उपयोग किया। रिंगेल ने कहा कि 2n + 1 वर्टेक्स के साथ हर पूर्ण ग्राफ को n + 1 वर्टेक्स के साथ किसी भी पेड़ के साथ टाइल किया जा सकता है, Kotzig ने सुझाव दिया कि इसे एक स्टार के साथ ठीक उसी तरह से टाइल किया जा सकता है: पेड़ को एक पूर्ण ग्राफ पर रखकर और बस इसे घुमाकर।

विचार अवास्तविक लग रहा था। तारा सममित है, इसलिए कोई बात नहीं कि इसे कैसे रखा जाए। ज्यादातर पेड़ टेढ़े हैं। काम करने के लिए रोटेशन विधि के लिए उन्हें बहुत विशिष्ट तरीके से रखा जाना चाहिए।

"स्टार एक सरल संरचना थी जिसे मैन्युअल रूप से रखा जा सकता है, लेकिन अगर आपके पास विभिन्न लंबाई की शाखाओं की एक गुच्छा के साथ अपने हाथों पर एक फैलाने वाला पेड़ है, तो यह कल्पना करना मुश्किल है कि इसे कैसे सावधानी से रखा जा सकता है," पोक्रोव्स्की ने कहा।

कोत्सिग रोटरी विधि का उपयोग करके रिंगेल परिकल्पना को हल करने के लिए, गणितज्ञों को यह पता लगाने की आवश्यकता थी कि पेड़ की पहली प्रति कैसे लगाई जाए ताकि अगम्य मोटा नहीं निकल जाए। सौभाग्य से, उन्हें एक रंगीन समाधान मिला।

इंद्रधनुष का रंग अक्सर जीवन को आसान बनाता है। यह एक कैलेंडर को व्यवस्थित करने में मदद करता है या एक बड़े परिवार में दूसरे से एक खाद्य कंटेनर को जल्दी से अलग करता है। यह पता चला है कि यह एक प्रभावी तरीका भी हो सकता है कि सही ग्राफ के अंदर पहले पेड़ को सही तरीके से कैसे लगाया जाए।

एक चक्र में व्यवस्थित 11 शीर्षकों के साथ फिर से एक पूर्ण ग्राफ़ की कल्पना करें। एक साधारण नियम के अनुसार रंग किनारों के साथ इसके किनारों को चिह्नित करें जो दो कोने के बीच की दूरी को ध्यान में रखते हैं।

यह दूरी उन चरणों की संख्या से निर्धारित होती है जिन्हें एक सर्कल में एक शीर्ष से दूसरे तक जाने के लिए लिया जाना चाहिए (सर्कल के अंदर पथ को काटे बिना)। बेशक, एक सर्कल में आप हमेशा दो दिशाओं में जा सकते हैं, इसलिए हम दूरी को दो चोटियों के बीच सबसे कम पथ के रूप में परिभाषित करेंगे। यदि ये पड़ोसी कोने हैं, तो उनके बीच की दूरी 1 होगी, न कि 10. यदि उन्हें एक शीर्ष से अलग किया जाता है, तो दूरी 2 होगी।

अब हम ग्राफ के किनारों को दूरी के अनुसार रंग देते हैं। हम एक रंग में 1 की दूरी पर स्थित चोटियों को जोड़ने वाले सभी किनारों को चित्रित करते हैं - उदाहरण के लिए, नीला। हम सभी किनारों को दो इकाइयों की दूरी पर स्थित चोटियों को जोड़ने के लिए पेंट करते हैं - उदाहरण के लिए, पीला।

हम ग्राफ़ को रंग देना जारी रखते हैं ताकि सभी कोने जो एक ही दूरी पर हैं कोने को जोड़ने का एक ही रंग हो। अलग-अलग रंगों में अलग-अलग दूरी को एनकोड किया जाएगा। 2n + 1 कोने के साथ पूर्ण ग्राफ़ के लिए, आपको इसके लिए n रंग चाहिए। परिणाम एक सुंदर और उपयोगी तस्वीर है।

रिंगेल और कोटज़िग ने अपनी परिकल्पना को सामने रखा, कुछ ही समय बाद, कोटिग ने महसूस किया कि उसका पूरा चित्रांकन उस पर एक पेड़ लगाने के लिए एक मार्गदर्शक हो सकता है।

विचार यह है कि पेड़ को व्यवस्थित किया जाए ताकि यह प्रत्येक रंग के एक किनारे को कवर करे और किसी भी रंग को दो बार कवर न करे। गणितज्ञ इस व्यवस्था को एक पेड़ की इंद्रधनुष प्रतिकृति कहते हैं। चूंकि रंग के लिए n रंगों की आवश्यकता होती है, और n + 1 कोने के पेड़ के पास n किनारे होंगे, हम तुरंत जानते हैं कि एक उच्च संभावना के साथ एक इंद्रधनुष कॉपी पाया जा सकता है।

1960 के दशक के अंत तक, गणितज्ञों ने समझा कि एक पेड़ की एक इंद्रधनुष प्रति में एक विशेष गुण था: यह सिर्फ उस स्थिति को दर्शाता है जिससे आप पेड़ को घुमाकर पूरे ग्राफ को पाट सकते हैं।

"यदि आप एक इंद्रधनुष कॉपी बनाते हैं, तो सब कुछ काम करेगा," पोक्रोव्स्की ने कहा।

उसके बाद, गणितज्ञों को पहले से ही पता था कि वे रिंगेल परिकल्पना को साबित कर सकते हैं कि 2n + 1 कोने वाले हर पूर्ण ग्राफ में n + 1 कोने के साथ किसी भी पेड़ की इंद्रधनुषी प्रतिलिपि शामिल थी। और अगर एक इंद्रधनुष की प्रति हमेशा मौजूद रहती है, तो आप हमेशा ग्राफ को पा सकते हैं।

हालांकि, यह साबित करने के लिए कि हमेशा कुछ मौजूद है मुश्किल है। इसके लिए, गणितज्ञों को यह दिखाना होगा कि पूर्ण रेखांकन बस नहीं हो सकता है, लेकिन पेड़ों की इंद्रधनुष प्रतियां शामिल हैं। 40 साल से अधिक समय हो गया, लेकिन यह ठीक वही है जो एक नए काम में सुदकोव और coauthors ने हासिल किया।

एकदम सही पैकेजिंग

मान लीजिए कि आपको 11 सिरों वाला एक पूरा ग्राफ दिया गया है और छह के साथ एक पेड़ है। पूरा ग्राफ पांच अलग-अलग रंगों में चित्रित किया गया है। पेड़ के पांच किनारे हैं। आपका कार्य पूर्ण ग्राफ़ के अंदर पेड़ की इंद्रधनुष प्रति ढूंढना है।

आप बारी-बारी से पेड़ के किनारों को ग्राफ पर रख सकते हैं। पहला स्थान आसान है: आप इसके लिए किसी भी रंग के किसी भी किनारे को चुन सकते हैं। दूसरा थोड़ा कठिन होगा। यह लगभग किसी भी रंग की पसली को छोड़कर लगभग कहीं भी झूठ बोल सकता है, जैसा कि सिर्फ ढंका हुआ है। और जितने तुम वृक्ष के किनारों को रखोगे, उतने ही कठिन कार्य हो जाएंगे। अंतिम रिब तक पहुंचने से, आप पूरी तरह से रंग की पसंद खो देंगे - केवल एक ही होगा। यह आशा की जाती है कि आपने पहले से सब कुछ अच्छी तरह से योजनाबद्ध किया था।

यह विचार कि किसी पेड़ की इंद्रधनुषी प्रति खोजने का कार्य अधिक जटिल हो जाता है क्योंकि आप ग्राफ पर पेड़ के अधिक से अधिक किनारों को जगह देते हैं, इस पद्धति का एक आवश्यक हिस्सा था जिसका उपयोग तीन गणितज्ञ इस समस्या को हल करने के लिए करते थे। उन्होंने प्रक्रिया के अंत में जितना संभव हो उतना लचीलापन रखने के तरीकों की तलाश की।

शुरू से ही वे जानते थे कि बहुत ही सरल पेड़ों की इंद्रधनुषी प्रतियों को खोजना आसान होगा - वे पेड़ जो लंबे रास्ते की तरह दिखते थे, बिना शाखाओं के या कम संख्या में। सबसे कठिन बात यह थी कि एक किनारे पर कई किनारों वाले पेड़ों को सही ढंग से रखा जाए - सितारों की तरह, केवल अधिक असमान और अनियमित आकार के साथ। उन्हें रखने के लिए एक घुमक्कड़ को कार के आधे-भरे ट्रंक में धकेलने जैसा है।

"कठिनाई तब शुरू होती है जब आप सितारों की तरह दिखने वाली ऐसी अजीब चीजों के साथ एक पूरा ग्राफ भरने की कोशिश करते हैं," पोक्रोव्स्की ने कहा।

जो कोई भी ट्रंक को भरता है वह जानता है कि आपको हमेशा सबसे जटिल वस्तुओं से शुरू करने की आवश्यकता है - बड़े सूटकेस और बड़ी अनम्य चीजें, जैसे साइकिल। जैकेट तो हमेशा छाया हुआ हो सकता है। और गणितज्ञों ने इस दर्शन को अपनाया है।

11 किनारों वाले एक पेड़ की कल्पना करें। उनमें से छह एक केंद्रीय बिंदु पर अभिसरण होते हैं। लगभग सभी अन्य एक ही रूप बनाते हैं, मुख्य से दूर।

सबसे कठिन हिस्सा पेड़ का वह हिस्सा होता है जिसमें छह किनारों वाली चोटी होती है। इसलिए, गणितज्ञों ने इसे बाकी के पेड़ से अलग कर दिया और पहले रख दिया, ताकि बाद में इस हिस्से को संलग्न किया जा सके - जैसे कि आपने बिस्तर को दूसरी मंजिल पर खींचने से पहले अलग करने का फैसला किया, और फिर इसे वांछित कमरे में पुनः स्थापित किया। उन्होंने एक बार भी ग्राफ में स्टार के इस हिस्से को जगह नहीं दी - उन्होंने विभिन्न स्थानों को पूर्ण ग्राफ़ के अंदर इसकी प्रतियां रखने के लिए उपयुक्त पाया।

और फिर उन्होंने बेतरतीब ढंग से एक प्रति का चयन किया। ऐसा करने से, उन्होंने गारंटी दी कि ग्राफ में शेष खाली स्थान भी यादृच्छिक था - अर्थात्, विभिन्न रंगों के किनारों के लगभग समान वितरण के साथ। यह इस जगह पर था कि उन्हें बाकी पेड़ लगाने की ज़रूरत थी - जिस रास्ते को उन्होंने पहले अलग रखा था।

इसके स्थान के लिए विकल्प चुनते समय उन्हें प्रतिबंधों का सामना करना पड़ा। पथ को स्टार से जोड़ा जाना चाहिए - पेड़ का वह हिस्सा जो उन्होंने पहले ही रखा है, और उन रंगों को भी कवर करना था जो पहले उस स्टार द्वारा कवर नहीं किए गए थे जिसके साथ वह जुड़ता है।

लेकिन गणितज्ञों ने अपने लिए विकल्प छोड़ दिए हैं। वे पथ को लगभग किसी भी स्टार की विभिन्न प्रतियों के साथ जोड़ सकते थे। क्या बेहतर है, क्योंकि स्टार के चारों ओर का स्थान यादृच्छिक था, उनके पास बाकी पेड़ों के साथ अलग-अलग रंगों को चुनने के लिए विकल्प थे।

"पेड़ों के निर्माण के बहुत अंत की ओर, जब स्थिति जटिल हो जाती है, मेरे पास एक अनिवार्य रंग नहीं बचा है, लेकिन एक छोटा विकल्प है," मॉन्टगोमरी ने कहा।

तीन गणितज्ञ अपने प्रमाण को संभाव्यता सिद्धांत के एक तर्क के साथ पूरा करते हैं। उन्होंने दिखाया कि पेड़ों के सबसे जटिल हिस्सों को एम्बेड करने के बाद, बशर्ते कि पूर्ण स्तंभ में शेष स्थान अनिवार्य रूप से यादृच्छिक था, आप हमेशा इंद्रधनुष की नकल प्राप्त करने के लिए बाकी पेड़ों में निर्माण का एक तरीका खोज सकते हैं।

प्रिंसटन यूनिवर्सिटी के नोगा अलोन ने कहा, "अब आप शुरुआत से ही जबरदस्ती कर सकते हैं, जैसे कि पेड़ के बचे हुए हिस्से को सोखने और पूरी तरह से इंद्रधनुषी रंग पाने के लिए।"

गणितज्ञों ने 2 एन + 1 कोने के साथ प्रत्येक पूर्ण ग्राफ में n + 1 कोने के साथ प्रत्येक पेड़ के लिए इंद्रधनुष प्रति खोजने का सटीक तरीका नहीं बताया है। हालांकि, उन्होंने यह साबित कर दिया कि इंद्रधनुष की प्रति उसमें होनी चाहिए।

और अगर एक इंद्रधनुष की नकल हमेशा मौजूद रहती है, तो आप रिंगेल द्वारा भविष्यवाणी की गई विधि के साथ हमेशा ग्राफ को पाट सकते हैं। इस प्रकार, उसकी परिकल्पना सत्य है।

यह प्रमाण कॉम्बीनेटरिक्स में इसी तरह की अनसुलझी समस्याओं को हल करने के लिए नए उपकरण भी प्रदान करता है - उदाहरण के लिए, "ग्रेसफुल मार्कअप" की समस्या, जो भविष्यवाणी करता है कि एक पूर्ण ग्राफ को अधिक कठोर परिस्थितियों में भी टाइल किया जा सकता है, जिसके अनुसार पेड़ों को और भी अधिक सटीक रूप से रखा जाना चाहिए।

फॉक्स ने कहा, "यह दर्शाता है कि लोग लंबे समय से जिन तरीकों के बारे में सोच रहे हैं, उनमें वास्तव में काफी संभावनाएं हैं।" "यदि आप उन्हें सही ढंग से लागू करते हैं, तो आप उन समस्याओं को हल कर सकते हैं जो पहले अभेद्य लग रहे थे।"

इंद्रधनुष प्रमाण रेखांकन में मानक घटकों की उपस्थिति को प्रदर्शित करता है

गणितज्ञों ने साबित किया है कि छोटे रेखांकन की प्रतियां हमेशा आदर्श रूप से बड़े रेखांकन को कवर कर सकती हैं।

पेड़ों के साथ जंगल

जगह और बारी

एकदम सही पैकेजिंग

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